资源描述
数学 苏 （理）,13.2 直接证明与间接证明,第十三章 推理与证明、算法、复数,基础知识自主学习,题型分类深度剖析,思想方法感悟提高,练出高分,1.直接证明 (1)综合法 定义：从 出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法常称为综合法.,已知条件,思维过程：由因导果.,(2)分析法 定义：从 出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止.这种证明方法常称为分析法.,思维过程：执果索因.,问题的结论,2.间接证明,思考辨析,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)综合法是直接证明，分析法是间接证明.( ) (2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件.( ) (3)用反证法证明结论“ab”时，应假设“ab”.( ) (4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾.( ) (5)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程.( ) (6)证明不等式 最合适的方法是分析法.( ),pq,a0，b0且ab,解析,例1 对于定义域为0,1的函数f(x)，如果同时满足： 对任意的x0,1，总有f(x)0； f(1)1； 若x10，x20，x1x21，都有f(x1x2)f(x1)f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数. (1)若函数f(x)为理想函数，证明：f(0)0；,题型一 综合法的应用,思维点拨,解析,思维升华,取特殊值代入计算即可证明；,例1 对于定义域为0,1的函数f(x)，如果同时满足： 对任意的x0,1，总有f(x)0； f(1)1； 若x10，x20，x1x21，都有f(x1x2)f(x1)f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数. (1)若函数f(x)为理想函数，证明：f(0)0；,题型一 综合法的应用,思维点拨,解析,思维升华,证明 取x1x20，则x1x201，,f(00)f(0)f(0)，f(0)0.,又对任意的x0,1，总有f(x)0，,f(0)0.于是f(0)0.,例1 对于定义域为0,1的函数f(x)，如果同时满足： 对任意的x0,1，总有f(x)0； f(1)1； 若x10，x20，x1x21，都有f(x1x2)f(x1)f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数. (1)若函数f(x)为理想函数，证明：f(0)0；,题型一 综合法的应用,思维点拨,解析,思维升华,综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性.,例1 对于定义域为0,1的函数f(x)，如果同时满足： 对任意的x0,1，总有f(x)0； f(1)1； 若x10，x20，x1x21，都有f(x1x2)f(x1)f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数. (1)若函数f(x)为理想函数，证明：f(0)0；,题型一 综合法的应用,思维点拨,解析,思维升华,例1 (2)试判断函数f(x)2x(x0,1)，f(x)x2(x0,1)，f(x) (x0,1)是不是理想函数.,思维点拨,解析,思维升华,对照新定义中的3个条件，逐一代入验证，只有满足所有条件，才能得出“是理想函数”的结论，否则得出“不是理想函数”的结论.,例1 (2)试判断函数f(x)2x(x0,1)，f(x)x2(x0,1)，f(x) (x0,1)是不是理想函数.,思维点拨,解析,思维升华,解 对于f(x)2x，x0,1，f(1)2不满足新定义中的条件，,f(x)2x，(x0,1)不是理想函数.,对于f(x)x2，x0,1，显然f(x)0，且f(1)1.,例1 (2)试判断函数f(x)2x(x0,1)，f(x)x2(x0,1)，f(x) (x0,1)是不是理想函数.,思维点拨,解析,思维升华,任意的x1，x20,1，x1x21，,f(x1x2)f(x1)f(x2) (x1x2)2x x 2x1x20，,即f(x1)f(x2)f(x1x2).,f(x)x2(x0,1)是理想函数.,例1 (2)试判断函数f(x)2x(x0,1)，f(x)x2(x0,1)，f(x) (x0,1)是不是理想函数.,思维点拨,解析,思维升华,对于f(x) ，x0,1，显然满足条件.,对任意的x1，x20,1，x1x21，,例1 (2)试判断函数f(x)2x(x0,1)，f(x)x2(x0,1)，f(x) (x0,1)是不是理想函数.,思维点拨,解析,思维升华,即f2(x1x2)f(x1)f(x2)2.,f(x1x2)f(x1)f(x2)，不满足条件.,f(x) (x0,1)不是理想函数.,例1 (2)试判断函数f(x)2x(x0,1)，f(x)x2(x0,1)，f(x) (x0,1)是不是理想函数.,思维点拨,解析,思维升华,综上，f(x)x2(x0,1)是理想函数， f(x)2x(x0,1)与f(x) (x0,1)不是理想函数.,例1 (2)试判断函数f(x)2x(x0,1)，f(x)x2(x0,1)，f(x) (x0,1)是不是理想函数.,思维点拨,解析,思维升华,综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理.,例1 (2)试判断函数f(x)2x(x0,1)，f(x)x2(x0,1)，f(x) (x0,1)是不是理想函数.,思维点拨,解析,思维升华,跟踪训练1 (2013课标全国)设a、b、c均为正数，且abc1，证明： (1)abbcac ；,证明 由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac得 a2b2c2abbcca.,由题设得(abc)21，,即a2b2c22ab2bc2ca1.,所以3(abbcca)1，即abbcca .,跟踪训练1 (2013课标全国)设a、b、c均为正数，且abc1，证明： (2) 1.,思维点拨,解析,思维升华,题型二 分析法的应用,用分析法，移项，平方，化简.,题型二 分析法的应用,思维点拨,解析,思维升华,题型二 分析法的应用,思维点拨,解析,思维升华,题型二 分析法的应用,思维点拨,解析,思维升华,题型二 分析法的应用,思维点拨,解析,思维升华,题型二 分析法的应用,思维点拨,解析,思维升华,(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件.正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键.,题型二 分析法的应用,思维点拨,解析,思维升华,(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证.,题型二 分析法的应用,思维点拨,解析,思维升华,证明 因为a，b(0，)，所以要证原不等式成立，,即证(a3b3)2(a2b2)3，,即证a62a3b3b6a63a4b23a2b4b6，,只需证2a3b33a4b23a2b4.,因为a，b(0，)，,所以即证2ab3(a2b2).,而a2b22ab,3(a2b2)6ab2ab成立，,例3 已知数列an的前n项和为Sn，且满足anSn2. (1)求数列an的通项公式；,题型三 反证法的应用,解 当n1时，a1S12a12，则a11.,又anSn2，所以an1Sn12，,两式相减得an1 an，,思维点拨,解析,思维升华,例3 已知数列an的前n项和为Sn，且满足anSn2. (2)求证：数列an中不存在三项按原来顺序成等差数列.,证明(2)用反证法，假设存在三项，符合条件推出矛盾.,例3 已知数列an的前n项和为Sn，且满足anSn2. (2)求证：数列an中不存在三项按原来顺序成等差数列.,思维点拨,解析,思维升华,证明 反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap1，aq1，ar1(pqr，且p，q，rN*)，,又因为pqr，所以rq，rpN*.,例3 已知数列an的前n项和为Sn，且满足anSn2. (2)求证：数列an中不存在三项按原来顺序成等差数列.,思维点拨,解析,思维升华,所以(*)式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立.,所以假设不成立，原命题得证.,例3 已知数列an的前n项和为Sn，且满足anSn2. (2)求证：数列an中不存在三项按原来顺序成等差数列.,思维点拨,解析,思维升华,(1)当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时，可用反证法来证，反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等,例3 已知数列an的前n项和为Sn，且满足anSn2. (2)求证：数列an中不存在三项按原来顺序成等差数列.,思维点拨,解析,思维升华,(2)用反证法证明不等式要把握三点：必须否定结论；必须从否定结论进行推理；推导出的矛盾必须是明显的.,例3 已知数列an的前n项和为Sn，且满足anSn2. (2)求证：数列an中不存在三项按原来顺序成等差数列.,思维点拨,解析,思维升华,跟踪训练3 等差数列an的前n项和为Sn，a11 ，S393 . (1)求数列an的通项an与前n项和Sn；,(2)设bn (nN*)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列.,p，q，rN*，,pr，与pr矛盾.,假设不成立，即数列bn中任意不同的三项都不可能成等比数列.,典例：(14分)已知数列xn满足x1 ，xn1 ，求证： 0xn1xn .,思想与方法系列20 放缩有“度”，巧证不等式,温 馨 提 醒,规 范 解 答,思 维 点 拨,思 维 点 拨,温 馨 提 醒,先证0xn1，再求xn1xn的表达式，利用不等式放缩得出结论.,规 范 解 答,证明 由条件可知数列xn的各项均为正数，,故由基本不等式，得xn1 1，,若xn11，则xn1，,这与已知条件x1 矛盾.,所以0xn1，,思 维 点 拨,温 馨 提 醒,规 范 解 答,思 维 点 拨,温 馨 提 醒,规 范 解 答,因上述两个不等式中等号不可能同时成立，,思 维 点 拨,温 馨 提 醒,规 范 解 答,(1)所谓放缩法就是利用不等式的传递性，根据证题目标进行合情合理的放大或缩小，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤.,思 维 点 拨,温 馨 提 醒,规 范 解 答,(2)本题技巧性较强，经过了两次放缩，关键是放缩后的式子要尽可能地接近原式，减小放缩度，以避免运算上的麻烦.第一次是利用基本不等式，将xn1xn转化为常数，根据已知验证可判定出0xn1；第二次放缩法是证明不等式经常利用的方法，多采用添项或去项，分子、分母扩大或缩小，应用基本不等式进行放缩，放缩时要注意放缩的方向保持一致.在此步骤中，因两个等式中的等号不可能同时成立，所以两式相乘后不取等号，这是易错之处，必须加以警惕.,思 维 点 拨,温 馨 提 醒,规 范 解 答,方 法 与 技 巧,1.分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知.,3.分析法和综合法各有优缺点.分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考.实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来.,2.综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知.,失 误 与 防 范,1.用分析法证明时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)”“即证”“只需证”等，逐步分析，直至一个明显成立的结论.,2.利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设的命题进行推理，如果没有用假设的命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的.,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,即ab.,答案 ab,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,P2Q2，PQ.,PQ,2,4,5,6,7,8,9,10,1,3,欲证a2b2(ab)22ab2，即证42ab2，,2,4,5,6,7,8,9,10,1,3,即ab1，由知成立.,答案 ,2,3,5,6,7,8,9,10,1,4,2,3,5,6,7,8,9,10,1,4,即ab1时，取“”.,答案 4,2,3,4,6,7,8,9,10,1,5,5.(2014山东改编)用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3axb0至少有一个实根”时，要做的假设是_.,解析 方程x3axb0至少有一个实根的反面是方程x3axb0没有实根.,方程x3axb0没有实根,6.下列条件： ab0；ab0，b0；a0，b0. 其中能使 2成立的条件的个数是_.,2,3,4,5,7,8,9,10,1,6,3,7.已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，则第60个“整数对”是_.,2,3,4,5,6,8,9,10,1,7,解析 依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知每组中每个“整数对”的和为n1，且每组共有n个“整数对”，这样的前n组一共有 个“整数对”，,注意到 60 ，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各数对依次为(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，因此第60个“整数对”是(5,7).,2,3,4,5,6,8,9,10,1,7,答案 (5,7),2,3,4,5,6,7,9,10,1,8,解析 f(x)sin x在区间(0，)上是凸函数，且A、B、C(0，).,2,3,4,5,6,7,9,10,1,8,2,3,4,5,6,7,8,10,1,9,证明 ab，ab0.,平方得：|a|2|b|22|a|b|2(|a|2|b|22ab)， 只需证：|a|2|b|22|a|b|0， 即(|a|b|)20，显然成立.故原不等式得证.,10.已知四棱锥SABCD中，底面是边长为1的正方形，又SBSD ，SA1. (1)求证：SA平面ABCD；,2,3,4,5,6,7,8,9,1,10,证明 由已知得SA2AD2SD2， SAAD.同理SAAB. 又ABADA， SA平面ABCD.,2,3,4,5,6,7,8,9,1,10,(2)在棱SC上是否存在异于S，C的点F，使得BF平面SAD？若存在，确定F点的位置；若不存在，请说明理由.,解 假设在棱SC上存在异于S，C的点F，使得BF平面SAD. BCAD，BC平面SAD. BC平面SAD.而BCBFB， 平面FBC平面SAD. 这与平面SBC和平面SAD有公共点S矛盾， 假设不成立. 故不存在这样的点F，使得BF平面SAD.,2,3,4,5,1,ABC,2.(2013广东)设整数n4，集合X1,2,3，n，令集合S(x，y，z)|x，y，zX，且三条件xyz，yzx，zxy恰有一个成立.若(x，y，z)和(z，w，x)都在S中，则下列选项正确的是_. (y，z，w)S，(x，y，w)S (y，z，w)S，(x，y，w)S (y，z，w)S，(x，y，w)S (y，z，w)S，(x，y，w)S,3,4,5,1,2,解析 因为(x，y，z)S，则x，y，z的大小关系有3种情况，同理，(z，w，x)S，则z，w，x的大小关系也有3种情况，如图所示，由图可知，x，y，w，z的大小关系有4种可能，均符合(y，z，w)S，(x，y，w)S.故正确.,答案 ,3,4,5,1,2,2,4,5,1,3,4.已知二次函数f(x)ax2bxc(a0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)0，且00. (1)证明： 是函数f(x)的一个零点；,2,3,5,1,4,证明 f(x)图象与x轴有两个不同的交点，,f(x)0有两个不等实根x1，x2，,f(c)0，x1c是f(x)0的根，,2,3,5,1,4,(2)试用反证法证明 c.,2,3,5,1,4,2,3,4,1,5,2,3,4,1,5,2,3,4,1,5,(2)证明：数列bn中的任意三项不可能成等差数列.,证明 用反证法证明.,假设数列bn存在三项br，bs，bt(rst)按某种顺序成等差数列，,于是有brbsbt，则只能有2bsbrbt成立.,2,3,4,1,5,两边同乘以3t121r，化简得3tr2tr22sr3ts.,由于rst，上式左边为奇数，右边为偶数，,故上式不可能成立，导致矛盾.,故数列bn中任意三项不可能成等差数列.,2,3,4,1,5,
展开阅读全文