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第6节 二次函数与幂函数,整合主干知识,1二次函数 (1)定义 函数_叫做二次函数 (2)表示形式 一般式：_； 顶点式：_，其中_为抛物线顶点坐标； 零点式：y_，其中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标,yax2bxc(a0),yax2bxc(a0),ya(xh)2k(a0),(h，k),a(xx1)(xx2)(a0),(3)图象与性质,2.幂函数 (1)幂函数的概念 形如yx(R)的函数称为幂函数，其中x是_，为_,自变量,常数,(2)常见幂函数的图象与性质,质疑探究：幂函数图象均过定点(1,1)吗？ 提示：是，根据定义yx，当x1时y1，无论为何值，11.,1下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是( ),解析：图象对应的幂函数的幂指数必然大于1，排除A，D.图象中幂函数是偶函数，幂指数必为正偶数，排除C.故选B. 答案：B,2函数f(x)x2mx1的图象关于直线x1对称的充要条件是( ) Am2 Bm2 Cm1 Dm1,答案：A,3已知函数f(x)x22(a1)x2在区间(，3上是减函数，则实数a的取值范围为_ 解析：f(x)的图象的对称轴为x1a且开口向上， 1a3，即a2. 答案：(，2,4若幂函数y(m23m3) 的图象不经过原点，则实数m的值为_,答案：1或2,解析：错误，不符合幂函数的定义 正确，因若相交，则x0得y0；若y0，则得x0. 错误，幂函数yx1在定义域上不单调,答案：B,聚集热点题型,典例赏析1 (2015无锡模拟)已知函数f(x)x22ax3，x4,6 (1)当a2时，求f(x)的最值； (2)若yf(x)在区间4,6上是单调函数，求实数a的取值范围； (3)当a1时，求f(|x|)的单调区间,二次函数的图象与性质,解 (1)当a2时，f(x)x24x3(x2)21， 则函数在4,2)上为减函数，在(2,6上为增函数，f(x)minf(2)1， f(x)maxf(4)(4)24(4)335. (2)函数f(x)x22ax3的对称轴为xa， 要使f(x)在4,6上为单调函数，只需a4或a6，解得a4或a6.,又x4,6，f(|x|)在区间4，1)和0,1)上为减函数，在区间1,0)和1,6上为增函数,名师讲坛 1本题(3)应去掉绝对值符号，化为分段函数 2解决二次函数图象与性质问题时要注意： (1)抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论； (2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)，事半功倍,变式训练 1已知函数f(x)ax22ax2b(a0)，若f(x)在区间2,3上有最大值5，最小值2. (1)求a，b的值； (2)若b1，g(x)f(x)mx在2,4上单调，求m的取值范围,幂函数的图象与性质,解析 (1)分别作出f(x)，g(x)，h(x)的图象，如图所示 可知h(x)g(x)f(x),(2)由题意知m22m3为奇数且m22m30，由m22m30得1m3，又mN*，故m1,2. 当m1时，m22m31234(舍去) 当m2时，m22m3222233，m2. 答案 (1)h(x)g(x)f(x) (2)2,名师讲坛(1)在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在(1，)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴 (2)曲线在第一象限的凹凸性：1时，曲线下凸； 01时，曲线上凸；0时，曲线下凸,变式训练 2(1) 幂函数yf(x)的图象过点(4,2)，则幂函数yf(x)的图象是( ),答案：(1)C (2)A,典例赏析3 已知二次函数f(x)ax2bx1(a，bR)，xR. (1)若函数f(x)的最小值为f(1)0，求f(x)的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f(x)xk在区间3，1上恒成立，试求k的范围,二次函数的综合问题,名师讲坛 1对于函数yax2bxc，若是二次函数，就隐含着a0，当题目未说明是二次函数时，就要分a0，a0两种情况讨论,2由不等式恒成立求参数取值范围，常用分离参数法，转化为求函数最值问题，其依据是af(x)af(x)max，af(x)af(x)min.,变式训练 3(2015中山一模)若函数f(x)x2axa在区间0,2上的最大值为1，则实数a等于_,答案：1,备课札记 _,提升学科素养,分类讨论思想在二次函数问题中的应用,若f(x)4x24ax4aa2在区间0,1内有最大值5，则a_. 分析 已知的二次函数对称轴随参数a的变化而变化，根据对称轴在已知区间的左侧、内部、右侧，利用函数的单调性和最值点分类求解,已知函数f(x)x22tx1，在区间2,5上单调且有最大值为8，则实数t的值为_ 解析：函数f(x)x22tx1图象的对称轴是xt，函数在区间2,5上单调，故t2或t5. 若t2， 则函数f(x)在区间2,5上是增函数， 故f(x)maxf(5)2510t18，,1一个注意点二次函数的二次项系数 在研究二次函数时，要注意二次项系数对函数性质的影响，往往需要对二次项系数分大于零与小于零两种情况讨论 2二个条件一元二次不等式恒成立的条件,
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