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第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件,【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣 填一填 (1)命题: 用语言、符号或式子表达的,可以_的陈述句叫做命题.其中 _的语句叫做真命题,_的语句叫做假命题.,判断真假,判断为真,判断为假,(2)四种命题及其相互关系:,(3)充要条件:,充分,必要,充分不必要,必要不充分,充要,既不充分也不必要,2.必备结论 教材提炼 记一记 (1)四种命题中的等价关系: 原命题等价于_,否命题等价于_,在四种形式的命题 中真命题的个数只能是0或2或4. (2)等价转化法判断充分条件、必要条件: p是q的充分不必要条件,等价于q是p的_条件.其他 情况依次类推.,逆否命题,逆命题,充分不必要,(3)用集合的关系判断充分条件、必要条件:,AB,BA,A B,B A,A=B,3.必用技法 核心总结 看一看 (1)常用方法:充分条件、必要条件的判断方法:定义法、集合法、等价转化法. (2)数学思想:化归与转化思想. (3)记忆口诀:真假能判是命题,条件结论很清楚. 命题形式有四种,分成两双同真假. 若p则q真命题,p是q充分条件, q是p必要条件,原逆皆真称充要.,【小题快练】 1.思考辨析 静心思考 判一判 (1)语句x2-3x+2=0是命题.( ) (2)一个命题的逆命题与否命题,它们的真假没有关系.( ) (3)命题“如果p不成立,则q不成立”等价于“如果q成立,则p成立”.( ) (4)“p是q的充分不必要条件”与“p的充分不必要条件是q”表达的意义相同.( ),【解析】(1)错误.无法判断真假,故不是命题. (2)错误.一个命题的逆命题与否命题是互为逆否命题,它们的真假性 相同. (3)正确.一个命题与其逆否命题等价. (4)错误.“p是q的充分不必要条件”即为“pq且q p”,“p的充 分不必要条件是q”即为“qp且p q”. 答案:(1) (2) (3) (4),2.教材改编 链接教材 练一练 (1)(选修2-1P8T2(1)改编)命题“若a,b都是偶数,则a+b是偶数”的逆否命题为 . 【解析】“a,b都是偶数”的否定为“a,b不都是偶数,”“a+b是偶数”的否定为“a+b不是偶数”,故其逆否命题为“若a+b不是偶数,则a,b不都是偶数”. 答案:若a+b不是偶数,则a,b不都是偶数,(2)(选修2-1P10T3(2)改编)“(x-a)(x-b)=0”是“x=a”的 条件. 【解析】x=a(x-a)(x-b)=0,反之不一定成立,因此“(x-a)(x-b) =0”是“x=a”的必要不充分条件. 答案:必要不充分,3.真题小试 感悟考题 试一试 (1)(2014北京高考)设a,b是实数,则“ab”是“a2b2”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,【解题提示】验证充分性与必要性. 【解析】选D.“ab”推不出“a2b2”, 例如,2-3,但4b2”也推不出“ab”, 例如,94,但-32.,(2)(2014浙江高考)设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边形ABCD为菱形”是“ACBD”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选A.“四边形ABCD为菱形”“ACBD”,“ACBD”推不出“四边形ABCD为菱形”,所以“四边形ABCD为菱形”是“ACBD”的充分不必要条件.,(3)(2015焦作模拟)已知命题:如果x3,那么x5;命题:如果x3,那么x5;命题:如果x5,那么x3.关于这三个命题之间的关系.下列三种说法正确的是( ) 命题是命题的否命题,且命题是命题的逆命题; 命题是命题的逆命题,且命题是命题的否命题; 命题是命题的否命题,且命题是命题的逆否命题. A. B. C. D.,【解析】选A.本题考查命题的四种形式,逆命题是把原命题中的条件和结论互换,否命题是把原命题的条件和结论都加以否定,逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得,故正确,错误,正确,选A.,考点1 四种命题及其真假判断 【典例1】(1)已知命题“若函数f(x)=ex-mx在(0,+)上是增函数,则m1”,则下列结论正确的是( ) A.否命题是“若函数f(x)=ex-mx在(0,+)上是减函数,则m1”是真命题 B.逆命题是“若m1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+)上是增函数”是假命题,C.逆否命题是“若m1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+)上是减函数”是真命题 D.逆否命题是“若m1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+)上不是增函数”是真命题,(2)(2014陕西高考)原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|= |z2|”,关于逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确 的是( ) A.真,假,真 B.假,假,真 C.真,真,假 D.假,假,假,【解题提示】(1)先判断否命题,逆命题、逆否命题是否正确,再判断其真假. (2)写出逆命题,利用原命题与逆否命题,逆命题与否命题等价来判断.,【规范解答】(1)选D.f(x)=ex-m,由f(x)在(0,+)上是增函数知f(x)0,即mex在x(0,+)上恒成立,又ex1,从而m1,则原命题是真命题.对于A,否命题写错,故A错;对于B,逆命题写对,但逆命题是真命题,故B错;对于C,逆否命题写错,故C错;对于D.逆否命题写对,且为真命题,故选D. (2)选B.由已知条件可以判断原命题为真,所以它的逆否命题也是真;而它的逆命题为假,所以它的否命题亦为假,故选B.,【易错警示】解答本例题(1)有两点容易出错: (1)根据f(x)是增函数求错m的取值范围. (2)把“f(x)是增函数”的否定错误地认为是“f(x)是减函数”.,【规律方法】 1.书写否命题和逆否命题的关注点 (1)一些常见词语及其否定表示:,(2)构造否命题和逆否命题的方法、注意点: 方法:首先要把条件和结论分清楚,其次把其中的关键词搞清楚. 注意点:注意其中易混的关键词,如“都不是”和“不都是”,其中“都不是”是指的一个也不是,“不都是”指的是其中有些不是. 2.命题真假的判断方法 (1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断. (2)利用原命题与逆否命题,逆命题与否命题的等价关系进行判断.,【变式训练】命题“若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否命题是( ) A.若f(x)是偶函数,则f(-x)是偶函数 B.若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数 C.若f(-x)是奇函数,则f(x)是奇函数 D.若f(-x)不是奇函数,则f(x)不是奇函数,【解析】选B.条件的否定是“f(x)不是奇函数”,结论的否定是“f(-x)不是奇函数”,故该命题的否命题是“若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数”.,【加固训练】1.命题“若= ,则tan=1”的逆否命题是( ) A.若 ,则tan1 B.若= ,则tan1 C.若tan1,则 D.若tan1,则= 【解析】选C.原命题的逆否命题是“若tan1,则 ”, 故选C.,2.关于命题“若抛物线y=ax2+bx+c的开口向下,则x|ax2+bx+c0 ”的逆命题、否命题、逆否命题的真假性,下列结论成立的是 ( ) A.都真 B.都假 C.否命题真 D.逆否命题真 【解析】选D.原命题为真命题,则其逆否命题为真命题.,考点2 充分条件、必要条件的判断 知考情 充分条件、必要条件的判断是高考命题的热点,常以选择题的形式出现,作为一个重要载体,考查的知识面很广,几乎涉及数学知识的各个方面,如函数、不等式、三角函数、平面向量、解析几何、立体几何等知识.,明角度 命题角度1:定义法判断充分条件、必要条件 【典例2】(2014湖北高考)设U为全集,A,B是集合,则“存在集合C使得AC,BUC”是“AB=”的( ) A.充分而不必要的条件 B.必要而不充分的条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件,【解题提示】考查集合与集合的关系、充分条件与必要条件的判断. 【规范解答】选C.依题意,若AC,则UCUA,当BUC,可得AB=;若AB=,不妨令C=A,显然满足AC,BUC,故满足条件的集合C是存在的.,命题角度2:集合法判断充分条件、必要条件 【典例3】(2014安徽高考)“x0”是“ln(x+1)0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,【解题提示】分清条件和结论,根据充分条件、必要条件的定义判断. 【解析】选B.由ln(x+1)0,得0x+11,即-1x0, 由于x|-1x0 x|x0, 故“x0”是“ln(x+1)0”的必要不充分条件.,命题角度3:等价转化法判断充分条件、必要条件 【典例4】(2013山东高考)给定两个命题p,q.若p是q的必要而不充分条件,则p是q的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,【解题提示】借助原命题与逆否命题等价判断. 【规范解答】选A.因为p是q的必要不充分条件,则qp但p q,其逆否命题为pq但q p,所以p是q的充分不必要条件.,悟技法 充要条件的三种判断方法 (1)定义法:根据pq,qp进行判断. (2)集合法:根据p,q成立的对应的集合之间的包含关系进行判断. (3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题,如“xy1”是“x1或y1”的何种条件,即可转化为判断“x=1且y=1”是“xy=1”的何种条件.,通一类 1.(2014新课标全国卷)函数f(x)在x=x0处导数存在,若p:f(x0)=0;q:x=x0是f(x)的极值点,则( ) A.p是q的充分必要条件 B.p是q的充分条件,但不是q的必要条件 C.p是q的必要条件,但不是q的充分条件 D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件,【解析】选C.因为若f(x0)=0,则x0不一定是极值点, 所以命题p不是q的充分条件; 因为若x0是极值点,则f(x0)=0,所以命题p是q的必要条件.,2.(2013湖南高考)“1x2”是“x2”成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选A.因为集合(1,2)是集合(-,2)的真子集,所以“1x2”是“x2”成立的充分不必要条件,故选A.,3.(2013上海高考)钱大姐常说“便宜没好货”,她这句话的意思是:“不便宜”是“好货”的( ) A.充分条件 B.必要条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 【解析】选B.“便宜没好货”等价于“好货不便宜”,故选B.,考点3 充分条件、必要条件的应用 【典例5】(1)函数f(x)= 有且只有一个零点的充分不 必要条件是( ) A.a1 (2)设条件p:2x2-3x+10;条件q:x2-(2a+1)x+a(a+1)0,若p是 q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是 .,【解题提示】(1)先找出充要条件,再根据集合之间的关系确定答案. (2)先解不等式把条件p,q具体化,再由互为逆否命题的等价性确定p,q之间的关系,最后根据集合间的关系列不等式组求解.,【规范解答】(1)选A.因为函数f(x)过点(1,0),所以函数f(x)有且只 有一个零点函数y=-2x+a(x0)没有零点函数y=2x(x0)与直线 y=a无公共点.由数形结合,可得a0或a1. 观察选项,根据集合间关系a|a1,故选A.,(2)由2x2-3x+10得 x1, 由x2-(2a+1)x+a(a+1)0得axa+1. 由p是q的必要不充分条件知,p是q的充分不必要条件,则有 x| x1 x|axa+1, 所以 解得0a . 答案:0, ,【规律方法】 1.与充要条件有关的参数问题的求解方法 解决此类问题一般是根据条件把问题转化为集合之间的关系,并由此列出关于参数的不等式(组)求解. 提醒:求解时要注意区间端点值的检验.,2.充要条件的证明方法 在解答题中证明一个论断是另一个论断的充要条件时,其基本方法是分“充分性”和“必要性”两个方面进行证明.这类试题一般有两种设置格式. (1)证明:A成立是B成立的充要条件,其中充分性是AB,必要性是BA. (2)证明:A成立的充要条件是B,此时的条件是B,故充分性是BA,必要性是AB.,提醒:在分充分性与必要性分别进行证明的试题中,需要分清命题的条件是什么,结论是什么;在一些问题中充分性和必要性可以同时进行证明,即用等价转化法进行推理证明.,【变式训练】已知P=x|x2-8x-200,S=x|1-mx1+m. (1)是否存在实数m,使xP是xS的充要条件,若存在,求出m的取值范围. (2)是否存在实数m,使xP是xS的必要条件,若存在,求出m的取值范围.,【解析】由x2-8x-200得-2x10, 所以P=x|-2x10, (1)因为xP是xS的充要条件,所以P=S, 所以 所以 这样的m不存在. (2)由题意xP是xS的必要条件,则SP, 当S=时,1-m1+m,解得m0,当S时,由题意可得 所以m3. 综上,可知m3时,xP是xS的必要条件.,【加固训练】1.若“x21”是“x1得x1或x1或x-1, 所以a-1,从而a的最大值为-1. 答案:-1,2.已知ab0,证明a+b=1成立的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0. 【证明】先证充分性:若a3+b3+ab-a2-b2=0, 则(a+b-1)(a2-ab+b2)=0, 所以(a+b-1) =0,由ab0得 a+b-1=0,所以a+b=1成立,充分性得证. 再证必要性:若a+b=1,则由以上对充分性的证明知a3+b3+ab-a2-b2 =(a+b-1)(a2-ab+b2)=0,故必要性得证. 综上知,a+b=1成立的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.,自我纠错1 充分条件、必要条件的判断 【典例】(2015天津模拟)设a,bR,且a0,则“(a-b)a20”是 “ab”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,【解题过程】,【错解分析】分析上面解题过程,你知道错在哪里吗? 提示:(1)忽略a0这一条件. (2)只考虑了ab(a-b)a20是否成立,忽略了反推.,【规避策略】 1.判断思路:判断充分条件、必要条件必须从正、反两个方面进行推理论证,缺一不可,最后根据充分条件、必要条件的定义进行判断. 2.关注大前提:进行正、反两个方面推理时,大前提都要利用好,是推理的条件.,【自我矫正】选C.因为a0,所以a20. 由(a-b)a20. 因为ab,即a-b0,所以(a-b)a20. 所以“(a-b)a20”是“ab”的必要条件. 综上,应选C.,
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