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浦东新区2009学年度第一学期期末质量抽测 高三数学（理科）试卷 20101注意：1答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、姓名、考号填写清楚. 2本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1已知集合，则_.2若，则_.3不等式的解为_.4已知，则_.5已知函数，则_.6函数的最小正周期为_.7二项式的展开式中，含项的系数为_.1 1 1 1 1 1 11 2 3 4 5 61 3 6 10 151 4 10 201 5 151 6 18从4名男生和2名女生中任选3人担任世博志愿者，所选3人中至少有1名女生的概率为_.9如右图 “杨辉三角形”，从左上角开始的4个元素构成的二阶行列式的值等于1；从左上角开始的9个元素构成的三阶行列式的值也等于1；猜想从左上B1OD1A1C1ABCD角开始的16个元素构成的四阶行列式的值等于_.10若多面体的各个顶点都在同一球面上,则称这个多面体内接于球.如图，设长方体内接于球，且，则、两点之间的球面距离为_.11若、是正数，则的最小值为_.12已知数列是等比数列，其前项和为，若，则_.ABDC13如图，在中，是边的中点，则_14已知是定义在上的奇函数，.当时，则方程的解的个数为_.二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分.15条件甲：函数满足；条件乙：函数是偶函数，则甲是乙的 （ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件16下列命题正确个数为 （ ） 三点确定一个平面； 若一条直线垂直于平面内的无数条直线，则该直线与平面垂直；开始结束是否输出 同时垂直于一条直线的两条直线平行； 底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的表面积为12.A. 0 B. 1 C. 2 D. 317右图是一程序框图，则其输出结果为 （ ）A. B. C. D. 18设是边延长线上一点，记. 若关于的方程在上恰有两解，则实数的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 或三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规定的区域内写出必要的步骤.19（本题满分14分）设复数满足，（其中为虚数单位）.若 ，求实数的取值范围.20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.PCDE如图，已知平面，,分别是的中点.（1）求异面直线与所成的角的大小；（2）求绕直线旋转一周所构成的旋转体的体积.21（本大题满分16分）本大题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满4分，第3小题满分6分.ABCDEFH如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道，是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.设计要求管道的接口是的中点，分别落在线段上.已知米，米，记.（1）试将污水净化管道的长度表示为的函数,并写出定义域；（2）若，求此时管道的长度；（3）问：当取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度.22（本大题满分16分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.对于函数，如果存在实数使得，那么称为的生成函数.（1）下面给出两组函数，是否分别为的生成函数？并说明理由；第一组：；第二组：；（2）设，生成函数.若不等式 在上有解，求实数的取值范围；（3）设，取，生成函数图像的最低点坐标为.若对于任意正实数且.试问是否存在最大的常数，使恒成立？如果存在，求出这个的值；如果不存在，请说明理由.23（本大题满分18分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知数列是首项，公差为2的等差数列；数列满足.（1）若、成等比数列，求数列的通项公式； （2）若对任意都有成立，求实数的取值范围；（3）数列满足 ，其中，；，当时，求的最小值（）.浦东新区2009学年度第一学期期末质量抽测 高三数学（理科）试卷 20101注意：1答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、姓名、考号填写清楚. 2本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1已知集合，则_.2若，则_1_.3不等式的解为_.4已知，则_.5已知函数，则_.6函数的最小正周期为_.7二项式的展开式中，含项的系数为_.1 1 1 1 1 1 11 2 3 4 5 61 3 6 10 151 4 10 201 5 151 6 18从4名男生和2名女生中任选3人担任世博志愿者，所选3人中至少有1名女生的概率为_.9如右图 “杨辉三角形”，从左上角开始的4个元素构成的二阶行列式的值等于1；从左上角开始的9个元素构成的三阶行列式的值也等于1；猜想从左上B1OD1A1C1ABCD角开始的16个元素构成的四阶行列式的值等于_1_.10若多面体的各个顶点都在同一球面上,则称这个多面体内接于球.如图，设长方体内接于球，且，则、两点之间的球面距离为_.11若、是正数，则的最小值为_24_.12已知数列是等比数列，其前项和为，若，则_16_.ABDC13如图，在中，是边的中点，则_14已知是定义在上的奇函数，.当时，则方程的解的个数为_4_.二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分.15条件甲：函数满足；条件乙：函数是偶函数，则甲是乙的 （ A ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件16下列命题正确个数为 （ B ） 三点确定一个平面； 若一条直线垂直于平面内的无数条直线，则该直线与平面垂直；开始结束是否输出 同时垂直于一条直线的两条直线平行； 底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的表面积为12.A. 0 B. 1 C. 2 D. 317右图是一程序框图，则其输出结果为 （ C ）A. B. C. D. 18设是边延长线上一点，记. 若关于的方程在上恰有两解，则实数的取值范围是 （ D ）A. B. C. D. 或三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规定的区域内写出必要的步骤.19（本题满分14分）设复数满足（其中为虚数单位）.若 ，求实数的取值范围.解： 5分8分由， 10分或 故实数的取值范围是.14分20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.PCDE如图，已知平面，,分别是的中点.（1）求异面直线与所成的角的大小；（2）求绕直线旋转一周所构成的旋转体的体积.解（1）解法一：取中点，连接，则，所以就是异面直线与所成的角.4分由已知，.6分在中，.PCDEF所以异面直线与所成的角为（.8分解法二：如图所示建立空间直角坐标系，4分PCDE， 6分所以异面直线与所成的角为.8分（2）绕直线旋转一周所构成的旋转体，是以为底面半径、为高的圆锥中挖去一个以为底面半径、为高的小圆锥，体积.14分21（本大题满分16分）本大题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满4分，第3小题满分6分.ABCDEFH如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道，是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.设计要求管道的接口是的中点，分别落在线段上.已知米，米，记.（1）试将污水净化管道的长度表示为的函数,并写出定义域；（2）若，求此时管道的长度；（3）问：当取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度.解：（1）， 2分 4分由于， 5分 ， .6分(2) 时，,8分;10分（3）= 设 则12分由于，所以 14分在内单调递减，于是当时时 的最大值米. 15分答：当或时所铺设的管道最短，为米.16分22（本大题满分16分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.对于函数，如果存在实数使得，那么称为的生成函数.（1）下面给出两组函数，是否分别为的生成函数？并说明理由；第一组：；第二组：；（2）设，生成函数.若不等式 在上有解，求实数的取值范围；（3）设，取，生成函数图像的最低点坐标为.若对于任意正实数且.试问是否存在最大的常数，使恒成立？如果存在，求出这个的值；如果不存在，请说明理由.解：（1） 设，即，取，所以是的生成函数. 2分 设，即，则，该方程组无解.所以不是的生成函数.4分（2） 5分，即， 6分也即 7分因为，所以 8分则 9分函数在上单调递增，.故，.10 分（3）由题意，得，则，解得，所以 12分假设存在最大的常数，使恒成立.于是设= 令，则，即14分设，.设， ，所以在上单调递减， ，故存在最大的常数16分23（本大题满分18分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知数列是首项，公差为2的等差数列；数列满足.（1）若、成等比数列，求数列的通项公式； （2）若对任意都有成立，求实数的取值范围；（3）数列满足 ，其中，；，当时，求的最小值（）.解：（1）因为、成等比数列，所以，即， 4分（2）由，6分由题意得：， 10分（3）因为当为偶数时：，所以 即；12分当为奇数时：，所以 即；14分综合得 所以 ， 所以，15分则， 16分因为数列对任意是单调递增数列，且所以当时，即所以当时，即当时， 所以 18分 13
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