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北京市西城区2014 2015学年度第一学期期末试卷 高三数学（文科） 2015.1第卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1设集合，则集合（ ）（A）（B）（C）（D）2设命题：，则为（ ） （A）（B） （C）（D）3在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 若，则（ ）（A）（B）（C）（D）a=2，x=3开始 x=x+1输出x结束否是4执行如图所示的程序框图，输出的x值为（ ） （A）（B）（C）（D）5设函数的定义域为，则“”是“函数为奇函数”的（ ）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件6. 某天，甲要去银行办理储蓄业务，已知银行的营业时间为9：00至17：00，设甲在当天13：00至18：00之间任何时间去银行的可能性相同，那么甲去银行恰好能办理业务的概率是（ ） （A） （B） （C） （D）7 设抛物线的焦点为F，过F的直线与W相交于A，B两点，记点F到直线l：的距离为，则有（ ） （A）（B） （C）（D）ABECDGHF8. 如图，在空间四边形中，两条对角线互相垂直，且长度分别为4和6，平行于这两条对角线的平面与边分别相交于点，记四边形的面积为y，设，则（ ） （A）函数的值域为 （B）函数的最大值为8 （C）函数在上单调递减 （D）函数满足 第卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9. 复数，则_.10设平面向量满足，那么的夹角_.侧(左)视图正(主)视图俯视图221111111一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥最长棱的棱长为_. 12设为双曲线C：的左、右焦点，且直线为双曲线C的一条渐近线，点P为C上一点，如果，那么双曲线C的方程为_；离心率为_.13. 某小学教师准备购买一些签字笔和铅笔盒作为奖品，已知签字笔每支5元，铅笔盒每个6元，花费总额不能超过50元. 为了便于学生选择，购买签字笔和铅笔盒的个数均不能少于3个，那么该教师有_种不同的购买奖品方案. 14. 设函数（1）如果，那么实数_；（2）如果函数有且仅有两个零点，那么实数的取值范围是_. 三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分13分）已知函数，xR .（）求函数的最小正周期；（）判断函数在区间上是否为增函数？并说明理由.16（本小题满分13分）已知数列满足，且其前项和（）求的值和数列的通项公式； （）设数列为等比数列，公比为，且其前项和满足，求的取值范围17（本小题满分14分）B CA1 D1D A B1 C1 E F 如图，在四棱柱中，底面，且，. 点E在棱AB上，平面与棱相交于点F. （）求证：平面； （）求证： 平面；（）写出三棱锥体积的取值范围. （结论不要求证明）18（本小题满分13分） 最近，张师傅和李师傅要将家中闲置资金进行投资理财. 现有两种投资方案，且一年后投资盈亏的情况如下： （1） 投资股市：投资结果获利不赔不赚亏损概 率（2） 购买基金：投资结果获利不赔不赚亏损概 率（）当时，求q的值；（）已知“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小，求的取值范围； （）已知张师傅和李师傅两人都选择了“购买基金”来进行投资，假设三种投资结果出现的可能性相同，求一年后他们两人中至少有一人获利的概率19（本小题满分14分） 已知椭圆C：的右焦点为F，右顶点为A，离心率为e，点满足条件.（）求m的值；（）设过点F的直线l与椭圆C相交于M，N两点，记和的面积分别为，若,求直线l的方程.20（本小题满分13分）对于函数，如果它们的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，则称函数和在点P处相切，称点P为这两个函数的切点. 设函数,.（）当,时, 判断函数和是否相切？并说明理由； （）已知，且函数和相切，求切点P的坐标； （）设，点P的坐标为，问是否存在符合条件的函数和，使得它们在点P处相切？若点P的坐标为呢？（结论不要求证明）北京市西城区2014 2015学年度第一学期期末高三数学（文科）参考答案及评分标准 2015.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1B 2B 3A 4C 5B 6D 7A 8D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9 10 11. 12 13 14或4 注：第12，14题第一问2分，第二问3分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15（本小题满分13分） （）解：因为 3分， 5分所以函数的最小正周期. 7分（）解：结论：函数在区间上是增函数. 9分 理由如下：由， 解得， 所以函数的单调递增区间为，. 12分当时，知在区间上单调递增，所以函数在区间上是增函数. 13分16（本小题满分13分） （）解：由题意，得， 因为 ， 所以 ， 解得 . 3分所以 当时，由， 5分 得 . 7分 验证知时，符合上式， 所以，. 8分（）解：由（），得. 10分 因为 ， 所以 ， 解得 12分 又因为， 所以的取值范围是 13分B CA1 D1D A B1 C1 E F 17（本小题满分14分）（）证明：因为是棱柱，所以平面平面.又因为平面平面， 平面平面，所以 . 3分又 平面，平面，所以 平面. 6分（）证明：在四边形ABCD中，因为 ，,且，所以 ，.所以 ，所以 ，即. 7分因为 平面平面，所以 . 因为在四棱柱中，所以 . 9分又因为 平面，所以 平面. 11分（）解：三棱锥的体积的取值范围是. 14分18（本小题满分13分）（）解：因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种 且三种投资结果相互独立， 所以 +=1. 2分 又因为 ， 所以 = 3分（）解：由“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小， 得 ， 4分 因为 +=1， 所以 ，解得 . 7分 又因为 ， 所以 . 所以 . 8分（）解：记事件为 “一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利”， 9分用，分别表示一年后张师傅购买基金“获利”、“不赔不赚”、“亏损”，用，分别表示一年后李师傅购买基金“获利”、“不赔不赚”、“亏损”，则一年后张师傅和李师傅购买基金，所有可能的投资结果有种， 它们是：， 10分所以事件的结果有5种，它们是：，. 11分因此这一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利的概率. 13分 19（本小题满分14分）（）解：因为椭圆C的方程为 ，所以 , 2分则 ，. 3分因为 ，所以 . 5分（）解：若直线l的斜率不存在，则有 ，不合题意. 6分若直线l的斜率存在，设直线l的方程为，.由 得 ， 7分 可知 恒成立，且 ，. 8分 因为和的面积分别为，, 所以. 9分 即 . 所以 ， 11分 则 ， 即 ， 即 ， 解得 . 13分 所以直线l的方程为 或 . 14分 20（本小题满分13分）（）解：结论：当,时,函数和不相切. 1分 理由如下： 由条件知， 由，得， 又因为 ， 2分 所以当时， 所以对于任意的，. 当,时,函数和不相切. 3分（）解：若，则，设切点坐标为 ，其中,由题意，得 ， ， 4分 由，得 ， 代入，得 . （*） 5分 因为 ，且， 所以 . 设函数 ， 则 . 6分 令 ，解得或(舍). 7分 当变化时，与的变化情况如下表所示，10 8分 所以当时，取到最大值，且当时. 因此，当且仅当时. 所以方程（*）有且仅有一解. 于是 ， 因此切点P的坐标为. 9分（）解：当点的坐标为时，存在符合条件的函数和，使得它们在点 处相切； 11分 当点的坐标为时，不存在符合条件的函数和，使得它们在点处相 切. 13分
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