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第五节 数系的扩充与复数的引入,【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣 填一填 (1)复数的有关概念:,a+bi,a,b,b=0,b0,a=0,且b0,a=c且,b=d,a=c,且b=-d,实,轴,虚轴,(2)复数的几何意义: 复数z=a+bi(a,bR)和复平面内的点Z(a,b)一一对应. 复数z=a+bi(a,bR)和向量 一一对应.,(3)复数代数形式的四则运算: 运算法则: 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),则,(ac)+(bd)i,(ac-bd)+(ad+bc)i,复数加法的运算律: 设z1,z2,z3C,则复数加法满足以下运算律: ()交换律:z1+z2=_; ()结合律:(z1+z2)+z3= _.,z2+z1,z1+(z2+z3),2.必备结论 教材提炼 记一记 (1)i乘方的周期性: (2)z =|z|2=| |2.,3.必用技法 核心总结 看一看 (1)常用方法: 利用复数的运算法则求复数的和差积商的方法; 以等式或点的坐标的形式给出考查复数的几何意义的方法. (2)常用思想:函数与方程、数形结合、分类讨论.,【小题快练】 1.思考辨析 静心思考 判一判 (1)若aC,则a20.( ) (2)在实数范围内的两个数能比较大小,因而在复数范围内的两个数也能比较大小.( ) (3)一个复数的实部为0,则此复数必为纯虚数.( ) (4)复数的模就是复数在复平面内对应向量的模.( ),【解析】(1)错误.若a=i,则a2=-10,因而(1)错.(2)错误.若两个复数为虚数,或一个为实数,一个为虚数,则它们不能比较大小.(3)错误.当虚部也为0时,则此复数为实数0.(4)正确.由复数的几何意义可知该结论正确. 答案:(1) (2) (3) (4),2.教材改编 链接教材 练一练 (1)(选修2-2P112A组T2改编)在复平面内,已知6+5i对应的向量为 =(4,5),则 对应的复数为 . 【解析】由已知得 =(6,5),又 =(4,5), 故 =(6,5)+(4,5)=(10,10). 故 对应的复数为10+10i. 答案:10+10i,(2)(选修2-2P112A组T6改编)已知实数m是方程x2+(2+i)x+n+2i=0, nR的一个根,则m+n= .,【解析】由已知得m2+(2+i)m+n+2i=0, 即(m2+2m+n)+(m+2)i=0, 故 得 故m+n=-2. 答案:-2,3.真题小试 感悟考题 试一试 (1)(2014新课标全国卷) =( ) A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 【解析】选D. =-1-i.,(2)(2014山东高考)已知a,bR,i是虚数单位,若a-i与2+bi互为共轭复数,则(a+bi)2=( ) A.5-4i B.5+4i C.3-4i D.3+4i 【解析】选D.因为a-i与2+bi互为共轭复数, 所以a=2,b=1, 所以(a+bi)2=(2+i)2=4+4i+i2=3+4i.,(3)(2014江苏高考)已知复数z=(5+2i)2(i为虚数单位),则z的实部为 . 【解析】由题意z=(5+2i)2=21+20i,故实部为21. 答案:21,考点1 复数的有关概念 【典例1】(1)(2014大纲版全国卷)设z= ,则z的共轭复数为 ( ) (本题源于教材2-2P116A组T1(2) A.-1+3i B.-1-3i C.1+3i D.1-3i (2)(2013上海高考)设mR,m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数,其中i是虚数 单位,则m= .,【解题提示】(1)利用已知求得复数z后再求z的共轭复数. (2)由纯虚数概念求解. 【规范解答】(1)选D.z= =3i+1, 则 =1-3i. (2)m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数 m=-2. 答案:-2,【易错警示】解答本例题(2)易出现以下错误: (1)条件考虑不完整,只考虑m2+m-2=0得m=-2或m=1,忽略m2-10的条件. (2)虽然考虑了m2-10,但未取舍而保留原答案-2或1.,【规律方法】求解与复数概念相关问题的技巧 复数的分类、复数的相等、复数的模,共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关,所以解答与复数相关概念有关的问题时,需把所给复数化为代数形式,即a+bi(a,bR)的形式,再根据题意求解.,【变式训练】(2014安徽高考)设i是虚数单位, 表示复数z的共轭复 数.若z=1+i,则 =( ) A.-2 B.-2i C.2 D.2i 【解析】选C.因为z=1+i,所以 =1-i, 故 =-i(1+i)+i(1-i)=-2i2=2.,【加固训练】1.(2013天津高考改编)已知a,bR,i是虚数单位.若(a+i)(1+i)=bi,则复数z=a+bi的共轭复数是( ) A.2+i B.2-i C.1+2i D.1-2i 【解析】选D.因为(a+i)(1+i)=a-1+(a+1)i=bi,所以a-1=0,a+1=b,即a=1,b=2,所以z=a+bi=1+2i,故复数z的共轭复数是1-2i.,2.(2013江苏高考)设z=(2-i)2(i为虚数单位),则复数z的模为 . 【解析】z=(2-i)2=4+i2-4i=3-4i,故|z|=5. 答案:5,考点2 复数的几何意义 【典例2】(1)(2014新课标全国卷)设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则z1z2=( ) A.-5 B.5 C.-4+i D.-4-i (2)(2014重庆高考)复平面内表示复数i(1-2i)的点位于(本题源于教材2-2P116A组T1(3)( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,【解题提示】(1)利用对称得出两复数实虚部关系后代入可解. (2)利用复数运算后虚部与实部的正负判断. 【规范解答】(1)选A.因为z1=2+i,z1与z2关于虚轴对称,所以z2=-2+i,所以z1z2=-1-4=-5,故选A. (2)选A.i(1-2i)=2+i,对应复平面内的点为(2,1),位于第一象限.,【互动探究】本例(2)中i(1-2i)对应点关于实轴对称的点对应的复数为 . 【解析】由i(1-2i)=2+i可知其对应点坐标为(2,1),其关于实轴对称点坐标为(2,-1),故其对应的复数为2-i. 答案:2-i,【规律方法】复数几何意义及应用 (1)复数z、复平面上的点Z及向量 相互联系,即z=a+bi(a,bR)Z(a,b) . (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此可把复数、向量与解析几何联系在一起,解题时可运用数形结合的方法,使问题的解决更加直观.,提醒:|z|的几何意义:令z=x+yi(x,yR),则|z|= ,由此可知 表示复数z的点到原点的距离就是|z|的几何意义;|z1-z2|的几何意义 是复平面内表示复数z1,z2的两点之间的距离.,【变式训练】在复平面内,复数z= (i为虚数单位)的共轭复数对 应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】选D.z= =i+1, =1-i.所以复数z的共轭复数对 应的点位于第四象限.,【加固训练】1.(2013湖南高考)复数z=i(1+i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】选B.因为z=i(1+i)=-1+i,而(-1,1)对应的点在第二象限,所以选B.,2.(2015临沂模拟)已知复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-4i,它们在复平 面上对应的点分别为A,B,C.若 = + (,R),求+ 的值.,【解析】由已知得A(-1,2),B(1,-1),C(3,-4), 故 =(3,-4), =(-1,2), =(1,-1), 若 = + ,即(3,-4)=(-1,2)+(1,-1), 得 解得 故+=-1+2=1.,考点3 复数的四则运算 知考情 复数的四则运算是高考考查的一个重要考向,常利用复数的加减乘运算求复数,利用复数的相等或除法运算求复数,利用复数的有关概念求复数等,以选择题、填空题的形式出现.,明角度 命题角度1:复数的加减乘法运算 【典例3】(2014福建高考)复数z=(3-2i)i的共轭复数 等于( ) A.-2-3i B.-2+3i C.2-3i D.2+3i 【解题提示】利用复数的运算法则进行计算. 【规范解答】选C.因为z=2+3i,所以 =2-3i.,命题角度2:复数的除法运算 【典例4】(2014天津高考)i是虚数单位,复数 =( ) 【解题提示】利用复数除法运算,分子分母同乘以分母的共轭复数求解. 【规范解答】选A. =1-i.,悟技法 利用复数的四则运算求复数的一般思路. (1)复数的乘法运算满足多项式的乘法法则,利用此法则后将实部与虚部分别写出即可. (2)复数的除法运算主要是利用分子、分母同乘以分母的共轭复数进行运算化简. (3)利用复数的相关概念解题时,通常是设出复数或利用已知联立方程求解.,通一类 1.(2014湖北高考)i为虚数单位, =( ) A.-1 B.1 C.-i D.i 【解析】选A. =-1.,2.(2014辽宁高考)设复数z满足(z-2i)(2-i)=5,则z=( ) A.2+3i B.2-3i C.3+2i D.3-2i 【解析】选A.由(z-2i)(2-i)=5得z= +2i= +2i =2+i+2i=2+3i.,【一题多解】选A.设z=a+bi(a,bR), 则由(z-2i)(2-i)=5,得 z-2i= =2+i, 又z-2i=a+bi-2i=a+(b-2)i, 所以a+(b-2)i=2+i, 所以 得 故z=2+3i.,3.(2014四川高考)复数 = . 【解析】 =(1-i)2=-2i. 答案:-2i,自我纠错12 复数有关概念的应用 【典例】(2013陕西高考)设z是复数,则下列命题中的假命题是( ) A.若z20,则z是实数 B.若z20,则z是虚数 C.若z是虚数,则z20 D.若z是纯虚数,则z20,【解题过程】,【错解分析】分析上面解题过程,你知道错在哪里吗? 提示:上述解题过程错在对纯虚数与虚数概念含混不清,搞不明白,纯虚数一定是虚数,而虚数不一定是纯虚数,从而判断错误.,【规避策略】 1.弄清虚数与纯虚数的区别,对于z=a+bi(a,bR),若b0,则z为虚数,若b0且a=0,则z为纯虚数. 2.利用排除法解题时,不要找到一个就停止,这样极易误选,应该将剩余选项再观察,若有选项适合,应将两个进行比较再确定正确答案.,【自我矫正】选C.设z=a+bi(a,bR),则z2=a2-b2+2abi. 对于A:若z20,则 故b=0或a,b都为0, 即z为实数,所以A正确; 对于B:若z20,则 即 故z为纯虚数,即z是虚数,所 以B正确; 对于C:若z是虚数,则b0,z2=a2-b2+2abi,由于a的值不确定,故z2无法与0比较大小,所以C错误; 对于D:若z是纯虚数, 则 z2=-b20成立,所以D正确.,
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