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成才之路 数学,路漫漫其修远兮 吾将上下而求索,北师大版 必修1,函数应用,第四章,第四章,1 函数与方程,1.2 利用二分法求方程的近似解,在一档娱乐节目中，主持人让选手在规定时间内猜某物品的价格，若猜中了，就把物品奖给选手某次竞猜的物品为价格在800元1200元之间的一款手机，选手开始报价： 选手：1000. 主持人：低了 选手：1100. 主持人：高了,选手：1050. 主持人：祝贺你，答对了 问题1：主持人说“低了”隐含着手机价格在哪个范围内？ 问题2：选手每次的报价值同竞猜前手机价格所在范围有何关系？,1.二分法 每次取区间的中点，将区间_，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法 2函数零点的性质 对于图像是连续不间断的函数，其函数零点具有下列性质： (1)当函数图像通过零点(不是二重零点)时，其函数值的符号_(填“改变”或“不改变”) (2)在相邻的两个零点之间所有的函数值保持_(填“同号”或“异号”),一分为二,改变,同号,1.已知函数yf(x)的图像是连续不断的，有如下的对应值表： 则函数yf(x)在区间1,6上的零点至少有( ) A2个 B3个 C4个 D5个,答案 B 解析 f(2)f(3)0，f(3)f(4)0， f(4)f(5)0， 至少有3个零点，分别在2,3，(3,4，(4,5上，故选B.,2函数yx2bx1有二重零点，则b的值为( ) A2 B2 C2 D不存在 答案 C 解析 yx2bx1有二重零点， b240，即b2，故选C.,3下列函数中能用二分法求零点的是( ) 答案 C 解析 从图像上看，A的函数无零点；B、D中的函数都是不变号零点，不能运用二分法故选C.,4用二分法求方程x32x50在区间2,3内的实根，取区间中点2.5，那么下一个有根区间是_ 答案 2,2.5 解析 由计算器可算得f(2)1，f(3)16，f(2.5)5.625，f(2)f(2.5)0，所以下一个有根区间是2,2.5,5函数f(x)x2axb有零点，但不能用二分法求出，则a、b的关系是_ 答案 a24b0 解析 二次函数有零点，但不能用二分法求出，则有a241b0，即a24b0.,判断下列函数是否有变号零点： (1)yx25x14； (2)yx2x1； (3)yx4x310x2x5； (4)yx418x281.,函数零点类型的判断,f(5)54531052552500并不一定代表f(x)在a，b上没有零点 2若给出函数图像，主要去看图像是否与x轴有交点，图像是否穿过了x轴来判定零点类型,下列图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( ) 答案 A 解析 A、B、C、D四个选项中只有A的图像没有穿过x轴，此零点属不变号零点，不能用二分法求解.,二分法求函数零点的近似值,试判断方程x33x50在区间(0,3)内是否有实数解？若有，求出该解的近似值(精确到0.01) 思路分析 可利用函数零点存在性的判定方法判断方程在(0,3)内有实数解，然后再利用二分法求出其近似值,规范解答 设函数f(x)x33x5，由于f(0)50，因此f(0)f(3)0，所以方程的解又必在区间(1,2)内，故可取区间(1,2)为计算的初始区间用二分法逐次计算，将方程的解所在的区间依次求出，列表如下：,由上表可知，区间1.15234375,1.154296875中的每一个数都精确到0.01，都等于1.15，所以1.15就是方程精确到0.01的近似解,规律总结 二分法求解步骤 (1)确定区间a，b验证f(a)f(b)0，初始区间的选择不宜过大，否则将增加运算的次数； (2)求区间a，b的中点c. (3)计算f(c)： 若f(c)0，则c就是函数的零点 若f(a)f(c)0，则令bc(此时零点x0a，c) 若f(c)f(b)0，则令ac(此时零点x0c，b) (4)判断a，b的两端的近似值是否相等且满足要求的精确度，若是，得零点的近似解；否则，重复(2)(4)步特别注意要运算彻底,用二分法求函数yx33的一个正零点(精确到0.01) 分析 选定区间1,2用二分法逐次计算验证区间两端点值精确到0.01后相等取正零点 解析 记f(x)yx33，由于f(1)20，因此可取区间1,2作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，见表如下,因为区间1,44140625,1.443359375内的所有值，若精确到0.01都是1.44，所以1.44就是所求函数一个精确到0.01的正零点的近似值.,函数零点的综合应用,(1)指出方程x32x10的正根所在的大致区间； (2)求证：方程x33x10的根一个在区间(2，1)内，一个在区间(0,1)内，另一个在区间(1,2) 思路分析 解答本题的关键是寻找合适的a、b使得f(a)f(b)0.,规范解答 (1)方程x32x10，即x32x1，令F(x)x32x1，f(x)x3，g(x)2x1在同一平面直角坐标系中，作出函数f(x)和g(x)的图像如图，显然它们 在第一象限只有1个交点，两函数图像交点的横坐标就是方程的解 又F(1)20， 方程的正根在区间(1,2)内,(2)证明：令G(x)x33x1，它的图像一定是连续的， 又G(2)86110， 方程x33x10的一根在区间(2，1)内 同理可以验证G(0)G(1)1(1)10， G(1)G(2)(1)330， 方程的另两根分别在(0,1)和(1,2)内,规律总结 1.求函数零点所在区间时，若F(x)0对应函数yF(x)比较简单，其图像容易画出，就可以观察图像与x轴相交的点的位置，交点横坐标就是方程F(x)0的解，从而得到F(x)0的根所在大致区间；若函数yF(x)的图像不容易画出，则将F(x)分解为f(x)g(x)的形式，且yf(x)与yg(x)较容易画出图像，它们交点的横坐标就是F(x)0的解，这种方法要求作图要准确，否则得不出正确答案 2对于连续函数，可以多次验证某些点处的函数值的符号是否异号若异号，则方程的解在以这两个数为端点的区间内若同号，再需要利用二分法多次尝试,将(1)中的方程改为“x5x10”时，求其一个正根所在的大致区间 解析 f(1)1，f(2)29，f(1)f(2)0， 即x5x10的一个正根所在的区间为(1,2),用二分法求方程x250的一个非负近似解(精确到0.1) 误解 令f(x)x25， 因为f(2.2)2.2250.160， 所以f(2.2)f(2.4)0，,因为f(2.2)f(2.3)0， 因为f(2.2)f(2.25)0，所以x02.2,2.25， 所以原方程的非负近似解为2.2. 辨析 本题产生错解的原因是对精确度的理解不正确，2.25取近似值为2.3.,正解 令f(x)x25， 因为f(2.2)0.160， 所以f(2.2)f(2.4)0， 因为f(2.2)f(2.3)0， 因为f(2.2)f(2.25)0，所以x02.2,2.25，,同理可得x02.225,2.25，x02.225,2.2375， 因为2.23752.2250.01250.1，区间2.225，2.2375的左、右端点精确到0.1所取的近似值2.2，所以2.2就是所给方程的一个非负近似解 规律总结 用二分法求函数的零点，首先是大致区间的确定，使区间长度尽量小，否则会增加运算量虽然此类问题要求用计算器运算，但也应注意运算的准确性另外，在计算到第n步时，区间an，bn的长度应小于精确度,
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