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热点专题突破系列(二) 三角函数与平面向量的综合应用,考点一 三角函数的求值与平面向量的综合 【考情分析】以平面向量为载体利用诱导公式、同角三角函数关系式、两角和与差的三角函数及倍角公式等解决三角函数的条件求值问题,是高考的重要考向,考查学生分析问题、解决问题的能力.,【典例1】(2015海滨模拟)已知m=(sinx, cosx),n=(sinx,sinx), f(x)=mn. (1)求 的值. (2)当x0, 时,求函数f(x)的最大值与最小值.,【解题提示】(1)利用向量的坐标计算两向量的数量积,从而得f(x), 把x= 代入可得. (2)利用x的范围确定角的范围,从而得三角函数的最大值与最小值.,【规范解答】(1)由已知得. f(x)=mn=(sinx, cosx)(sinx,sinx) =sin2x+ cosxsinx= = sin2x- cos2x+ =sin(2x- )+ . 故,(2)当x0, 时, 故当2x- = ,即x= 时,f(x)max=1+ = , 当2x- =- ,即x=0时, f(x)min=sin(- )+ =- + =0.,【规律方法】平面向量在三角函数求值中的应用步骤 (1)此类题目的特点是所给向量的坐标用关于某角的正、余弦给出,把向量垂直或共线转化为关于该角的三角函数的等式. (2)利用三角恒等变换进行条件求值.,【变式训练】(2015南京模拟)已知向量a=(sin,-2)与b=(1,cos)互相垂直,其中(0, ). (1)求cos,sin的值. (2)若5cos(-)=3 cos,0 ,求cos的值.,【解析】(1)因为ab,所以ab=sin-2cos=0, 即sin=2cos. 又sin2+cos2=1, 所以4cos2+cos2=1,即cos2= . 因为(0, ),所以cos= ,sin=2cos= .,(2)由5cos(-)=3 cos,得 5(coscos+sinsin)=3 cos, 即 cos+2 sin=3 cos,所以sin=cos. 因为(0, ),所以cos= .,【加固训练】设向量a=(4cos,sin),b=(sin,4cos),c= (cos,-4sin). (1)若a与b-2c垂直,求tan(+)的值. (2)求|b+c|的最大值. (3)若tantan=16,求证:ab.,【解析】(1)因为b-2c=(sin-2cos,4cos+8sin),a与b-2c垂直, 所以4cos(sin-2cos)+sin(4cos+8sin)=0, 即sincos+cossin =2(coscos-sinsin), 所以sin(+)=2cos(+),所以tan(+)=2.,(2)因为b+c=(sin+cos,4cos-4sin), 所以|b+c|= = 所以当sin2=-1时,|b+c|取最大值,且最大值为,(3)因为tantan=16,所以 =16, 即sinsin=16coscos, 所以(4cos)(4cos)=sinsin, 即a=(4cos,sin)与b=(sin,4cos)共线, 所以ab.,考点二 三角函数的性质与平面向量的综合 【考情分析】以平面向量的坐标运算为载体,引入三角函数,通过三角恒等变换化为一个角的三角函数,重点考查三角函数的单调性、周期性、最值、取值范围及三角函数的图象变换等.,【典例2】(2015沈阳模拟)已知向量m=(sinx,-1),n=(cosx, ), f(x)=(m+n)m. (1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间. (2)当x0, 时,求f(x)的值域. (3)将f(x)的图象左移 个单位后得g(x)的图象,求g(x)在 上的最大值.,【解题提示】(1)利用向量坐标运算得f(x)的解析式可求周期及增区间. (2)利用已知求得角的范围后可求f(x)的值域. (3)利用图象平移变换可得g(x),再利用角的范围求解最大值.,【规范解答】(1)由已知可得m+n=(sinx+cosx, ), 故f(x)=(m+n)m =(sinx+cosx, )(sinx,-1) =sin2x+sinxcosx- = sin2x- cos2x =,故f(x)的最小正周期T= =, 由2k- 2x- 2k+ ,kZ, 得k- xk+ ,kZ. 故f(x)的单调递增区间是k- ,k+ (kZ).,(2)当x0, 时,2x- 故- sin(2x- )1, 故- sin(2x- ) . 所以当x0, 时,f(x)的值域为,(3)由已知得g(x)= = 故当x 时,2x 所以当2x=0即x=0时,g(x)max= cos0= .,【规律方法】平面向量与三角函数性质的综合问题的解法 (1)利用平面向量的数量积把向量问题转化为三角函数的问题. (2)利用三角函数恒等变换公式(尤其是辅助角公式)化简函数解析式. (3)根据化简后的函数解析式研究函数的性质.,【变式训练】(2015东营模拟)已知m=(bsinx,acosx),n=(cosx, -cosx),f(x)=mn+a,其中a,bR,且满足 =2,f(0)=2 . (1)求a,b的值. (2)若关于x的方程f(x)- =0在0, 上总有实数解.求k的取 值范围.,【解析】(1)由已知得,f(x)=mn+a=bsinxcosx-acos2x+a = 由 =2得a+ b=8. 又因为f(x)=bcos2x+asin2x且f(0)=2 , 所以b=2 ,所以a=2.,(2)由(1)得f(x)= sin2x-cos2x+1 =2sin(2x- )+1, 所以x 时,2x- 所以-12sin(2x- )2, 所以f(x)0,3.,又因为f(x)- =0在 上总有实数解,即f(x)= 有解,所 以0 3, 即-3log3k0,所以 k1. 故k的取值范围是,【加固训练】已知向量a=(sin(-x),sin( -x), b=(cosx, cosx)(0),若f(x)=ab,且f(x)的最小正周期为. (1)求的值. (2)试述由y=sinx的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到f(x)的图象. (3)求y=f(x)的值域.,【解析】(1)f(x)=ab =sin(-x)cosx+sin( -x)cosx =sinxcosx+cos2x= sin2x+ 所以 =,即=1.,(2)由(1),得f(x)= 首先把y=sinx的图象向左平移 个单位,得y=sin(x+ )的图象;其次把y=sin(x+ )的图象纵坐标 不变,横坐标变为原来的 倍,得y=sin(2x+ )的图象;然后把y= sin(2x+ )的横坐标不变,纵坐标变为原来的 倍,得y= 的图象;最后,把y= 的图象向上平移 个单位,得f(x)= 的图象.,(3)因为f(x)min= f(x)max= 所以f(x)的值域是,考点三 平面向量在三角形计算中的应用 【考情分析】以平面向量的线性运算、数量积为载体考查三角形中正、余弦定理的应用及简单的三角恒等变换,主要解决三角形中求边、求角及求三角形面积等.考查分析问题,解决问题的能力.,【典例3】(2015武汉模拟)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,m=(a,b),n=(sinB,-cosA)且mn=0. (1)求内角A的大小. (2)若a=10,求ABC的面积的最大值. 【解题提示】(1)利用向量数量积运算得边角关系,利用正弦定理边化角后可解. (2)利用余弦定理求得bc的最大值后可解.,【规范解答】(1)由已知得mn=asinB-bcosA=0. 由正弦定理可得sinAsinB-sinBcosA=0, 即sinB(sinA-cosA)=0. 因为0B,所以sinB0. 所以sinA=cosA即tanA=1,又0A,故A= .,(2)因为a=10,所以a2=b2+c2-2bccosA=102. 由(1)知A= ,所以b2+c2- bc=100. 又c2+b22bc,所以100+ bc2bc.所以bc 所以S= bcsinA= bc 等号当且仅当b=c时取得. 故ABC面积的最大值为25( +1).,【规律方法】平面向量与三角形计算综合问题的解法 (1)利用平面向量数量积的计算公式,把问题转化为三角形中的计算问题,在三角形中,结合三角形内角和公式、正余弦定理、三角形的面积公式进行相关计算. (2)先在三角形中利用相关公式进行计算,再按要求求向量的数量积、夹角、模等. 提醒:解决三角形中向量夹角问题的思维误区是不注意向量的方向,从而弄错向量的夹角.,【变式训练】(2015安庆模拟)已知ABC的面积是30,三内角A,B,C 所对边长分别为a,b,c,cosA= (1)求 (2)若c-b=1,求a的值.,【解析】(1)由cosA= ,得sinA= SABC= bcsinA= bc=30,bc=156. (2)因为c-b=1,bc=156, 所以a2=b2+c2-2bccosA=(c-b)2+2bc- =1+ 156=25,即a=5.,【加固训练】在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,tanC=3 . (1)求cosC的值. (2)若 且a+b=9,求c的长.,【解析】(1)因为tanC=3 ,所以 又因为sin2C+cos2C=1,解得cosC= . 因为tanC0,所以C是锐角.所以cosC= . (2)因为 所以abcosC= ,解得ab=20. 又因为a+b=9,所以a2+b2=41. 所以c2=a2+b2-2abcosC=36,所以c=6.,
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