高考数学大一轮复习 13.2直接证明与间接证明课件 理 苏教版.ppt

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数学 苏 (理),13.2 直接证明与间接证明,第十三章 推理与证明、算法、复数,基础知识自主学习,题型分类深度剖析,思想方法感悟提高,练出高分,1.直接证明 (1)综合法 定义:从 出发,以已知的定义、公理、定理为依据,逐步下推,直到推出要证明的结论为止,这种证明方法常称为综合法.,已知条件,思维过程:由因导果.,(2)分析法 定义:从 出发,追溯导致结论成立的条件,逐步上溯,直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止.这种证明方法常称为分析法.,思维过程:执果索因.,问题的结论,2.间接证明,思考辨析,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)综合法是直接证明,分析法是间接证明.( ) (2)分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使结论成立的充要条件.( ) (3)用反证法证明结论“ab”时,应假设“ab”.( ) (4)反证法是指将结论和条件同时否定,推出矛盾.( ) (5)在解决问题时,常常用分析法寻找解题的思路与方法,再用综合法展现解决问题的过程.( ) (6)证明不等式 最合适的方法是分析法.( ),pq,a0,b0且ab,解析,例1 对于定义域为0,1的函数f(x),如果同时满足: 对任意的x0,1,总有f(x)0; f(1)1; 若x10,x20,x1x21,都有f(x1x2)f(x1)f(x2)成立,则称函数f(x)为理想函数. (1)若函数f(x)为理想函数,证明:f(0)0;,题型一 综合法的应用,思维点拨,解析,思维升华,取特殊值代入计算即可证明;,例1 对于定义域为0,1的函数f(x),如果同时满足: 对任意的x0,1,总有f(x)0; f(1)1; 若x10,x20,x1x21,都有f(x1x2)f(x1)f(x2)成立,则称函数f(x)为理想函数. (1)若函数f(x)为理想函数,证明:f(0)0;,题型一 综合法的应用,思维点拨,解析,思维升华,证明 取x1x20,则x1x201,,f(00)f(0)f(0),f(0)0.,又对任意的x0,1,总有f(x)0,,f(0)0.于是f(0)0.,例1 对于定义域为0,1的函数f(x),如果同时满足: 对任意的x0,1,总有f(x)0; f(1)1; 若x10,x20,x1x21,都有f(x1x2)f(x1)f(x2)成立,则称函数f(x)为理想函数. (1)若函数f(x)为理想函数,证明:f(0)0;,题型一 综合法的应用,思维点拨,解析,思维升华,综合法是“由因导果”的证明方法,它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法,即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发,经过一系列中间推理,最后导出所要求证结论的真实性.,例1 对于定义域为0,1的函数f(x),如果同时满足: 对任意的x0,1,总有f(x)0; f(1)1; 若x10,x20,x1x21,都有f(x1x2)f(x1)f(x2)成立,则称函数f(x)为理想函数. (1)若函数f(x)为理想函数,证明:f(0)0;,题型一 综合法的应用,思维点拨,解析,思维升华,例1 (2)试判断函数f(x)2x(x0,1),f(x)x2(x0,1),f(x) (x0,1)是不是理想函数.,思维点拨,解析,思维升华,对照新定义中的3个条件,逐一代入验证,只有满足所有条件,才能得出“是理想函数”的结论,否则得出“不是理想函数”的结论.,例1 (2)试判断函数f(x)2x(x0,1),f(x)x2(x0,1),f(x) (x0,1)是不是理想函数.,思维点拨,解析,思维升华,解 对于f(x)2x,x0,1,f(1)2不满足新定义中的条件,,f(x)2x,(x0,1)不是理想函数.,对于f(x)x2,x0,1,显然f(x)0,且f(1)1.,例1 (2)试判断函数f(x)2x(x0,1),f(x)x2(x0,1),f(x) (x0,1)是不是理想函数.,思维点拨,解析,思维升华,任意的x1,x20,1,x1x21,,f(x1x2)f(x1)f(x2) (x1x2)2x x 2x1x20,,即f(x1)f(x2)f(x1x2).,f(x)x2(x0,1)是理想函数.,例1 (2)试判断函数f(x)2x(x0,1),f(x)x2(x0,1),f(x) (x0,1)是不是理想函数.,思维点拨,解析,思维升华,对于f(x) ,x0,1,显然满足条件.,对任意的x1,x20,1,x1x21,,例1 (2)试判断函数f(x)2x(x0,1),f(x)x2(x0,1),f(x) (x0,1)是不是理想函数.,思维点拨,解析,思维升华,即f2(x1x2)f(x1)f(x2)2.,f(x1x2)f(x1)f(x2),不满足条件.,f(x) (x0,1)不是理想函数.,例1 (2)试判断函数f(x)2x(x0,1),f(x)x2(x0,1),f(x) (x0,1)是不是理想函数.,思维点拨,解析,思维升华,综上,f(x)x2(x0,1)是理想函数, f(x)2x(x0,1)与f(x) (x0,1)不是理想函数.,例1 (2)试判断函数f(x)2x(x0,1),f(x)x2(x0,1),f(x) (x0,1)是不是理想函数.,思维点拨,解析,思维升华,综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理.,例1 (2)试判断函数f(x)2x(x0,1),f(x)x2(x0,1),f(x) (x0,1)是不是理想函数.,思维点拨,解析,思维升华,跟踪训练1 (2013课标全国)设a、b、c均为正数,且abc1,证明: (1)abbcac ;,证明 由a2b22ab,b2c22bc,c2a22ac得 a2b2c2abbcca.,由题设得(abc)21,,即a2b2c22ab2bc2ca1.,所以3(abbcca)1,即abbcca .,跟踪训练1 (2013课标全国)设a、b、c均为正数,且abc1,证明: (2) 1.,思维点拨,解析,思维升华,题型二 分析法的应用,用分析法,移项,平方,化简.,题型二 分析法的应用,思维点拨,解析,思维升华,题型二 分析法的应用,思维点拨,解析,思维升华,题型二 分析法的应用,思维点拨,解析,思维升华,题型二 分析法的应用,思维点拨,解析,思维升华,题型二 分析法的应用,思维点拨,解析,思维升华,(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想,通过反推,逐步寻找使结论成立的充分条件.正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键.,题型二 分析法的应用,思维点拨,解析,思维升华,(2)证明较复杂的问题时,可以采用两头凑的办法,即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论,然后通过综合法证明这个中间结论,从而使原命题得证.,题型二 分析法的应用,思维点拨,解析,思维升华,证明 因为a,b(0,),所以要证原不等式成立,,即证(a3b3)2(a2b2)3,,即证a62a3b3b6a63a4b23a2b4b6,,只需证2a3b33a4b23a2b4.,因为a,b(0,),,所以即证2ab3(a2b2).,而a2b22ab,3(a2b2)6ab2ab成立,,例3 已知数列an的前n项和为Sn,且满足anSn2. (1)求数列an的通项公式;,题型三 反证法的应用,解 当n1时,a1S12a12,则a11.,又anSn2,所以an1Sn12,,两式相减得an1 an,,思维点拨,解析,思维升华,例3 已知数列an的前n项和为Sn,且满足anSn2. (2)求证:数列an中不存在三项按原来顺序成等差数列.,证明(2)用反证法,假设存在三项,符合条件推出矛盾.,例3 已知数列an的前n项和为Sn,且满足anSn2. (2)求证:数列an中不存在三项按原来顺序成等差数列.,思维点拨,解析,思维升华,证明 反证法:假设存在三项按原来顺序成等差数列,记为ap1,aq1,ar1(pqr,且p,q,rN*),,又因为pqr,所以rq,rpN*.,例3 已知数列an的前n项和为Sn,且满足anSn2. (2)求证:数列an中不存在三项按原来顺序成等差数列.,思维点拨,解析,思维升华,所以(*)式左边是偶数,右边是奇数,等式不成立.,所以假设不成立,原命题得证.,例3 已知数列an的前n项和为Sn,且满足anSn2. (2)求证:数列an中不存在三项按原来顺序成等差数列.,思维点拨,解析,思维升华,(1)当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时,可用反证法来证,反证法关键是在正确的推理下得出矛盾,矛盾可以是与已知条件矛盾,与假设矛盾,与定义、公理、定理矛盾,与事实矛盾等,例3 已知数列an的前n项和为Sn,且满足anSn2. (2)求证:数列an中不存在三项按原来顺序成等差数列.,思维点拨,解析,思维升华,(2)用反证法证明不等式要把握三点:必须否定结论;必须从否定结论进行推理;推导出的矛盾必须是明显的.,例3 已知数列an的前n项和为Sn,且满足anSn2. (2)求证:数列an中不存在三项按原来顺序成等差数列.,思维点拨,解析,思维升华,跟踪训练3 等差数列an的前n项和为Sn,a11 ,S393 . (1)求数列an的通项an与前n项和Sn;,(2)设bn (nN*),求证:数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列.,p,q,rN*,,pr,与pr矛盾.,假设不成立,即数列bn中任意不同的三项都不可能成等比数列.,典例:(14分)已知数列xn满足x1 ,xn1 ,求证: 0xn1xn .,思想与方法系列20 放缩有“度”,巧证不等式,温 馨 提 醒,规 范 解 答,思 维 点 拨,思 维 点 拨,温 馨 提 醒,先证0xn1,再求xn1xn的表达式,利用不等式放缩得出结论.,规 范 解 答,证明 由条件可知数列xn的各项均为正数,,故由基本不等式,得xn1 1,,若xn11,则xn1,,这与已知条件x1 矛盾.,所以0xn1,,思 维 点 拨,温 馨 提 醒,规 范 解 答,思 维 点 拨,温 馨 提 醒,规 范 解 答,因上述两个不等式中等号不可能同时成立,,思 维 点 拨,温 馨 提 醒,规 范 解 答,(1)所谓放缩法就是利用不等式的传递性,根据证题目标进行合情合理的放大或缩小,在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”,否则就不能同向传递了,此法既可以单独用来证明不等式,也可以是其他方法证题时的一个重要步骤.,思 维 点 拨,温 馨 提 醒,规 范 解 答,(2)本题技巧性较强,经过了两次放缩,关键是放缩后的式子要尽可能地接近原式,减小放缩度,以避免运算上的麻烦.第一次是利用基本不等式,将xn1xn转化为常数,根据已知验证可判定出0xn1;第二次放缩法是证明不等式经常利用的方法,多采用添项或去项,分子、分母扩大或缩小,应用基本不等式进行放缩,放缩时要注意放缩的方向保持一致.在此步骤中,因两个等式中的等号不可能同时成立,所以两式相乘后不取等号,这是易错之处,必须加以警惕.,思 维 点 拨,温 馨 提 醒,规 范 解 答,方 法 与 技 巧,1.分析法的特点:从未知看需知,逐步靠拢已知.,3.分析法和综合法各有优缺点.分析法思考起来比较自然,容易寻找到解题的思路和方法,缺点是思路逆行,叙述较繁;综合法从条件推出结论,较简捷地解决问题,但不便于思考.实际证题时常常两法兼用,先用分析法探索证明途径,然后再用综合法叙述出来.,2.综合法的特点:从已知看可知,逐步推出未知.,失 误 与 防 范,1.用分析法证明时,要注意书写格式的规范性,常常用“要证(欲证)”“即证”“只需证”等,逐步分析,直至一个明显成立的结论.,2.利用反证法证明数学问题时,要假设结论错误,并用假设的命题进行推理,如果没有用假设的命题推理而推出矛盾结果,其推理过程是错误的.,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,即ab.,答案 ab,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,P2Q2,PQ.,PQ,2,4,5,6,7,8,9,10,1,3,欲证a2b2(ab)22ab2,即证42ab2,,2,4,5,6,7,8,9,10,1,3,即ab1,由知成立.,答案 ,2,3,5,6,7,8,9,10,1,4,2,3,5,6,7,8,9,10,1,4,即ab1时,取“”.,答案 4,2,3,4,6,7,8,9,10,1,5,5.(2014山东改编)用反证法证明命题:“设a,b为实数,则方程x3axb0至少有一个实根”时,要做的假设是_.,解析 方程x3axb0至少有一个实根的反面是方程x3axb0没有实根.,方程x3axb0没有实根,6.下列条件: ab0;ab0,b0;a0,b0. 其中能使 2成立的条件的个数是_.,2,3,4,5,7,8,9,10,1,6,3,7.已知“整数对”按如下规律排成一列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),则第60个“整数对”是_.,2,3,4,5,6,8,9,10,1,7,解析 依题意,把“整数对”的和相同的分为一组,不难得知每组中每个“整数对”的和为n1,且每组共有n个“整数对”,这样的前n组一共有 个“整数对”,,注意到 60 ,因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置,结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各数对依次为(1,11),(2,10),(3,9),(4,8),(5,7),因此第60个“整数对”是(5,7).,2,3,4,5,6,8,9,10,1,7,答案 (5,7),2,3,4,5,6,7,9,10,1,8,解析 f(x)sin x在区间(0,)上是凸函数,且A、B、C(0,).,2,3,4,5,6,7,9,10,1,8,2,3,4,5,6,7,8,10,1,9,证明 ab,ab0.,平方得:|a|2|b|22|a|b|2(|a|2|b|22ab), 只需证:|a|2|b|22|a|b|0, 即(|a|b|)20,显然成立.故原不等式得证.,10.已知四棱锥SABCD中,底面是边长为1的正方形,又SBSD ,SA1. (1)求证:SA平面ABCD;,2,3,4,5,6,7,8,9,1,10,证明 由已知得SA2AD2SD2, SAAD.同理SAAB. 又ABADA, SA平面ABCD.,2,3,4,5,6,7,8,9,1,10,(2)在棱SC上是否存在异于S,C的点F,使得BF平面SAD?若存在,确定F点的位置;若不存在,请说明理由.,解 假设在棱SC上存在异于S,C的点F,使得BF平面SAD. BCAD,BC平面SAD. BC平面SAD.而BCBFB, 平面FBC平面SAD. 这与平面SBC和平面SAD有公共点S矛盾, 假设不成立. 故不存在这样的点F,使得BF平面SAD.,2,3,4,5,1,ABC,2.(2013广东)设整数n4,集合X1,2,3,n,令集合S(x,y,z)|x,y,zX,且三条件xyz,yzx,zxy恰有一个成立.若(x,y,z)和(z,w,x)都在S中,则下列选项正确的是_. (y,z,w)S,(x,y,w)S (y,z,w)S,(x,y,w)S (y,z,w)S,(x,y,w)S (y,z,w)S,(x,y,w)S,3,4,5,1,2,解析 因为(x,y,z)S,则x,y,z的大小关系有3种情况,同理,(z,w,x)S,则z,w,x的大小关系也有3种情况,如图所示,由图可知,x,y,w,z的大小关系有4种可能,均符合(y,z,w)S,(x,y,w)S.故正确.,答案 ,3,4,5,1,2,2,4,5,1,3,4.已知二次函数f(x)ax2bxc(a0)的图象与x轴有两个不同的交点,若f(c)0,且00. (1)证明: 是函数f(x)的一个零点;,2,3,5,1,4,证明 f(x)图象与x轴有两个不同的交点,,f(x)0有两个不等实根x1,x2,,f(c)0,x1c是f(x)0的根,,2,3,5,1,4,(2)试用反证法证明 c.,2,3,5,1,4,2,3,4,1,5,2,3,4,1,5,2,3,4,1,5,(2)证明:数列bn中的任意三项不可能成等差数列.,证明 用反证法证明.,假设数列bn存在三项br,bs,bt(rst)按某种顺序成等差数列,,于是有brbsbt,则只能有2bsbrbt成立.,2,3,4,1,5,两边同乘以3t121r,化简得3tr2tr22sr3ts.,由于rst,上式左边为奇数,右边为偶数,,故上式不可能成立,导致矛盾.,故数列bn中任意三项不可能成等差数列.,2,3,4,1,5,
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