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毕业设计 (论文 )外文资料翻译 学院 (系 )： 机械工程 院 专 业： 机械工程及自动化 姓 名： 学 号： 外文出处： 附 件： 指导教师评语： 此翻译文章翻译用词比较准确，文笔也较为通顺，为在以后工作中接触英文资料打下了基础 签名： 年 月 日 注： 请将该封面与附件装订成册。 附件 1：外文资料翻译译文 ( ) 1 s 与 2 的对比 利用 三次样条函数的好处如下是： 1. 他们简化计算的必要条件和数字的不稳定性由高阶的曲线引起的。 2. 他们允许有转折点的最低阶的三维曲线。 3. 他们在空间中有能力扭曲。 在这章中我们将提出两种类型的样条（ 参量性的和非参量性的样条），我们在这里负责解释基本的数学推导和举例论证他们的工具的任务。 抛物线的 三次样条函数 考虑在 , , )着 1,.,变化描绘所得的一组数据点。我们的结果是要在所有的这些点之间通过一参量性的 三次样条函数。参量性的三次样条函数是表示为一或多个参量的函数的曲线。在任何两点之间参量性的三次样条函数等式是根据参数 t 得到的，如下： 32, 0 , 1 , 2 , 3()i i i i iS t a a a t a t (, 0 , 1 , 2,i i ia a a 和 ,3据边界条件和曲线的 连续性和稳定性而决定的常数。注意在任何两点之间如何定义精确的距离。如果距离是标准的，因此它的涵义是从 0到 1。在 0t 时，样条而， ,0 ( , )i i i i P x y 1,., ,0 , i i ia x y(我们在这个时候目标是要求在每一时间间隔之间常数的值。参数 t 的弦长定义为 221 1 1i i i i it x x y y 当 1 2,., (求其它常数 考虑这三点，1, 2和 3P。让在1232在23性的三次样条函数。因为 ()t 的涵义是应该在1束。实际上当它们是被定义点所需要的时，在等式（ 定义常 数有 x 和 y 成分。按照 x 轴向和 y 轴向分量两者所表示的参量性样条函数的一般关系式如下被表达： 23, 0 , 0 , 1 , 1 , 2 , 2 , 3 , 3( ) ( ) , ( ) , , , ,i x i y i x i y i x i y i x i y i x i y iS t S t S t a a a a t a a t a a t (式中 10 和 1,., 1 再次注意到当我们在 0t 如 何求们得到 23, 0 , 1 , 2 , 3 0 , 0( 0 ) i i i i i i t t a a t a t a t a (2,1 , 2 , 3 ,100()( 0 ) 2 3ii i i i i t a a t a t (因此 ,0 ( , )i i i i iS a P x y (已知 : n 控制 顶点 ) 1 ,1 (n 未知 ) (同样地，我们以在点 1P 和 2P 写入导数 2, 1 , 2 , 3()( ) 2 3ii i i tS t a a t a (2, 2 , 32()( ) 2 6ii i tS t a a (3,33()( ) 6 tS t (我们由等式（ 义 三次样条函数 ,当我们代替常数 ,0和 ,1同 从等式（ （ 得的 1S 和 2S 的时候，采取下列的形式： 231 1 , 2 , 3()i i iS t S S t a t a t (在控制顶点 ( , )x y 2,., 1 的连续性使我们得出 1 1 1 1( ) ( 0 )i i i i iS t t S t S P 1 1 1( ) ( 0 )i i i iS t t S t S (从那我们求出 ,2和 ,3因为已知的 和 ,2和 ,3 S 的函数，它是更多合乎需要的表示它们 231 , 2 1 , 3 1 12, 2 1 , 3 1 1i i i i i i i ii i i i i t a t a t SS a t a t S (现在我们可以求出适合 ,2和 ,3表达式当作 1,i i S 和 1 的函数。 利用等式（ （ 我们得到 , 2 1 12 1131( ) ( 2 )i i i i S S (, 3 1 1321121( ) ( )i i i i S S (因此，那样条函数在 1P 和 2P 之间可以简单的表示为 2 1 1 2 1 2 1 223112 3 2 22 2 2 2 2 23 ( ) 2 2 ( )()i S S S S S S S SS t S S t tt t t t t t (在计 算机 图形处理 的环境中和 通用算法的发展中，我们需要问下列问题： ( ) , ( ) , . . . , ( )i i nS t S t S t 解决 1S 和 2S 的方法？ ,和 2t 而得到数据集点？ 2, ,., P 中样条函数之间的连续性？ 总之，等式（ 对于任何两个相邻的立方部分进行归纳而得到解答，例如当 12 时的 () 1()， n 为数据点的数目。为一般的数据集改写等式（ 我们得 1 1 1 1 1232 3 2 21 1 1 1 1 13 ( ) 2 2 ( )() i i i i i i ii i ii i i i i S S S S S SS t S S t t tt t t t t t (回答前面的问题，我们首先指出那个确定 在立方部分之间的 连续性，我们必须计算 ()()的第二阶导数与在他们的相应的相连点方面把他们等同起来。从等式（ 我们得到 , 2 , 3( ) 2 6i i iS t a a t (,2(0) 2 (2 , 2 , 3 2( ) 2 6i i iS t a a t (我们也能分辨那边界条件 21( ) ( 0 )t S (利用等式（ （ 和（ 等式（ （ 和（ 起我们得到 1 2 1 1 1 22 2 ( )i i i i i t t S t S 221 2 1 2 1123() i i i i i t S S t S 12 （ 在矩阵形式中，等式（ 被明确地写成的，显示了那等式的重要特征。 简而言之， 3 2 3 2 14 3 4 3 25 4 5 4 312 ( ) 0 0 00 2 ( ) 0 00 0 2 ( ) 0: : : : : : :0 0 2 ( )n n n n nt t t t St t t t St t t t St t t t S 222 3 2 3 2 123223 4 3 4 3 234221 1 1 2133:3n n n n n S t S S t S S t S (等式（ 到含未知数 n 的 2n 个等式是显而易见的。本质上，为了求出未知数 n ，我们必须按照 S 的两个附加等式。 另一方面，如果端点 1S 和 已知， 通常就是这样在射束偏转中分析 ,然后方程组结果形成一致的联立方程式为我们求出所有的未知数。现在我们能检验边界条件使上述问题彻底地 解决。 边界条件自然样条函数 。 亦称衰减条件，自然样条函数由 ()t 从开始阶段和到 0结束所设定第二阶导数来确定。因此， 11 ( 0 ) 0S S t (1 ( ) 0n n t t (按照 S 写出这些条件，我们得到两个等式 1 2 2 1 2 0 . 5 1 . 5 ( ) /S S S S t ( 112 4 ( 6 / ) ( )n n n n t S S (增加等式（ （ 等式（ 2n 个方程，我们 因此能求出所有的S 定位样条函数。 为这样条函数提出的边界条件是以致于在 0t 和 的第一阶导数（斜率）被确定。它们必须在等式（ 构成附加的其他两个等式。 结 在任何两点之间 参量性的三次样条函数构造如下： 1. 求出最大弦长和计算 1, 2,., nt t t 。 2. 利用等式（ 相应的 边界条件求出 1, 2, ., S 。 3. 利用等式（ （ 和（ 出组成参量性三次样条函数的系数。 范例 以下数据集 (1,1), (), ( 和 (求出参数的 三次样条函数 在基点的两个末端假设一种衰减形式。 解答 图表 4.7 i xi 0 1 1 2 我们首先计算弦的跨度 221 1 1( ) ( )i i i i it x x y y 计算 S 所必须的精确等式从等式（ 得 i=0) 1 2 2 1232 ( )S S S i=1) 233 1 3 2 2 2 3 2 3 2 2 2 12332 ( ) ( ) ( ) t S t t S t S t S S t S i=2) 234 2 4 3 3 3 4 3 4 3 4 3 23432 ( ) ( ) ( ) t S t t S t S t S S t S i=3) 3 4 4 3432 ( )S S S (利用等式（ （ 到边界条件，与上述等式（ 者简单地利用等式（ 起，我们得 T i C (式中 2 1 0 01 . 0 3 1 4 . 2 9 8 1 . 1 1 8 00 0 . 7 0 7 3 . 4 7 6 1 . 0 3 10 0 1 2(2 2 2 22 3 2 32 1 2 1222 3 2 3 2 1 2 3 2 3 2 11 2 2 33 4 3 4 3 2 3 4 3 4 3 23 4 3 43 ( ) 3 ( )33 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x y yS x x x x y y y yx x x x y y y S t S S t S S t S S t S St t t S t S S t S S t S St t t t = 1 2 2 34 7 1 24 5 1 22 1 2 1(为了给 作解答，我们经过 1 倍增等式（ 使其自动地得到 ,1数，得出 1 i T C 式中 1 , 12 , 13 , 14 , 10 . 2 7 9 2 1 . 2 9 1 70 . 7 8 3 6 0 . 0 9 9 60 . 8 7 7 6 0 . 1 7 2 00 . 6 2 1 7 0 . 9 7 4 5 (现在我们使用等式（ 到 ,21, 2 12113 ( ) 1 ( 2 )()i i=1,2,3 (1 , 22 , 23 , 2000 . 4 5 2 1 . 0 6 70 . 3 6 1 1 . 1 3 5 (相似地 ,等式（ 出 ,3数 , 3 1 1321121( ) ( )( ) ( )i i i i S S (1 , 32 , 33 , 30 . 1 3 5 0 . 3 1 70 . 2 6 3 0 . 7 1 30 . 1 7 1 0 . 5 3 6 (总之，我们已经得到联接所有的 4个数据点的所有的三条样条和他们在他们的明确形式中被表达 .。 231 1 1 0 . 2 7 9 1 . 2 9 2 0 0 0 . 1 3 5 0 . 3 1 7S t t t 232 1 . 5 2 0 . 7 8 4 0 . 1 0 . 4 5 2 1 . 0 6 7 0 . 2 6 3 0 . 7 1 3S t t t 233 2 . 5 1 . 7 5 0 . 8 7 8 0 . 1 7 2 0 . 3 6 1 1 . 1 3 5 0 . 1 7 1 0 . 5 3 6S t t t (在图 图 参数的三次曲线是等式（ 出的。 范例 非参量性的三次样条函数 非参量性的三次样条函数被定义为是有唯一的单参数的函数的曲线。非参量性的三次样条函数允许在 x 参数值和那三次样条函数的数值之间的直线变量的关系式来决定。这从它的数学表达式中可看出： 23()S x a b x c x d x (从等式（ 我们注意到那三次样条函数是 x 独自的函数。 如此，我们可以说在 0, 1, ., nx x x 范围内的时间间隔中适合于已知的数据集点 1 2, ., P 的 判定，我们必须建立经过所有这些点的样条。让每一子区间由 ,1来表示；因此，我们的任务将求出这些间隔中的每个 三次样条函数。再次，我们必须得到一个为常数 ,和 d 作解答的算法。 三次样条函数 ()n 三次部分样条组成。每个点有 x 和 y 数值；因此，那 ()那间隔 1 , ，我们可以写 ()i i iS x y (1 1 1 1( ) ( )i i i iS x S x y (考虑那三次样条函数的平滑性和连续性，从下列的情况得到： 1 1 1( ) ( )i i i iS x S x (1 1 1( ) ( )i i i iS x S x (那非参量性的三次样条函数适合于任何间隔 1x x 可以表示为 23( ) ( ) ( ) ( )i i i i i i i iS x a b x x c x x d x x (它的第一和第二导数是 22 ( ) 3 ( )i i i i i iS b c x x d x x (2 6 ( )i i i iS c d x x (由等式（ （ 到样条的利用标准，我们推断出下列的： ()i i i iS x a y (2 311()i i i i i i i i i iS x a a b h c h d h (和 ()i i iS x b (21 1 1 1( ) ( ) 2 3i i i i i i i i i iS x S x b b c h d h (1 1 1 1( ) ( ) 2 2 6i i i i i i i iS x S x c c d h (式中 1i i ih x x 因为所有的 值是已知的，我们可以利用等式（ （ 出 11( 2 )3i i i i ii ia a h c cb h( 本质上，上述等式适合于利用 和 1求出 结果。类似这样的函数，如果我们使用 1 和 我们将得到另一个表达式，如下： 1 1 1( 2 )3i i i i ii ia a h c cb h (等式（ （ 义同样的 一旦我们使他们相等，他们就会变成一个依据 未知 等式 111 1 1 1 12 ( ) 3 ( )i i i ii i i i i i i a a ah c h h c h c (当 数被确定时，我们再一次在一矩阵形式中写出上述等式 0 0 1 1 01 1 2 2 12 2 3 22 2 1 12 ( ) 0 00 2 ( ) 00 0 2 ( ) 0: : : : : :0 0 0 2 ( )n n n n nh h h h ch h h h ch h h ch h h h c 2 1 1 0101 1 2123:n n n a a a a (等式（ 等式 2n 同未知数 n 组成；因此 ,它不能被求解。但是，样条的端点 0P 和 常被认为必须满足完全的边界条件。通过已知 0c 和 等式（ 于通过 1值求出其余的 1c 。 上述等式可以用紧凑结构来表示，如下 c A i=1, , 1n (H 和 A 可以当作它们随精确地已知系数来分别地计算 依次，样条的等式确定通过由等式（ 出的 着由等式（ 出的 1 1 11( 2 )3i i i i a h c cb h (13h i=0, , 1n (边界条件 然样条函数 在自然样条函数的边界条件中由在曲线的开始和末端的点设定第二 导数为 0时而被求出。因此， 0( ) ( ) 0nS x S x (当代入等式 (使我们得出 0 0 (位样条函数 定位的边界条件由在 x 和 定第一导数（ 斜率）来求出。简而言之， 00( ) ( )S x f x (和 ( ) ( )x f x (当 f 是一个指 定函数。下列范例说明这种方法计算 非参量性的三次样条函数和使它的有用的部分最显著。注意在唯一的一个简单化的方法中我们已经采用样条的基本概念；它被留给读者去研究在这个最主要的曲线拟合法之后数学的推进。 范例 在下面的表格中显示出的点求出 非参量性的三次样条函数（自然样条函数）。 i 0 1 1 2 1 n=2 解答： 第 1步：控制点 ,时间间隔和 第 2步：求出 1c ： 自然样条 (0c =2c =0) 2 1 1 00 0 0 1 1 1 2 102 ( ) 3 ( )a a a ah c h h c h c 1 1 . 7 5 2 2 10 . 5 0 2 ( 0 . 5 1 ) 1 0 3 ( )1 0 . 5c 13 3 ( 0 2 )c 1 第 3步：求出 和 11( 2 )3i i i i ii ia a h c cb h i = 0, , 1n 1 1 11( 2 )3i i i i a h c i = 1, , n 13h i = 0, , 1n 1 0 0 0 1001000( 2 ) 2 . 3 7 5301 . 53a a h c 2 1 1 1 2112111( 2 ) 1 . 2 5310 . 7 53a a h c 结果如下 i 0 1 1 0 2 n 0 图 非参量性的三次样条函数。 贝塞尔曲线 贝塞尔曲线的形状是由那位置上的交点来定义的，并且那曲线不能与除边界点之外的所有的已知点相交。在确实的情况中，存在着不适当的交点或不适合地定位点，那三次样条函数的方法在不判定更多点时不能形成平滑曲线。贝塞尔曲线允许非限制曲线的弯曲度适当地贯穿所有的点。这样可设想曲线的形状适合由一系列的点所定义的多边形。 贝塞尔曲线的数学基础（影响弯曲的形状的重量因素）与伯恩斯坦基础相关，通过下列 , ( ) (1 )i n nJ t t (式中 !( ) !n ni i n i和 !n 定义为 *! ( 1 ) ( 2 ) * . . .n n n n (在有序集合中 n 是 多项式的阶和 i 是 特殊的极点（在 0 到 n 之间）。那曲线的交点被定义为 ,1( ) ( )n i n t S J t (0 1)t (从 1i 到 n ，和 相当于不同的点的矢量分量。 为了建立贝塞尔曲线，我们必须求 ,值，它有参数 t 的函数。它是假设在it n 时 ,在最大值的函数和 ,由其给予的 , ( ) ( )( ) ( ) ni n i n i n iJ n i n (下列范例说明贝塞尔曲线的曲线拟合法。 范例 定贝塞尔曲线经过下列各点： 0 01P 1 25P 2 45P 3 61P 求出 贝塞尔曲线经过这些点的间距。 解答 我们 注意到 4个点构成贝塞尔曲线的多边形。因为我们有 4个判定极点，则3n 。 利用等式 (们可求出 J 函数的值，式中 0 3 33 , 023 , 123 , 233 , 3( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( ) 3 ( 1 )( ) 3 ( 1 )()J t t t tJ t tJ t t tJ t t (因此， 0 3 , 0 1 3 , 1 2 3 , 2 2 3 , 3()S t P J P J P J P J (因为不同的 t 的值，在图表 可以求出 贝塞尔曲线适合的系数。结果是 () (0) 0 1S ( 0 . 1 5 ) 0 . 9 2 . 5 2 9S ( 0 . 3 5 ) 2 . 1 0 2 3 . 7 3 3S (0 3 4S ( 0 . 6 5 ) 3 . 9 0 4 3 . 7 3 3S ( 0 . 8 5 ) 5 . 0 9 9 2 . 5 2 9S (1) 6 1S 那答案被 绘制在图 图 贝塞尔曲线表示为图表 表 贝塞尔曲线 函数 的赋值 3 , 1( 0 ,1, 2 , 3 ) 按照参数 t t 3,0J 3,1J 3,2J 3,3J 0 1 0 0 0 0 0 0 1 范例 塞尔曲线等式的区别 贝塞尔曲线利用一阶乘积的表达式和需要为了简单化的计算而需要限制紧凑结构的 , ()我们知道任何曲线的 函数 必须是在交点那个时候的区别，是定位最小值或最大值，斜率，和边界点的必要条件。让我们从那贝塞尔曲线正如等式 (所定义的开始，式中 ,1( ) ( )n i n t S J t (0 1)t (利用由等式 (部分地区别，我们获得 ,11() ( ) ( )n i i n t S J t S J (让我们寻找一个由 和 J 两者都为了完成我们的区别的表达式。注解 变为零是因为它在 i 时表示出的特征值，和 , ( ) ( 1 )i n t t 11( 1 ) ( 1 ) ( 1 )i n i i n t t n t (代替等式 (成等式 (我们得出 贝塞尔曲线的区别 11() ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )i n i i n t i t t S n t t (上述等式注意到左边和右边的关系和标志在 i 和 1i 通过 i 随着 1j 在左边关系简单地转换使我们可以引导 S 的数值。 简而言之 11 11100() ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( 1 )1nn j n j i n t j t t S n i t t (式中 1( 1 )1 和 1() i 然后等式 (下列的式子 1 1101() ( 1 )n i n j t n t t S (在贝塞尔曲线中 起来控制顶点的数目影响曲线的真实度。此外，在贝塞尔曲线中的混合 函数 的性质无法考虑到一个比较容易的方法修正当前曲线的形状。 ,0( ) ( )n i i t S N t 11()t t (式中 , 1 1 , 1, 11( ) ( ) ( ) ( )() i i k i k i i k i i k it t N t t t N t t t t (和 ,1 1() 0 1t t 其余的全部 (此外， 被认为是节点值并需要求值是为可获得所有的 N 的函数。知道 ,1一常数；所以，根据等式 (,2比例为 1的一个 函数。类似这样式子我们可看见 , () 1)k ，当 k 是更大的时就要求按 1的比例。 k 的数值 明确表示曲线的种类。 这有两种节点的类型： a) 周期性的节点： iT i k (0 )i n k (b) 非周期性的节点： 0 12it i 0 i nn i n k (当 明确表示周期性的节点的 曲线无法经过第一个和最后一个点时，就由贝塞尔曲线来确定，反之非周期性的节点确定第一个和最后一个点经过曲线。这个是由于述。 范例 例 3定义 为控制点的弯曲由 0, 1 2 解答： 当那相邻的节点之间的间隔总是 1时，这个定义那统一的节点情况。从等式(我们获得那节点值如下： 0 1 2 3 40 , 0 , 0 , 1 , 1 ,t t t t t 和 5 1t (注解 2n k ) 从等式 (们得到 , ()们需要求出 N 的函数相当于按要求排序点 1, 2, 和 3。从 0t 到 我们定义 ( 1)n 的混合函数。 种类 1. 让我们求解全部可能的函数。 0, 11, 12, 13, 14, 11()01()1()01()01()0 0112233445t t t t t t ( 从以上可知在 0t 和 1t 时我们需要选择非零的函数。因为我们选择 2,1()0,1)内有特征值为 1的仅有的非零的函数。 种类 2. 我们获得种类 2 ,2函数如下： 1 1 , 1 3 2 , 11 , 2 2 1 3 2( ) ( )() t t N t t t t t t 2, 1(1 )(1 )(附件 2：外文原文 （复印件） ) 1 s . of as 1. 2. 3. to in In we of we of to a of in , ),.,. is to a A is a is as a of or is in of a t as 32, 0 , 1 , 2 , 3()i i i i iS t a a a t a t (, 0 , 1 , 2,i i ia a a 3of t a So if is t , is to 0 ,0 ( , )i i i i P x y 1,., ,0 , i i ia x y(at is to t is 221 1 1i i i i it x x y y 1 2,., (is as 1, 2P. t. iSP. )P, of t ttP. In x y as to A of in of x y be as 23, 0 , 0 , 1 , 1 , 2 , 2 , 3 , 3( ) ( ) , ( ) , , , ,i x i y i x i y i x i y i x i y i x i y iS t S t S t a a a a t a a t a a t (0 1,., 1 we t as as we 3, 0 , 1 , 2 , 3 0 , 0( 0 ) i i i i i i t t a a t a t a t a (2,1 , 2 , 3 ,100()( 0 ) 2 3ii i i i i t a a t a t (0 ( , )i i i i iS a P x y (n 1 ,1 (n (we at P P , 1 , 2 , 3()( ) 2 3ii i i tS t a a t a (2, 2 , 32()( ) 2 6ii i tS t a a (3,33()( ) 6 tS t (by we 01S S 231 1 , 2 , 3()i i iS t S S t a t a t (at , )x y 2,., 1 1 1 1( ) ( 0 )i i i i iS t t S t
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