平顶山市2016-2017学年高二下期末数学试卷(理科)含解析.doc

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www.ks5u.com2016-2017学年河南省平顶山市高二(下)期末数学试卷(理科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求.1若(xi)i=y+2i,x,yR,其中i为虚数单位,则复数x+yi=()A2+iB2+iC12iD1+2i2对任意实数a、b、c,在下列命题中,真命题是()A“acbc”是“ab”的必要条件B“ac=bc”是“a=b”的必要条件C“acbc”是“ab”的充分条件D“ac=bc”是“a=b”的充分条件3若实数a,b满足a+b=2,则3a+3b的最小值是()A18B6C2D24在ABC中,sin2Asin2B+sin2CsinBsinC,则A的取值范围是()A(0,B,)C(0,D,)5已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为()AB1CD6已知各项均为正数的等比数列an中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=()A4B5C6D77设x,y满足约束条件,则z=2xy的最大值为()A10B8C3D28设F1和F2为双曲线y2=1的两个焦点,点P在双曲线上且满足F1PF2=90,则F1PF2的面积是()A1BC2D9已知a0,函数f(x)=ax2+bx+c,若x0满足关于x的方程2ax+b=0,则下列选项的命题中为假命题的是()AxR,f(x)f(x0)BxR,f(x)f(x0)CxR,f(x)f(x0)DxR,f(x)f(x0)10设函数f(x)=xex,则()Ax=1为f(x)的极大值点Bx=1为f(x)的极小值点Cx=1为f(x)的极大值点Dx=1为f(x)的极小值点11甲组有5名男同学,3名女同学;乙组有6名男同学、2名女同学若从甲、乙两组中各选出2名同学,则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有()A150种B180种C300种D345种12已知椭圆T: +=1(ab0)的离心率为,过右焦点F且斜率为k(k0)的直线与T相交于A,B两点,若=3,则k=()A1BCD2二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13曲线y=4xx3在点(1,3)处的切线方程是 14已知随机变量服从正态分布N(3,100),且P(5)=0.84,则P(15)= 15在(x)5的二次展开式中,x2的系数为 (用数字作答)16若规定E=a1,a2,a10的子集at1,at2,ak为E的第k个子集,其中,则E的第211个子集是 三、解答题:本大题共5小题,共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17已知an为等差数列,且a1+a3=8,a2+a4=12(1)求an的通项公式;(2)设,求数列bn的前n项和18甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为与p,且乙投球2次均未命中的概率为()求乙投球的命中率p;()若甲投球1次,乙投球2次,两人共命中的次数记为,求的分布列和数学期望19如图,四边形ABCD为正方形,PD平面ABCD,PDQA,QA=AB=PD()证明:平面PQC平面DCQ()求二面角QBPC的余弦值20已知椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,短轴上的两个顶点为A,B(A在B的上方),且四边形AF1BF2的面积为8(1)求椭圆C的方程;(2)设动直线y=kx+4与椭圆C交于不同的两点M,N,直线y=1与直线BM交于点G,求证:A,G,N三点共线21已知函数f(x)=ax(a+1)ln(x+1),其中a0(1)求f(x)的单调区间;(2)设f(x)的最小值为g(a),求证:选修4-4:参数方程与极坐标系22以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)将直线l:(t为参数)化为极坐标方程;(2)设P是(1)中直线l上的动点,定点A(,),B是曲线=2sin上的动点,求|PA|+|PB|的最小值选修4-5:不等式选讲23(1)解不等式:|2x1|x|1;(2)设a22ab+5b2=4对a,bR成立,求a+b的最大值及相应的a,b2016-2017学年河南省平顶山市高二(下)期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求.1若(xi)i=y+2i,x,yR,其中i为虚数单位,则复数x+yi=()A2+iB2+iC12iD1+2i【考点】A5:复数代数形式的乘除运算【分析】把等式左边变形,再由复数相等的条件列式求得x,y值,则答案可求【解答】解:由(xi)i=1+xi=y+2i,得y=1,x=2复数x+yi=2+i故选:A2对任意实数a、b、c,在下列命题中,真命题是()A“acbc”是“ab”的必要条件B“ac=bc”是“a=b”的必要条件C“acbc”是“ab”的充分条件D“ac=bc”是“a=b”的充分条件【考点】2L:必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】当a=b时,一定有ac=bc但ac=bc时,且c=0时,a,b可以不相等即“ac=bc”是“a=b”的必要条件【解答】解:A、C当c0时,“acbc”即不是“ab”的必要条件也不是充分条件,故A,C不成立;B、当a=b时一定有ac=bc但ac=bc时,且c=0时,a,b可以不相等即“ac=bc”是“a=b”的必要条件D、当c=0时,“ac=bc”是“a=b”的充分条件不成立;故选B3若实数a,b满足a+b=2,则3a+3b的最小值是()A18B6C2D2【考点】7F:基本不等式【分析】先判断3a与3b的符号,利用基本不等式建立关系,结合a+b=2,可求出3a+3b的最小值【解答】解:由于3a0,3b0,所以3a+3b=6当且仅当3a=3b,a=b,即a=1,b=1时取得最小值故选B4在ABC中,sin2Asin2B+sin2CsinBsinC,则A的取值范围是()A(0,B,)C(0,D,)【考点】HP:正弦定理;HR:余弦定理【分析】先利用正弦定理把不等式中正弦的值转化成边,进而代入到余弦定理公式中求得cosA的范围,进而求得A的范围【解答】解:由正弦定理可知a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,sin2Asin2B+sin2CsinBsinC,a2b2+c2bc,bcb2+c2a2cosA=AA0A的取值范围是(0,故选C5已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为()AB1CD【考点】K8:抛物线的简单性质【分析】根据抛物线的方程求出准线方程,利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离,列出方程求出A,B的中点横坐标,求出线段AB的中点到y轴的距离【解答】解:F是抛物线y2=x的焦点,F()准线方程x=,设A(x1,y1),B(x2,y2),根据抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离|AF|=,|BF|=,|AF|+|BF|=3解得,线段AB的中点横坐标为,线段AB的中点到y轴的距离为故选C6已知各项均为正数的等比数列an中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=()A4B5C6D7【考点】8G:等比数列的性质【分析】由等比数列的性质知,a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9成等比数列,即可得出结论【解答】解:由等比数列的性质知,a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9成等比数列,所以a4a5a6=5故选:B7设x,y满足约束条件,则z=2xy的最大值为()A10B8C3D2【考点】7C:简单线性规划【分析】由题意作出其平面区域,将z=2xy化为y=2xz,z相当于直线y=2xz的纵截距,由几何意义可得【解答】解:由题意作出其平面区域:将z=2xy化为y=2xz,z相当于直线y=2xz的纵截距,由可解得,A(5,2),则过点A(5,2)时,z=2xy有最大值102=8故选B8设F1和F2为双曲线y2=1的两个焦点,点P在双曲线上且满足F1PF2=90,则F1PF2的面积是()A1BC2D【考点】KC:双曲线的简单性质【分析】设|PF1|=x,|PF2|=y,根据根据双曲线性质可知xy的值,再根据F1PF2=90,求得x2+y2的值,进而根据2xy=x2+y2(xy)2求得xy,进而可求得F1PF2的面积【解答】解:设|PF1|=x,|PF2|=y,(xy)根据双曲线性质可知xy=4,F1PF2=90,x2+y2=202xy=x2+y2(xy)2=4xy=2F1PF2的面积为xy=1故选A9已知a0,函数f(x)=ax2+bx+c,若x0满足关于x的方程2ax+b=0,则下列选项的命题中为假命题的是()AxR,f(x)f(x0)BxR,f(x)f(x0)CxR,f(x)f(x0)DxR,f(x)f(x0)【考点】26:四种命题的真假关系【分析】由x0满足关于x的方程2ax+b=0得出x=x0是二次函数的对称轴,由a0可知二次函数有最小值【解答】解:x0满足关于x的方程2ax+b=0,a0,函数f(x)在x=x0处取到最小值是等价于xR,f(x)f(x0),所以命题C错误答案:C10设函数f(x)=xex,则()Ax=1为f(x)的极大值点Bx=1为f(x)的极小值点Cx=1为f(x)的极大值点Dx=1为f(x)的极小值点【考点】6D:利用导数研究函数的极值【分析】由题意,可先求出f(x)=(x+1)ex,利用导数研究出函数的单调性,即可得出x=1为f(x)的极小值点【解答】解:由于f(x)=xex,可得f(x)=(x+1)ex,令f(x)=(x+1)ex=0可得x=1令f(x)=(x+1)ex0可得x1,即函数在(1,+)上是增函数令f(x)=(x+1)ex0可得x1,即函数在(,1)上是减函数所以x=1为f(x)的极小值点故选D11甲组有5名男同学,3名女同学;乙组有6名男同学、2名女同学若从甲、乙两组中各选出2名同学,则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有()A150种B180种C300种D345种【考点】D1:分类加法计数原理;D2:分步乘法计数原理【分析】选出的4人中恰有1名女同学的不同选法,1名女同学来自甲组和乙组两类型【解答】解:分两类(1)甲组中选出一名女生有C51C31C62=225种选法;(2)乙组中选出一名女生有C52C61C21=120种选法故共有345种选法故选D12已知椭圆T: +=1(ab0)的离心率为,过右焦点F且斜率为k(k0)的直线与T相交于A,B两点,若=3,则k=()A1BCD2【考点】KH:直线与圆锥曲线的综合问题【分析】设A(x1,y1),B(x2,y2),根据求得y1和y2关系根据离心率设,b=t,代入椭圆方程与直线方程联立,消去x,根据韦达定理表示出y1+y2和y1y2,进而根据y1和y2关系求得k【解答】解:A(x1,y1),B(x2,y2),y1=3y2,设,b=t,x2+4y24t2=0,设直线AB方程为,代入中消去x,可得,解得,故选B二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13曲线y=4xx3在点(1,3)处的切线方程是xy2=0【考点】6H:利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】欲求出切线方程,只须求出其斜率即可,故先利用导数求出在x=1处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而问题解决【解答】解:y=4xx3,f(x)=43x2,当x=1时,f(1)=1得切线的斜率为1,所以k=1;所以曲线在点(1,3)处的切线方程为:y+3=1(x+1),即xy2=0故答案为:xy2=014已知随机变量服从正态分布N(3,100),且P(5)=0.84,则P(15)=0.68【考点】CP:正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【分析】先求出P(35),再利用正态分布的对称性计算P(15)【解答】解:P(35)=P(5)P(3)=0.840.5=0.34,P(15)=2P(35)=0.68故答案为:0.6815在(x)5的二次展开式中,x2的系数为40(用数字作答)【考点】DA:二项式定理【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项,令x的指数为2求出x2的系数【解答】解:,令所以r=2,所以x2的系数为(2)2C52=40故答案为4016若规定E=a1,a2,a10的子集at1,at2,ak为E的第k个子集,其中,则E的第211个子集是a1,a2,a5,a7,a8【考点】16:子集与真子集【分析】根据题意,分别讨论2n的取值,通过讨论计算n的可能取值,即可得答案【解答】解:27=128211,而28=256211,E的第211个子集包含a8,此时211128=83,26=6483,27=12883,E的第211个子集包含a7,此时8364=19,24=1619,25=3219,E的第211个子集包含a5,此时1916=3213,22=43,E的第211个子集包含a2,此时32=1,20=1,E的第211个子集包含a1E的第211个子集是a1,a2,a5,a7,a8;故答案为:a1,a2,a5,a7,a8三、解答题:本大题共5小题,共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17已知an为等差数列,且a1+a3=8,a2+a4=12(1)求an的通项公式;(2)设,求数列bn的前n项和【考点】8E:数列的求和;8F:等差数列的性质【分析】(1)由已知条件可得,解得a1,d,即可;(2)由an=2n可得,利用错位相减法数列bn的前n项和为Tn【解答】解:(1)由已知条件可得,解之得a1=2,d=2,所以,an=2n (2)由an=2n可得,设数列bn的前n项和为Tn则,以上二式相减得=,所以,18甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为与p,且乙投球2次均未命中的概率为()求乙投球的命中率p;()若甲投球1次,乙投球2次,两人共命中的次数记为,求的分布列和数学期望【考点】CH:离散型随机变量的期望与方差;C7:等可能事件的概率;CG:离散型随机变量及其分布列【分析】()根据乙投球2次均未命中的概率为,两次是否投中相互之间没有影响,根据相互独立事件的概率公式写出乙两次都未投中的概率,列出方程,解方程即可(II)做出甲投球命中的概率和乙投球命中的概率,因为两人共命中的次数记为,得到变量可能的取值,看清楚变量对应的事件,做出事件的概率,写出分布列和期望【解答】解:()根据乙投球2次均未命中的概率为,两次是否投中相互之间没有影响,设“甲投球一次命中”为事件A,“乙投球一次命中”为事件B由题意得解得或(舍去),乙投球的命中率为()由题设和()知可能的取值为0,1,2,3,P(=1)=P(A)P()+P(B)P()P()=的分布列为的数学期望19如图,四边形ABCD为正方形,PD平面ABCD,PDQA,QA=AB=PD()证明:平面PQC平面DCQ()求二面角QBPC的余弦值【考点】MJ:与二面角有关的立体几何综合题;LY:平面与平面垂直的判定;MN:向量语言表述面面的垂直、平行关系;MR:用空间向量求平面间的夹角【分析】首先根据题意以D为坐标原点,线段DA的长为单位长,射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz;()根据坐标系,求出、的坐标,由向量积的运算易得=0, =0;进而可得PQDQ,PQDC,由面面垂直的判定方法,可得证明;()依题意结合坐标系,可得B、的坐标,进而求出平面的PBC的法向量与平面PBQ法向量,进而求出cos,根据二面角与其法向量夹角的关系,可得答案【解答】解:如图,以D为坐标原点,线段DA的长为单位长,射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz;()依题意有Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0);则=(1,1,0),=(0,0,1),=(1,1,0),所以=0, =0;即PQDQ,PQDC,故PQ平面DCQ,又PQ平面PQC,所以平面PQC平面DCQ;()依题意,有B(1,0,1),=(1,0,0),=(1,2,1);设=(x,y,z)是平面的PBC法向量,则即,因此可取=(0,1,2);设是平面PBQ的法向量,则,可取=(1,1,1),所以cos,=,故二面角角QBPC的余弦值为20已知椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,短轴上的两个顶点为A,B(A在B的上方),且四边形AF1BF2的面积为8(1)求椭圆C的方程;(2)设动直线y=kx+4与椭圆C交于不同的两点M,N,直线y=1与直线BM交于点G,求证:A,G,N三点共线【考点】KL:直线与椭圆的位置关系;K3:椭圆的标准方程【分析】(1)椭圆C的离心率,可得b=c,四边形AF1BF2是正方形,即a2=8,b=c=2 (2)将已知直线代入椭圆方程化简得:(2k2+1)x2+16kx+24=0 设M(xM,kxM+4),N(xN,kxN+4),G(xG,1),MB方程为:y=,则G(,1),欲证A,G,N三点共线,只需证,共线,即只需(3k+k)xMxn=6(xM+xN)即可【解答】解:(1)椭圆C的离心率,b=c,因此四边形AF1BF2是正方形a2=8,b=c=2 椭圆C的方程为 (2)证明:将已知直线代入椭圆方程化简得:(2k2+1)x2+16kx+24=0,=32(2k23)0,解得:k由韦达定理得:,xMxN=,设M(xM,kxM+4),N(xN,kxN+4),G(xG,1),MB方程为:y=,则G(,1),欲证A,G,N三点共线,只需证,共线,即(kxN+2)=xN成立,化简得:(3k+k)xMxn=6(xM+xN)将代入易知等式成立,则A,G,N三点共线得证 21已知函数f(x)=ax(a+1)ln(x+1),其中a0(1)求f(x)的单调区间;(2)设f(x)的最小值为g(a),求证:【考点】6B:利用导数研究函数的单调性;6E:利用导数求闭区间上函数的最值【分析】(1)先对函数进行求导,根据导函数大于0原函数单调递增,导函数小于0原函数单调递减可得答案;(2)由(1)可知,f(x)的最小值为,a0,构造函数设,x(0,+),利用导数研究函数的单调性和最值,即可证明结论【解答】解:(1)由已知可得函数f(x)的定义域为(1,+),而,a0,x1,当时,f(x)0,当时,f(x)0,函数f(x)的单调递减区间是,单调递增区间是 (2)由(1)可知,f(x)的最小值为,a0 要证明,只须证明成立 设,x(0,+) 则,(x)在区间(0,+)上是增函数,(x)(0)=0,即取得到成立 设(x)=ln(x+1)x,x(0,+),同理可证ln(x+1)x取得到成立因此,选修4-4:参数方程与极坐标系22以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)将直线l:(t为参数)化为极坐标方程;(2)设P是(1)中直线l上的动点,定点A(,),B是曲线=2sin上的动点,求|PA|+|PB|的最小值【考点】Q4:简单曲线的极坐标方程【分析】(1)由直线l:(t为参数)消去参数t,可得x+y=,利用即可化为极坐标方程;(2)定点A(,),化为A(1,1)曲线=2sin化为2=2sin,可得直角坐标方程:x2+(y+1)2=1可得圆心C(0,1)连接AC交直线l于点P,交C于点B,可得|PA|+|PB|的最小值=|AC|r【解答】解:(1)由直线l:(t为参数)消去参数t,可得x+y=,化为极坐标方程cos+sin=;(2)定点A(,),化为A(1,1)曲线=2sin化为2=2sin,直角坐标方程为:x2+y2=2y,配方为x2+(y+1)2=1可得圆心C(0,1)连接AC交直线l于点P,交C于点B,|AC|=,|PA|+|PB|的最小值=|AC|r=1选修4-5:不等式选讲23(1)解不等式:|2x1|x|1;(2)设a22ab+5b2=4对a,bR成立,求a+b的最大值及相应的a,b【考点】R5:绝对值不等式的解法;7G:基本不等式在最值问题中的应用【分析】(1)对x分情况讨论,去绝对值;然后分别解之;(2)设a+b=x,则原方程化为关于a的一元二次方程的形式,利用判别式法,得到x的范围【解答】解:根据题意,对x分3种情况讨论:当x0时,原不等式可化为2x+1x+1,解得x0,又x0,则x不存在,此时,不等式的解集为当0x时,原不等式可化为2x+1x+1,解得x0,又0x,此时其解集为x|0x当x时,原不等式可化为2x1x+1,解得x2,又由x,此时其解集为x|x2,x|0xx|x2=x|0x2;综上,原不等式的解集为x|0x2(2)设a+b=x,则原方程化为8a212ax+5x24=0,此方程有实根,则=144x248(5x24)0,解得,所以a+b的最大值为2,此时a=,b=2017年7月11日
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