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第三章 3.1 函数与方程,3.1.2 用二分法求方程的近似解,1.能用二分法求出方程的近似解. 2.知道二分法是求方程近似解的一种常用方法，体会“逐步逼近”的思想.,学习目标,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,栏目索引,知识梳理 自主学习,知识点一 二分法的定义 对于在区间a，b上 且 的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 ，使区间的两个端点逐步逼近 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 思考 所有的函数都可以用二分法求零点吗？ 答 用二分法求出的零点一般是零点的近似值，但并不是所有函数都可以用二分法求零点，必须是满足在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0的函数f(x)才能用二分法求零点的近似值.,答案,零点,连续不断,f(a)f(b)0,一分为二,答案,返回,知识点二 用二分法求方程近似解的步骤 给定精确度，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下： (1)确定区间a，b，验证 ，给定精确度； (2)求区间(a，b)的中点c； (3)计算f(c)； 若f(c)0，则 就是函数的零点； 若f(a)f(c)0，则令bc(此时零点x0 ). 若f(c)f(b)0，则令ac(此时零点x0 ). (4)判断是否达到精确度：即若 ，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)(4).,|ab|,f(a)f(b)0,c,(a，c),(c，b),题型探究 重点突破,题型一 二分法概念的理解 例1 下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( ),解析答案,解析 按定义，f(x)在a，b上是连续的，且f(a)f(b)0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点.故结合各图象可得选项B、C、D满足条件，而选项A不满足，在A中，图象经过零点x0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解.故选A.,A,反思与感悟,判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点.因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适合.,反思与感悟,解析答案,跟踪训练1 下列函数中，能用二分法求零点的为( ) 解析 函数图象连续不断，函数零点附近的函数值异号，这样的函数零点才能使用二分法求解，观察四个函数图象，只有B选项符合.,B,解析答案,题型二 用二分法求方程的近似解 例2 (1)根据下表，用二分法求函数f(x)x33x1在区间(1,2)上的零点的近似值(精确度0.1)是_.,解析 由表中数据知f(1.5)f(2)0，f(1.5)f(1.562 5)0，所以函数零点在区间(1.5,1.562 5)上， 又因为|1.562 51.5|0.062 50.1， 所以函数f(x)x33x1在区间(1,2)上的零点的近似值可以取1.5.故填1.5.,1.5,解析答案,反思与感悟,(2)用二分法求方程2x33x30的一个正实数近似解(精确度0.1).,解析答案,解 令f(x)2x33x3，经计算，f(0)30，f(0)f(1)0，所以方程2x33x30在(0.5,1)内有解.,反思与感悟,反思与感悟,如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：,由于|0.687 50.75|0.062 50.1， 所以方程2x33x30的一个精确度为0.1的正实数近似解可取为0.687 5.,反思与感悟,利用二分法求方程近似解的步骤：(1)构造函数，利用图象确定方程的根所在的大致区间，通常限制在区间(n，n1)，nZ；(2)利用二分法求出满足精确度的方程的根所在的区间M；(3)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点.,解析答案,跟踪训练2 用二分法求2xx4在1,2内的近似解(精确度为0.2).参考数据：,解 令f(x)2xx4，则f(1)2140， f(2)22240.,|1.3751.5|0.1250.2， 2xx4在1,2内的近似解可取为1.375.,解析答案,例3 函数f(x)2x24x6在区间1,2上零点的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 错解 由f(x)2x24x60，得2(x3)(x1)0， 解得x13，x21.故f(x)有两个零点，所以答案为C. 正解 前同错解得x13，x21. 因为31,2，11,2， 所以f(x)在1,2上只有一个零点，故选B. 纠错心得 求方程的解要注意给定区间，在解题时审题要细，看清条件很关键.,忽视给定区间造成失误,易错点,解析答案,例4 已知函数f(x)2(m1)x24mx2m1，若f(x)的图象与x轴只有一个交点，求m值.,忽视二次项系数为零致误,易错点,错解 f(x)的图象与x轴只有一个交点，,正解 当m10，即m1时，f(x)4x1，满足函数图象与x轴只有一个交点. 当m10，即m1时，函数图象与x轴只有一个交点等价于方程2(m1)x24mx2m10有两个相等的实数根，,纠错心得 当二次项系数含有字母参数时，不可忽视二次项系数为零的情形.,解析答案,返回,跟踪训练3 已知方程mx2x10在区间(0,1)内恰有一解，则实数m的取值范围是_. 解析 设f(x)mx2x1，因为方程mx2x10在(0,1)内恰有一解， 所以当m0时，方程x10在(0,1)内无解， 当m0时，由f(0)f(1)2.,(2，),当堂检测,1,2,3,4,5,1.下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的近似值的是( ),B,答案,1,2,3,4,5,2.已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：,那么函数f(x)一定存在零点的区间是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3，),B,答案,1,2,3,4,5,解析答案,3.用二分法求函数f(x)x35的零点可以取的初始区间是( ) A.2,1 B.1,0 C.0,1 D.1,2 解析 f(2)30，f(1)60， f(2)f(1)0，故可取2,1作为初始区间，用二分法逐次计算.,A,解析答案,1,2,3,4,5,4.函数f(x)的图象是连续不断的曲线，在用二分法求方程f(x)0在(1,2)内近似解的过程中得f(1)0，f(1.5)0，f(1.25)0，则方程的解所在区间为( ) A.(1.25,1.5) B.(1,1.25) C.(1.5,2) D.不能确定 解析 由于f(1.25)f(1.5)0，则方程的解所在区间为(1.25,1.5).,A,1,2,3,4,5,5.用二分法求方程x32x50在区间(2,3)内的实根，取区间中点为x02.5，那么下一个有根的区间是_. 解析 f(2)2322510，f(2.5)2.5322.555.6250， 下一个有根的区间是(2,2.5).,(2,2.5),解析答案,课堂小结,1.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点. 2.并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足： (1)在区间a，b上连续不断； (2)f(a)f(b)0. 上述两条的函数，方可采用二分法求得零点的近似值.,返回,
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