资源描述
第十七章 坐标系与参数方程,高考理数,1.坐标系与极坐标 (1)极坐标系的概念:在平面内取一个定点O,叫做 极点 ;自极点O引一条射线Ox,叫做 极轴 ; 再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就 建立了一个极坐标系. 设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的 极径 ,记为;以极轴Ox为始边,射线 OM为终边的xOM叫做点M的极角,记为.有序数对 (,) 叫做点M的极坐标,记为M(,). 一般地,不作特殊说明时,我们认为0,可取任意实数. (2)直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取 相同 的长度单 位.设M是平面内任意一点,它的直角坐标、极坐标分别为(x,y)和(,),则,知识清单,(3)直线的极坐标方程:若直线过点M(0,0),且与极轴所成的角为,则它的方程为sin(-)= 0sin(0-) . 几个特殊位置的直线的极坐标方程: (i)直线过极点:=0和= -0 ; (ii)直线过点M(a,0)且垂直于极轴:cos = a ; (iii)直线过点M 且平行于极轴:sin = b . (4)圆的极坐标方程:圆心为M(0,0),半径为r的圆的方程为2-20cos(-0)+ -r2=0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程: (i)圆心位于极点,半径为r:= r ; (ii)圆心位于M(a,0),半径为a:= 2acos ; (iii)圆心位于M ,半径为a:= 2asin . 2.参数方程 (1)参数方程的意义,一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数 并 且对于t的每一个允许值,由上述方程组所确定的点 (x,y) 都在这条曲线上,则该方程叫做这 条曲线的参数方程,联系变数x,y的变数t叫做参变数,简称 参数 . 注意:相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. (2)常见曲线的参数方程的一般形式 (i)经过点P0(x0,y0),倾斜角为的直线的参数方程为 (t为参数).设P是直线上的任一 点,则t表示有向线段 的数量. (ii)圆的参数方程为 (为参数). (iii)圆锥曲线的参数方程 椭圆 + =1(ab0)的参数方程为 (为参数), 双曲线 - =1(a0,b0)的参数方程为 (为参数),抛物线y2=2px的参数方程为 (t为参数). 注:曲线上任一点的坐标都可用一个参数表示,变元只有一个.特别对于圆、圆锥曲线有很大 用处.参数方程化为普通方程,主要用“消元法”消参,常用代入法、加减消元法、三角恒等 式消元等.在参数方程化为普通方程时,要注意保持同解变形.无论极坐标方程、参数方程还 是普通方程,在进行互化时,一定要注意变量的范围,要注意转化的等价性.,求曲线的极坐标方程的一般步骤: 例1 (2015课标,23,10分)选修44:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建 立极坐标系.,突破方法,方法1 极坐标方程及应用,(1)求C1,C2的极坐标方程; (2)若直线C3的极坐标方程为= (R),设C2与C3的交点为M,N,求C2MN的面积. 解析 (1)因为x=cos ,y=sin ,所以C1的极坐标方程为cos =-2,C2的极坐标方程为2-2cos - 4sin +4=0. (5分) (2)将= 代入2-2cos -4sin +4=0,得2-3 +4=0,解得1=2 ,2= ,故1-2= ,即|MN|= . 由于C2的半径为1,所以C2MN的面积为 . (10分) 规律总结 直角坐标(x,y)化为极坐标(,)的步骤: (1)运用= ,tan = (x0); (2)在0,2)内由tan = (x0)求时,先由直角坐标的符号特征判断点所在的象限和极角的范 围,再求的值. 直角坐标方程 极坐标方程,1-1 (2015贵州遵义一模,23,10分)已知在一个极坐标系中,点C的极坐标为 . (1)求出以C为圆心,2为半径长的圆的极坐标方程(写出解题过程)并画出图形; (2)在极坐标系中,以圆C所在极坐标系的极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系,点P 是圆C上任意一点,Q(5,- ),M是线段PQ的中点,当点P在圆C上运动时,求点M的轨迹的普通方 程. 解析 (1)如图,设圆C上任意一点A(,),则AOC=- 或 -. 由余弦定理得4+2-4cos =4,圆C的极坐标方程为=4cos . (2)在直角坐标系中,点C的坐标为(1, ),可设圆C上任意一点P(1+2cos , +2sin ), 设M(x,y),由Q(5,- ),M是线段PQ的中点, 得M的参数方程为 (为参数). 点M的轨迹的普通方程为(x-3)2+y2=1.,参数方程化为普通方程的注意事项: 在将曲线的参数方程化为普通方程时,不仅要把参数消去,还要注意x、y的取值范围,即在消去 参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性. 例2 (2014课标,23,10分)选修44:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为 =2cos , . (1)求C的参数方程; (2)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:y= x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D的坐 标. 解析 (1)C的普通方程为(x-1)2+y2=1(0y1). 可得C的参数方程为 (t为参数,0t). (2)设D(1+cos t,sin t).由(1)知C是以G(1,0)为圆心,1为半径的上半圆.,方法2 参数方程及应用,因为C在点D处的切线与l垂直,所以直线GD与l的斜率相同,tan t= ,t= . 故D的直角坐标为 ,即 . 规律总结 由参数方程得到普通方程的思路是消参,消去参数的方法要视情况而定,一般有三种 情况: (1)利用解方程的技巧求出参数的表达式,然后代入消去参数,或直接利用加减消元法消参; (2)利用三角恒等式消去参数,一般是将参数方程中的两个方程分别变形,使得一个方程一边只 含有sin ,另一个方程一边只含有cos ,两个方程分别平方后两式左右相加消去参数; (3)根据参数方程本身的结构特征,选用一些灵活的方法从整体上消去参数. 2-1 (2016云南昆明质检三,23,10分)已知曲线C1的参数方程为 (t为参数),以坐标原 点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为=2sin . (1)把C1的参数方程化为极坐标方程; (2)求C1与C2交点的极坐标(0,02).,解析 (1)将 消去参数t,化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25, 即C1:x2+y2-8x-10y+16=0. 将 代入x2+y2-8x-10y+16=0得 2-8cos -10sin +16=0. 所以C1的极坐标方程为2-8cos -10sin +16=0. (2)C2的普通方程为x2+y2-2y=0. 由 解得 或 所以C1与C2交点的极坐标分别为 , .,涉及参数方程和极坐标方程的综合题,求解方法一般是分别化普通方程和直角坐标方程后 求解,要求掌握直线、圆及圆锥曲线的极坐标方程和参数方程. 例3 (2015课标,23,10分)选修44:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中,曲线C1: (t为参数,t0),其中0.在以O为极点,x轴正半轴为极 轴的极坐标系中,曲线C2:=2sin ,C3:=2 cos . (1)求C2与C3交点的直角坐标; (2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值. 解析 (1)曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,曲线C3的直角坐标方程为x2+y2-2 x=0. 联立 解得 或 所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和 .,方法3 参数方程与极坐标方程的综合应用,(2)曲线C1的极坐标方程为=(R,0),其中0. 因此A的极坐标为(2sin ,),B的极坐标为(2 cos ,). 所以|AB|=|2sin -2 cos |=4 . 当= 时,|AB|取得最大值,最大值为4. 3-1 (2015甘肃一模,23,10分)在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为 (为参数).以O 为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求圆C的极坐标方程; (2)直线l的极坐标方程是2sin =3 ,射线OM:= 与圆C的交点为O、P,与直线l的交点为 Q,求线段PQ的长. 解析 (1)利用cos2+sin2=1,可把圆C的参数方程 (为参数)化为(x-1)2+y2=1,2-2 cos =0,即=2cos . (2)设(1,1)为点P的极坐标,由 解得 设(2,2)为点Q的极坐标, 由 解得 1=2, |PQ|=|1-2|=2. |PQ|=2.,
展开阅读全文