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成才之路 数学,路漫漫其修远兮 吾将上下而求索,人教版 必修2,圆的方程,第四章,4.1 圆的方程,第四章,4.1.2 圆的一般方程,1圆的标准方程为_ 2用待定系数法求圆的标准方程步骤如下： (1)由题意设出标准方程；(2)列出关于a、b、r的方程(或方程组)；(3)解出a、b、r代入标准方程 3由几何意义求圆的标准方程步骤如下： (1)由题意确定圆心和半径长；(2)写出标准方程 4平面几何中的结论：不共线的_确定一个圆,知识衔接,(xa)2(yb)2r2(r0),三点,答案 C,自主预习,D2E24F0,(3)用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤： 根据题意，选择_或_； 根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的_； 解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程 破疑点 若一个二元方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆，应满足的条件是：AC0；B0；D2E24F0.,标准方程,一般方程,方程组,拓展 1.圆的标准方程和一般方程的对比 (1)由圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，可以直接看出圆心坐标(a，b)和半径r，圆的几何特征明显 (2)由圆的一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)，知道圆的方程是一种特殊的二元二次方程，圆的代数特征明显 (3)相互转化，如图所示,2由圆的一般方程判断点与圆的位置关系 剖析：已知点M(x0，y0)和圆的方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)，则其位置关系如下表：,2.轨迹方程 点M的坐标(x，y)满足的_称为点M的轨迹方程 拓展 当动点M的变化是由点P的变化引起的，并且点P在某一曲线C上运动时，常用中间量法(又称为相关点法)来求动点M的轨迹方程，其步骤是：(1)设动点M(x，y)；(2)用点M的坐标来表示点P的坐标；(3)将所得点P的坐标代入曲线C的方程，即得动点M的轨迹方程,关系式,预习自测,答案 B,2若方程x2y24x2y5k0表示圆，则实数k的取值范围是( ) AR B(，1) C(，1 D1，) 答案 B 解析 D2E24F0，16420k0， k1，故选B,3点P(x0，y0)是圆x2y24上的动点，点M是OP(O是原点)的中点，则动点M的轨迹方程是_. 答案 x2y21,(1)(2015荆州高二检测)圆x2y22x4y0的圆心坐标为( ) A(1,2) B(1，2) C(1,2) D(1，2),二元二次方程与圆的关系,互动探究,探究 (1)怎样由圆的一般方程得出其圆心和半径？ (2)题2中二元二次方程在什么件下表示圆？,答案 (1)B (2)A,规律总结：(1)判断一个二元二次方程是否表示圆的步骤是：先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，即x2与y2的系数相等；不含xy项；当它具有圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆，此时有两种途径，一是看D2E24F是否大于零，二是直接配方变形，看右端是否为大于零的常数即可 (2)圆的标准方程指出了圆心坐标与半径的大小，几何特征明显；圆的一般方程表明圆的方程是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显,(1)过三点A(1,5)，B(5,5)，C(6，2)的圆的方程是( ) Ax2y24x2y200 Bx2y24x2y200 Cx2y24x2y200 Dx2y24x4y200,用待定系数法求圆的方程,探究 (1)题1中三点与圆心、半径无直接联系，应怎样设出圆的方程？ (2)圆的一般方程中含有几个待定系数，在求圆的方程时如何求出待定系数？,答案 (1)C,规律总结：求圆的方程有以下两种方法 (1)几何法利用圆的几何性质确定出圆心和半径 (2)待定系数法大致步骤为： 根据题意，选择标准方程或一般方程； 根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组； 解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程,注：不论是圆的标准方程还是一般方程，必须具备三个独立条件，才能确定一个圆在选择圆的标准方程或一般方程时：如果由已知条件容易知圆心坐标、半径长或可用圆心、半径长列方程，通常设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径长都无直接关系，通常选择一般方程而利用圆的几何性质及数形结合思想又易于寻找解题思路,(1)已知圆经过A(2，3)和B(2，5)，若圆心在直线x2y30上，求圆的方程 (2)求过点A(1,0)、B(3,0)和C(0,1)的圆的方程 分析 由题设三个条件，可利用待定系数法求方程，也可利用弦的中垂线过圆心，先确定圆心，再求圆的半径,规律总结：1.第(1)题中，容易发现，利用圆的性质的解法3比用待定系数法的解法1和解法2计算量小，充分利用圆的性质可简化解题过程 2用待定系数法求圆的方程时，如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，求出a、b、r即可如果给出圆上三个点坐标或已知条件与圆心或半径都无直接关系，一般采用一般方程，求出D、E、F即可,已知点P在圆C：x2y28x6y210上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程 探究 求动点的轨迹方程即求动点的坐标(x，y)满足的关系式可以建立点P与点M的坐标之间的关系，由点P的坐标满足方程x2y28x6y210，得点M的坐标满足的条件，求出点M的轨迹方程也可以根据图形的几何特征，直接利用圆的定义求解,求轨迹方程,探索延拓,点评 本题解法一为代入法：它用于处理一个主动点与一个被动点问题，只需找出这两点坐标之间的关系，然后代入主动点满足的轨迹方程即可本题解法二为定义法：动点的轨迹满足某种曲线的定义，然后根据定义直接写出动点的轨迹方程,规律总结：求轨迹方程的常用方法： (1)直接法：能直接根据题目提供的条件列出方程步骤如下： 说明：因为除个别情况外，化简过程都是同解变形过程，所以证明时步骤可以不写，如果有特殊情况，可适当予以说明,(2)代入法(也称相关点代入法)：找到所求动点与已知动点的关系，代入已知动点的所在的方程具体步骤如下： 设所求轨迹上任意一点Q(x，y)，与点Q相关的动点P(x0，y0)； 根据条件列出x，y与x0，y0的关系式，求得x0，y0(即用x，y表示出来)； 将x0，y0代入已知曲线的方程，从而得到点Q(x，y)满足的关系式即为所求的轨迹方程,等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个端点是B(3,5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么 分析 先设出点C的坐标(x，y)，根据|AB|AC|列方程化简整理，即可得点C的轨迹方程，然后由轨迹方程指明轨迹,已知点O(0,0)在圆x2y2kx2ky2k2k10外，求k的取值范围,易错点 忽视圆的方程成立的条件,误区警示,错因分析 本题忽视了圆的一般方程x2y2DxEyF0表示圆的条件为D2E24F0，而导致错误,思路分析 方程是否满足表示圆的条件，这是将二元二次方程按圆的方程处理时应首先考虑的问题,当m是什么实数时，关于x，y的方程(2m2m1)x2(m2m2)y2m20表示的图形是一个圆？ 错解 形如Ax2By2F0的方程表示一个圆，只要AB0， 所以2m2m1m2m2，即m22m30， 解得m11，m23. 所以当m1，或m3时，原方程表示的图形是一个圆,1圆x2y24x6y0的圆心坐标是( ) A(2,3) B(2,3) C(2，3) D(2，3) 答案 D 解析 圆的一般程化成标准方程为(x2)2(y3)213，可知圆心坐标为(2，3),2过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为( ) Ax2y22x3y0 Bx2y22x3y0 Cx2y22x3y0 Dx2y22x3y0 答案 A,3动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离是2倍，则动点P的轨迹方程为( ) Ax2y232 Bx2y216 C(x1)2y216 Dx2(y1)216 答案 B,4若方程x2y2DxEyF0表示以(1,2)为圆心，2为半径的圆，则F_. 答案 1,5判断下列方程是否表示圆，若是，化成标准方程 (1)x2y22x10； (2)x2y22ay10； (3)x2y220x1210； (4)x2y22ax0.,
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