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选修4-1 几何证明选讲 第一节 相似三角形的判定及有关性质,【知识梳理】 1.平行线等分线段定理,相等,平分,平分,2.平行线分线段成比例定理 (1)定理:三条平行线截两条直线,所得的_成比例. (2)推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得 的对应线段_.,对应线段,成比例,3.相似三角形的判定及性质 (1)相似三角形的判定: 定义:对应角_,对应边_的两个三角形叫做相似三角形. 预备定理:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长 线)_,所构成的三角形与原三角形_.,相等,成比例,相交,相似,判定:,相等,成比例,相等,成比例,相等,成比例,成比例,(2)相似三角形的性质:,4.直角三角形的射影定理 定理:直角三角形斜边上的高是_的比例中项; 两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的_.,两直角边在斜边上射影,比例中项,【小题快练】 1.(2015牡丹江模拟)如图,正三角形ABC中,D,E分别在AC,AB上, AE=BE,则有 ( ) A.AEDBED B.AEDCBD C.AEDABD D.BADBCD,【解析】选B.在正三角形ABC中, AE=BE, 在AED与CBD中,A=C, 故AEDCBD.,2.(2014广东高考)如图,在平行四边形ABCD中,点E在AB上且 EB=2AE,AC与DE交于点F,则 = .,【解析】显然CDFAEF,则 答案:3,3.(2015长沙模拟)如图,D是ABC中BC边上一点,点E,F分别是 ABD,ACD的重心,EF与AD交于点M,则 = .,【解析】连接AE,AF,并延长交BC于G,H. 因为点E,F分别是ABD,ACD的重心, 所以 =2, 所以EFGH,所以 =2. 答案:2,4.(2015中山模拟)如图,在梯形ABCD中,ADBC,BD与AC相交于O,过O的直线分别交AB,CD于E,F,且EFBC,若AD=12,BC=20,则EF= .,【解析】由题意ADEFBC, 则AODCOB,则 则 则EO= 同理FO=20 则EF=15. 答案:15,考点1 平行线分线段成比例定理 【典例1】如图,将一块边长为12的正方形纸ABCD的顶点A折叠至边上 的点E,使DE=5,折痕为PQ,求,【解题提示】过点M作平行线构造平行线段组. 【规范解答】如图所示,过M作MNAD交DC于N, 所以 又因为AM=ME, 所以DN=NE= DE= . 所以NC=NE+EC= +7= .,因为PDMNQC, 所以,【规律方法】平行线分线段成比例定理及推论的应用 (1)利用平行线分线段成比例定理来计算或证明,首先要观察平行线组,再确定所截直线,进而确定比例线段及比例式,同时注意合比性质、等比性质的运用. (2)解决此类问题往往需要作辅助的平行线,要结合条件构造平行线组,再应用平行线分线段成比例定理及其推论转化比例式解题.,【变式训练】如图,AD平分BAC,DEAC,EFBC,AB=15cm,AF=4cm,求BE和DE的长.,【解析】如图,因为DEAC, 所以3=2. 又AD平分BAC,所以1=2. 所以1=3,即AE=ED. 因为DEAC,EFBC, 所以四边形EDCF是平行四边形. 所以ED=FC,即AE=ED=FC.,设AE=DE=FC=xcm. 由EFBC得 即 解得x1=6,x2=-10(舍去). 所以DE=AE=6cm,BE=15-6=9(cm).,【加固训练】如图,E,F是四边形ABCD的对角线AC上的两点,AE=CF, BE=DF,BEDF,AD=DC,求证:四边形ABCD是菱形.,【证明】因为DFBE,所以DFA=BEC. 因为CF=AE,EF=EF,所以AF=CE. 在ADF和CBE中, 因为DF=BE,DFE=BEF,AF=EC, 所以ADFCBE(SAS), 所以AD=BC,所以DAC=BCA, 所以ADBC,所以四边形ABCD是平行四边形. 因为AD=DC,所以四边形ABCD是菱形.,考点2 相似三角形的判定与性质 【典例2】如图,ABC中,BAC=90,ADBC交BC于 点D,若E是AC的中点,ED的延长线交AB的延长线于F, 求证:,【解题提示】利用DBFADF,RtABDRtCBA进行比例式的转化证明. 【规范解答】因为E是RtADC斜边AC的中点, 所以AE=EC=DE. 所以EDC=ECD,又EDC=BDF, 所以EDC=C=BDF.,又ADBC且BAC=90, 所以BAD=C,所以BAD=BDF, 所以DBFADF.所以 又RtABDRtCBA,因此 所以,【规律方法】证明相似三角形的一般思路 (1)先找两对内角对应相等. (2)若只有一个角对应相等,再判定这个角的两邻边是否对应成比例. (3)若无角对应相等,就要证明三边对应成比例.,【变式训练】如图,在ABC中,BAC=90,AD是BC 边上的高,E是BC边上的一个动点(不与B,C重合),EF AB,EGAC,垂足分别为F,G. (1)求证: (2)FD与DG是否垂直?若垂直,请给出证明;若不垂直,请说明理由. (3)当AB=AC时,FDG为等腰直角三角形吗?并说明理由.,【解析】(1)在四边形AFEG中, 因为FAG=AFE=AGE=90, 所以四边形AFEG为矩形,所以AF=EG. 根据题意易证ADCEGC, 所以,(2)FDDG.证明过程如下: 因为ABC为直角三角形,ADBC, 所以FAD=C.又由(1)可知, 所以AFDCGD,所以ADF=CDG. 又CDG+ADG=90, 所以ADF+ADG=90,即FDG=90, 所以FDDG.,(3)当AB=AC时,FDG是等腰直角三角形. 理由如下: 因为AB=AC,BAC=90,所以AD=DC. 又因为AFDCGD, 所以 =1,FD=DG. 又FDG=90,所以FDG为等腰直角三角形.,【加固训练】已知ABC中,BFAC于点F,CEAB于点E,BF和CE相交于点P,求证: (1)CPFBPE.(2)EFPBCP.,【证明】(1)因为BFAC于点F,CEAB于点E, 所以BFC=CEB. 又因为CPF=BPE,所以CPFBPE. (2)由(1)得CPFBPE,所以 又因为EPF=BPC,所以EFPBCP.,考点3 直角三角形中的射影定理 【典例3】如图所示,CD垂直平分AB,点E在CD上,DFAC, DGBE,F,G分别为垂足. 求证:AFAC=BGBE. 【解题提示】利用射影定理表示出AD,BD,再利用AD=BD证明.,【规范解答】因为CD垂直平分AB, 所以ADC=BDC=90,AD=DB. 在RtADC中,因为DFAC,所以AD2=AFAC. 同理BD2=BGBE. 所以AFAC=BGBE.,【规律方法】对射影定理的理解和应用 (1)利用直角三角形的射影定理解决问题首先确定直角边与其射影. (2)要善于将有关比例式进行适当的变形转化,有时还要将等积式转化为比例式或将比例式转化为等积式,并且注意射影定理的其他变式. (3)注意射影定理与勾股定理的结合应用.,【变式训练】如图,在ABC中,C=90,BAC的平分线AD交BC边于 D,求证:,【证明】过C作AD的垂线,垂足为E,CE的延长线交AB于F, 则由射影定理得AC2=AEAD, 过E作EGBC交AB于G. 因为CAD=BAD,AECF, 所以CE=EF, 所以BC=2EG, 所以,【加固训练】如图所示,在ABC中,CAB=90,ADBC于D,BE是 ABC的平分线,交AD于F,求证:,【证明】由三角形的内角平分线定理得, 在ABD中, 在ABC中, 在RtABC中,由射影定理知,AB2=BDBC, 即 由得: 由得:,
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