利用定积分求简单几何体的体积.ppt

1,利用定积分求简单几何体的体积,2,（一）、复习： （1）、求曲边梯形面积的方法是什么？ (2)、定积分的几何意义是什么？ （3）、微积分基本定理是什么？ （二）新课探析,问题：求函数,，,x=a,x=b围成的平面图形,绕 轴旋转一周所得到的几何体的体积。,3,设由曲线yf(x)，直线xa，xb与x轴围成的平面图形(如图甲绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为V.,思考：,1简单几何体的体积计算,4,在区间a，b内插入n1个分点，使ax0x1x2xn1xn1，把曲线yf(x)，axb分割成n个垂直于x轴的“小长条”，如图甲所示设第i个“小长条”的宽是xixixi1，i1,2，n.这个“小长条”绕x轴旋转一周就得到一个厚度是xi的小圆片，如图乙所示当xi很小时，第i个小圆片近似于底面半径yif(xi)的小圆柱，因此第i个小圆台体积Vi近似为Vif2(xi)xi. 该几何体的体积V等于所有小圆柱的体积和 Vf2(x1)x1f2(x2)x2f2(xi)xif2(xn)xn 这个问题是积分问题，则有,5,(1)找准母线的表达式及被旋转的平面图形，它的边界曲线直接决定了被积函数 (2)分清端点 (3)确定几何体的构造 (4)利用定积分进行体积表示,2利用定积分求旋转体的体积问题的关键在于,3一个以y轴为中心轴的旋转体的体积,6,例题研究,7,变式练习1、求曲线,，直线,，,与,轴围成的平面图形绕,轴旋转一周所得旋,转体的体积。,答案：,例2、如图，是常见的冰激凌的形状，其下方是一个圆锥，上方是由一段抛物线弧绕其对称轴旋转一周所成的形状，尺寸如图所示，试求其体积。,8,分析：解此题的关键是如何建立数学模型。将其轴截面按下图位置放置，并建立坐标系。则A，B坐标可得，再求出直线AB和抛物线方程， “冰激凌”可看成是由抛物线弧OB和线段AB绕X轴旋转一周形成的。,解：将其轴截面按下图位置放,置，并建立如图的坐标系。则,，,，设抛物线弧OA所在的抛物线方程为：,，,9,代入,求得：,抛物线方程为：,（,）,设直线AB的方程为：,，代入,求得：,直线AB的方程为：,所求“冰激凌”的体积为：,10,变式引申:某电厂冷却塔外形如图所示,双曲线的一部分绕其中轴(双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中A,A是双曲线的顶点，C,C是冷却塔上口直径的两个端点，B,B 是下底直径的两个端点，已知AA=14m,CC=18m,BB=22m,塔高20m. (1)建立坐标系，并写出该曲线方程 (2)求冷却塔的容积（精确到10m3塔壁厚度不计， 取3.14）,11,课堂小结： 1.求体积的过程就是对定积分概念的进一步理解过程，总结求绕x轴旋转的旋转体体积步骤如下： 1）先求出,2）代入公式,P89-90、例题4，5,3一个以y轴为中心轴的旋转体的体积,