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热点专题突破系列(六) 概率与统计的综合问题,考点一 统计与统计案例 【考情分析】以实际生活中的事例为背景,通过对相关数据的统计分析、抽象概括,作出估计、判断.常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、概率等知识交汇考查,考查学生数据处理能力.,【典例1】(2015太原模拟)近几年出现各种食品问题,食品添加剂会引起血脂增高、血压增高、血糖增高等疾病.为了解三高疾病是否与性别有关,医院随机对入院的60人进行了问卷调查,得到了如下的列联表: (1)请将如图的列联表补充完整;若用分层抽样的方法在患三高疾病的人群中抽9人,其中女性抽多少人?,(2)为了研究三高疾病是否与性别有关,请计算出统计量K2的观测值k,并说明是否可以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为三高疾病与性别有关.,下面的临界值表供参考: (参考公式K2= 其中n=a+b+c+d),【解题提示】(1)由问卷调查的情况,可补充完表格. (2)可利用随机变量K2确定,因此首先计算K2的观测值k.,【规范解答】(1) 在患三高疾病人群中抽9人,则抽取比例为 所以女性应该抽取12 =3(人).,(2)因为K2的观测值k= =107.879,所以可以在犯 错误的概率不超过0.005的前提下认为是否患三高疾病与性别有关.,【规律方法】利用独立性检验思想解决问题的步骤 (1)依题意写出列联表. (2)依据列联表用公式计算K2的观测值k的值. (3)依据k的值以及临界值表确定问题的结果.,【变式训练】(2015济宁模拟)某企业为了更好地了解设备改造前后与生产合格品的关系,随机抽取了180件产品进行分析,其中设备改造前生产的合格品有36件,不合格品有49件,设备改造后生产的合格品有65件,不合格品有30件.根据所给数据: (1)写出22列联表. (2)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为产品是否合格与设备改造有关.,【解析】(1)由已知数据得列联表如下:,(2)根据列联表中数据，K2的观测值为 k 12.38， 由于12.3810.828，所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下可认为产品是否合格与设备改造有关,【加固训练】(2015蚌埠模拟)在全国汉字听写大赛之前,某地先进行了共十轮的选拔赛,某研究机构一直关注其测试选拔过程.第二轮选拔后有450名学生进入下一轮,该机构利用分层抽样的方法抽取了90人进行跟踪调查,得到第三轮是否通过的数据如下表所示:,(1)利用独立性检验估计第三轮通过与否与学生的性别是否有关? (2)估计全部450名学生通过第三轮测试的大约有多少人. (3)如果从第三轮测试通过的所有学生中利用分层抽样的方法抽取6名学生,然后从这6名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查,求这2名学生中至少有1名女学生的概率. 附：K2= (其中n=a+b+c+d),【解析】(1)根据公式得:K2= 0.711.323, 所以我们认为是否通过第三轮测试与学生的性别无关. (2)由样本数据可知，学生通过第三轮测试的频率为 =0.6. 故450名学生中通过第三轮测试的大约有4500.6=270(人).,(3)根据表格，通过第三轮测试的男学生有36人，女学生有18人, 由分层抽样可知，抽取的6名学生中男学生有4名，分别记为A,B,C,D, 女学生有2名，分别记为1，2，从中任选2名的不同取法为A,B,A,C,A,D,A,1,A,2,B,C,B,D,B,1,B,2, C,D,C,1,C,2,D,1,D,2,1,2,共15种. 其中至少有1名女生的取法为A,1,A,2,B,1,B,2,C,1, C,2,D,1,D,2,1,2，共9种. 所以所求事件的概率为,考点二 统计与概率分布列综合 【考情分析】以现实生活为背景,利用频率估计概率,常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、概率以及概率分布列等知识交汇考查,考查学生分析问题、解决问题的能力.,【典例2】(2015揭阳模拟)某学校900名学生在一次百米测试中,成绩全部介于13秒与18秒之间,抽取其中50个样本,将测试结果按如下方式分成五组:第一组13,14),第二组14,15),第五组17,18,如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.,(1)若成绩小于14秒认为优秀,求该样本中百米测试成绩优秀的人数. (2)请估计本年级900名学生中,成绩属于第三组的人数. (3)若样本第一组中只有一个女生,其他都是男生,第五组则只有一个男生,其他都是女生,现从第一、五组中各抽取2个同学组成一个实验组,设其中男同学的数量为,求的分布列和期望.,【解题提示】(1)(2)先求频率,再求人数. (3)确定的取值,再根据定义求分布列. 【规范解答】(1)由频率分布直方图知,成绩在第一组的为优秀,频率为0.06, 人数为:500.06=3. 所以该样本中成绩优秀的人数为3.,(2)由频率分布直方图知,成绩在第三组的频率为0.38,以此估计本年级900名学生中成绩属于第三组的概率为0.38, 人数为:9000.38=342. 所以估计本年级900名学生中,成绩属于第三组的人数为342.,(3)第一组共有3人，其中2男，1女，第五组共有500.08=4人，其中1男，3女，则的可能取值为1，2，3. P(=1)= P(=2)= P(=3)=,所以的分布列为 所以E()=1P(=1)+2P(=2)+3P(=3)=,【规律方法】统计与概率分布综合问题的解题思路 (1)找概率分布问题中随机变量的统计意义. (2)综合统计中相关图、表、数据明确相关联的随机变量的分布特征. (3)依随机变量的分布特征进一步解决相关问题.,【变式训练】(2014新课标全国卷)从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:,(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数 和样本方差s2(同一组 中的数据用该组区间的中点值作代表). (2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(, 2),其中近似为样本平均数 ,2近似为样本方差s2.,利用该正态分布,求P(187.8Z212.2). 某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量 指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数,利用的结果,求E(X). 附: 12.2. 若ZN(,2),则P(-Z+)=0.6826,P(-2Z+2) =0.9544.,【解析】(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数 和样本方差s2分 别为 =1700.02+1800.09+1900.22+2000.33+2100.24+220 0.08+2300.02=200, s2=(-30)20.02+(-20)20.09+(-10)20.22+00.33+1020.24+ 2020.08+3020.02=150.,(2)由(1)知,ZN(200,150),从而P(187.8Z212.2)=P(200-12.2Z200+12.2)=0.6826. 由知,一件产品质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826. 依题意知XB(100,0.6826), 所以E(X)=1000.6826=68.26.,【加固训练】为了了解中华人民共和国道路交通安全法在学生中的普及情况,调查部门组织了一次知识竞赛,现随机抽取了某校20名学生的测试成绩,得到如图所示茎叶图:,(1)若测试成绩不低于90分,则称为“优秀成绩”,求从这20人中随机选取3人,至多有1人是“优秀成绩”的概率. (2)以这20人的样本数据来估计整个学校的总体数据,若从该校(人数较多)任选3人,记表示抽到“优秀成绩”学生的人数,求的分布列及数学期望.,【解析】(1)优秀成绩:4人；设优秀成绩人数为X,至多一人成绩优秀为事件A, P(A) P(X0) P(X1),(2)由样本估计总体可知抽到“优秀成绩”学生的概率P . 所有可能的取值为0,1,2,3，显然 则P(i),E()=,考点三 期望与方差的综合应用 【考情分析】以现实生活为背景,求某些事件的概率分布列、期望值以及方差,常与离散型随机变量、概率、相互独立事件、二项分布等知识交汇考查,考查学生分析问题、解决问题的能力.,【典例3】(2014湖北高考)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站,过去50年的水文资料显示,水库年入流量X(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和.单位:亿立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立.,(1)求未来4年中,至多1年的年入流量超过120的概率. (2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制,并有如下关系:,若某台发电机运行,则该台年利润为5000万元;若某台发电机未运行,则该台年亏损800万元,欲使水电站年利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?,【解题提示】(1)先求出年入流量X的概率,根据二项分布,求出未来4年中,至多有1年的年入流量超过120的概率. (2)分三种情况进行讨论,分别求出一台,两台,三台的数学期望,比较即可得到.,【规范解答】(1)依题意，p1=P(40120)= =0.1. 根据二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为 =,(2)记水电站年总利润为Y, 安装1台发电机的情形: 由于水库年入流量总大于40,故一台发电机运行的概率为1,对应的年利润Y=5000,E(Y)=15000=5000.,安装2台发电机的情形: 依题意,当40X80时,一台发电机运行,此时Y=5000-800=4200, 因此P(Y=4200)=P(40X80)=p1=0.2; 当X80时,两台发电机运行,此时Y=50002=10000, 因此P(Y=10000)=P(X80)=p2+p3=0.8;,由此得分布列如下 所以,E(Y)=42000.2+100000.8=8840.,安装3台发电机的情形: 依题意,当40120时,三台发电机运行,此时Y=50003=15000, 因此P(Y=15000)=P(X120)=p3=0.1.由此得分布列如下,所以,E(Y)=34000.2+92000.7+150000.1=8620. 综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机2台.,【规律方法】 1.求数学期望值的方法 (1)求离散型随机变量分布列. (2)利用公式E(X)=x1p1+x2p2+xnpn. 2.均值、方差意义的应用 均值仅体现了随机变量取值的平均水平.如果两个随机变量的均值相等,还要看随机变量的取值在均值周围的变化,方差大,说明随机变量取值较分散;方差小,说明取值较集中.,【变式训练】(2015揭阳模拟)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如表所示.,已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%. (1)确定x,y的值,并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望. (2)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率.(注:将频率视为概率),【解析】(1)由已知,得25+y+10=55,x+y=35,所以x=15,y=20.该超市 所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所以收集的100位顾客一 次购物的结算时间可视为总体的一个随机样本,将频率视为概率得:,因此X的分布列为: X的数学期望为 E(X),(2)记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”,Xi(i=1,2) 为该顾客前面第i位顾客的结算时间,则P(A)=P(X1=1且X2=1)+ P(X1=1 且X2=1.5)+ P(X1=1.5且X2=1). 由于顾客的结算相互独立,且X1,X2的分布列都与X的分布列相同,所以 P(A)=P(X1=1)P(X2=1)+ P(X1=1)P(X2=1.5)+ P(X1=1.5)P(X2=1) = 故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为,【加固训练】(2014邯郸模拟)甲、乙两人进行乒乓球比赛,约定每 局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时 停止.设甲在每局中获胜的概率为P(P ),且各局胜负相互独立.已 知第二局比赛结束时比赛停止的概率为 . (1)求P的值. (2)设表示比赛停止时比赛的局数,求随机变量的分布列和数学期望E().,【解析】(1)当甲连胜2局或乙连胜2局时, 第二局比赛结束时比赛停止,故P2+(1-P)2= , 解得P= 或P= ,又P ,故P= .,(2)依题意知的所有可能取值为2,4,6, 设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为 ， 若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分, 此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响,从而有P(2) ，P(4),则随机变量的分布列为: E(),
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