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2008 To a of of of of to of of a NC it be in of to in of is At in of a of to to of it of of is to of of 950s is in to to be in In to of a of a in or of a of of of is 1 A of a of a . C. H. as on of P1 is a of a of 1 to e(1) in of a a of as (e(11) = 01); e(1) to of to 1), be 1) = | | P (1) - g (1)| |, e (1) we of of a to as to as It a of as rc e（ 1） = ） , is of 2s 2)( 10101 is of e(1) in 1.2 be , of 1 )c o s ()c o s (1111 x (1) )s i n ()s i n (1111 y (2) - as g of is a 1 1'' 1'1 )(t a n 2'21'1a c 11111 )( )2/0( 1 （ 3） In to to e(1) to do (1) To of |) 11 （ 4） (2) To 3) 212' （ 5） (3) To 'in a g1 at p, e( be (4) To in e(1) be (5) In to 1 a , of of 1 11 n 2 of a of of as , in o o 's c 2c g in to be )c o s ()c o s (1111 x （ 6） )s )s 1111 y （ 7） )(t a n)(2'21'1111 )2/( 1 （ 8） )c o s ()c o s (2222 x （ 9） )s i n ()s i n (2222 y （ 10） 12122 )( （ 11） - g in o o in of 1o o 2 1 1 2 is in g x in of on on in of of to of e at g of of AC in o 2o , o o to AC n2 1111 2222 , n t 12112221 (12) we be rc of of )1()(21121 （ 13） )(t a '21'1（ 14） of e(1) = (), e = a. 3 In of of of a is to of of , to a of be a, a 'b, b' in a ', b' is a, b a b of it be in of to at is of to of 26wb （ 15） - h b, t to g of in is 21212 )1(2 （ 16） g2 at in of '12'211 （ 17） '112'212 )/( （ 18） 2'21'''1 1 we of is to of of a rc he we of rc in a of of in to be in of on is a of rc in to a rc do is of of of if we to e () a C to 3) in of to is a of to 4 rc of in to of of of 1) to so 2) to a 3) 4) of of . is a in of of of l, a of a l / 2, )o s (4)( 11 19） )o s ()o s (4c o 111 x)i n ()o s (4c o 111 y（ 20） of to of in in an 5 a of on of on be rc to it in of of By be of in It a be is to in it NC of in of in of u of in of a in Au of in a in of p2 so to , c, it of 1 K'1, K'2 K'3 of A in is is in to a of is (1) of of of .5 .5 2) of of a up 3) of to a (4) be of of of on a on on of In of of u to of of of to s of u, in t of in so In of of of 0% be to he As in to be to NC 1 an of 1984 2 1992 变圆弧齿轮的形成原理及特性 摘要： 提出了一类变圆弧齿轮。利用偏差函数法，给出了齿廓的完整构造过程，证明了它满足齿廓啮合基本定律；推导了齿廓方程等基本公式，讨论了变圆弧齿轮的特性，给 出了变圆弧齿廓的实例；这种齿轮具有较高的承载能力，特别便于高速、高精度数控加工，它将在重载传动场合得到应用。 关键词： 齿轮 齿廓 偏差函数 啮合原理 齿轮强度 引言 随着科学技术的发展，对齿轮传动的要求也不断提高，特别在重载和小型化方面尤为突出。目前，在齿轮设计中常用的有渐开线、摆线和圆弧 3 种齿廓；其中，渐开线齿轮由于制造简单，对中心距偏差不敏感等优点，得到广泛使用，但是，它承载能力较差，较少用于重载传动中；摆线齿轮接触应力小，齿廓的重合度较大，有利于弯曲强度的改善，但对啮合齿轮的 制造和装配精度要求较高；上世纪 50 年代出现的圆弧类齿轮弯曲强度不高，为了实现连续接触，一般需做成斜齿轮，在制造和小型化方面受到了极大地限制。为了提高齿轮的承载能力，研究人员提出了许多新型齿廓，例如：微线段齿轮齿廓，分阶式双渐开线齿轮等，对提高齿轮的强度能起到一定作用，但是，这些新齿廓在制造或装配等方面还存在某些不足。本文从偏差函数概念出发，提出了一种新型齿轮 变圆弧齿轮。文中介绍了变圆弧齿轮的形成原理，推导了齿廓计算公式，讨论了变圆弧齿轮的特性，给出了齿廓实例。 1 变圆弧齿廓的形成原理 圆弧齿 廓的形成原理 下面根据美国学者 D. C. H. 提出的偏差函数（ ，介绍变圆弧齿廓的形成原理。 设 半径为 1 的齿轮节圆， 1 为转角，以 e（ 1）为半径，圆心均匀分布在节圆上，画出一系列的圆，如图 1 所示（这里取 e（ 1） =21） ,当 e（ 1）满足一定的约束条件时，这一系列的圆可以包络出光滑的齿廓 1），从图中可看出， 1） =|P（ 1） 1） |，称 e（ 1）为偏差函数。我们将满足上述生成原理的一类齿廓统称为变圆弧包络齿廓，简称为变圆弧 齿廓，由它构成的齿轮副称为变圆弧齿轮副。 当取偏差函数 e（ 1） = ） 时，变圆弧齿廓就是常见的渐开线齿廓；而当偏差函数取 )2s 2)( 10101 时，这时的变圆弧齿廓就是摆线齿廓；而对于普通圆弧齿轮来说，相当于偏差函数 e（ 1）只在某些离散点取值。 圆弧齿廓的计算 从图 2 可以看出，用坐标分量表示的变圆弧齿轮齿廓 方程为 )c o s ()c o s (1111 x (1) )s i n ()s i n (1111 y (2) 式中， 定义为在 g 点齿廓的法线与 x 轴之间的夹角，它是 1 的函数，由图 2知 1'' 1'1 )(t a n 2'21'1a c 11111 )( )2/0( 1 （ 3） 为了使获得的上述齿廓能够实际应用，还必须对偏差函数 e(1）的选择做某些限制 （ 1）为保证齿廓曲线不相交，要求 |) 11 （ 4） （ 2）为确保方程式（ 3）有解 ，要求 212' （ 5） （ 3）为保证轮廓曲线 C连续，在节圆 齿廓 交叉点 ， e（必须等于零。 （ 4）为了保证齿廓光顺，在 e（ 1）最小、最大值之间必须单调变化。 （ 5）为了使齿轮齿数 整数并且保证有一定的重合系数 ，两个交汇点之间的角度范围 1 应满足 11 n 2 变圆弧齿轮齿廓的啮合原理 设一对变圆弧齿轮的齿廓相互啮合，如图 3 所示，在某一瞬时，这对共轭齿轮 齿廓 g 点处啮合，根据齿廓啮合原理，共轭齿廓方程可写成 )c o s ()c o s (1111 x （ 6） )s )s 1111 y （ 7） )(t a n)(2'21'1111 )2/( 1 （ 8） )c o s ()c o s (2222 x （ 9） )s i n ()s i n (2222 y (10） 12122 )( （ 11） 式中， 别是啮合点 g 在齿轮随体直角坐标系 0l 和 02中的坐标分量， 齿轮 1 和 2 的转角，而 1 和 2 是齿廓在 g 点的法线与两个 x 坐标轴的夹角。 两齿廓啮合过程中保持接触的条件是齿廓 的 g 点速度 齿廓 的 g 点速度 公法线方向的速度分量相等，即 齿廓的生成原理可知，两齿轮的齿廓在任意啮合点 g 处存在公法线 与连心线 于节点 P，由 分别 向 垂线，交于 ，则 ， 1111 2222 如图 3，则传动比为 n t 12112221 （ 12） 因此，我们得出结论：变圆弧齿轮能够实现恒定转速比传动。 变圆弧齿轮副齿廓间的相对滑动速度为 )1()(21121 （ 13） )(t a '21'1（ 14） 一般情况下，变圆弧齿轮的压力角是与齿轮转角有关的变量，对渐开线齿廓， e（ 1） = ），带入上述压力角计算公式可得 e=a。 3 变圆弧齿轮齿廓的特点 从理论上讲，变圆弧齿轮包括外啮合齿轮副和内啮合齿轮副。由于外啮合的渐开线齿轮具有制造简单，对误差不敏感等优点，因此，下面讨论的变圆弧齿轮是以提高齿轮强度为目的，用于重载场合的凸凹型内啮合变圆弧齿轮。 如图 4 所示，以节圆为分界面可以将变圆弧齿廓分割成 r 凸 齿 a， a和 b， b齿两部分，其中 a， b是 a， b 的镜像， a 段和 b 段可以用不同的偏差函数分别进行设计，但必须在节圆上相交并保证在交点处至少一阶连续。 齿轮的失效形式主要是断齿和点蚀，反映他们的性能指标包括：齿根弯曲强度和表面接触强度；齿根弯曲应力的近似计算公式为 26wb （ 15） 式中， 为齿宽， h 和 b 分别为力 用点到齿根的距离和齿宽。 根据 触应力理论，假设两个齿轮采用相同的材 料制造，内啮合齿廓在接触点 g 处的接触应力计算公式为 21212 )1(2 （ 16） 式中 别为两齿廓在接触点处的曲率半径，它们的计算公式分别为 '12'211 （ 17） '112'212 )/( （ 18） 2'21'''1 1 从上述公式可知，齿面接触应力的大小与接触点处曲率半径的差成正比，齿根弯曲应力和齿面接触应力都与生成齿廓的偏差函数有关，因此，通过合理设计变圆弧齿轮的偏差函数，我们能够获得所需的齿根弯曲强度和表面接触强度。变圆弧齿轮在某一瞬时的啮合状态与双圆弧齿轮相似，但普通双圆弧齿轮为了实现连续传动必须做成斜齿轮的形式，而这里介绍的变圆弧齿轮是通过一系列不同半径圆弧的包络，在直齿情况下，实现了圆弧齿轮的连续传动。变圆弧齿轮不存在根切现象，最小齿数可以做到两个齿。 能否实现高精度、低成本制造是限制非渐开线齿轮应 用的主要原因之一，如果我们以节点为原点，选齿轮转角、偏差函数 e（ ）和压力角 a 为 3 个进给轴，那末，在数控插补加工时，法向刀具半径补偿变得非常简单，另外，式（ 3）具有闵科夫斯基勾股速端曲线的形式，容易实现高速、高精度数控加工，这是变圆弧齿轮非常重要的优点。 与其它内啮合齿轮相似，变圆弧齿轮也存在对误差敏感等问题。 4 变圆弧齿轮齿廓举例 变圆弧齿轮设计的主要内容是在某些几何约束条件下，设计出满足强度性能要求的齿轮齿廓。变圆弧齿轮的设计大体上分为 4 个步骤 1）确定齿轮副参数，如：齿轮材料 特性、传动比、重合系数、模数、中心距和负载力矩等。 2）生成偏差函数。 3）构造齿廓。 4）评估齿轮副性能。满足要求，结束；否则，转 2。 下面给出一个采用偏差函数方法设计的内啮合正变圆弧齿轮副。设齿轮副的中心距为 l，节圆半径同为 l/2，偏差函数选 )o s (4)( 11 19） )o s ()o s (4c o 111 x)i n ()o s (4c o 111 y（ 20） 图 5 描绘了上述齿轮齿廓的连续凸凹接触特性，它的重合系数为 5 结论 本文提出了一种新型的变圆弧齿轮，介绍了设计这种齿轮的新方法，为齿廓研究提供了新思路和更为广阔的研究空间。由以上的推导、 论证以及计算可得出以下结论： 变圆弧齿轮副满足齿轮传动的基本条件，它主要采用凸凹型内啮合的传动形式，用于重载传动场合。 通过优化设计偏差函数，变圆弧齿轮能获得性能优良的齿轮齿廓，特别是能使齿根弯曲应力和表面接触应力明显减小。它还具有结构紧凑，最小齿数可做到两齿等优点。 齿廓设计方法物理意义明确，公式简洁，便于进行优化设计、计算机辅助设计和制造，特别是可以很容易地实现刀具半径补偿和进行高速、高精度数控加工。 齿廓为圆弧形的点 啮合 齿轮传动 。 通常有两种 啮合 形小齿轮为凸圆弧齿廓大
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