成都市崇州市2015-2016学年八年级下期末数学试卷含答案解析.doc

2015-2016学年四川省成都市崇州市八年级（下）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是（）Aa（a+b1）=a2+abaBa2a2=a（a1）2C4a2+9b2=（2a+3b）（2a+3b）D2当x=2时，下列各式的值为0的是（）ABCD3下列各式不可以用完全平方公式分解因式的是（）Aa22ab+b2B4m22m+C96y+y2Dx22xyy24下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有（）A1个B2个C3个D4个5等腰ABC中，已知有一条边长为4，另一条边长为9，则ABC的周长为（）A13B17C22D17或226如图，在ABC中，BC=5，AC=8，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则BCE的周长为（）A13B21C18D37如图，将ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到ADE若CAE=65，E=70，且ADBC，BAC的度数为（）A60B75C85D908如图，在ABC中，AB=AC，BD平分ABC交AC于点D，AEBD交CB的延长线于点E，若E=35，则BAC的度数为（）A40B45C50D559在平面中，下列说法正确的是（）A四个角相等的四边形是矩形B对角线垂直的四边形是菱形C对角线相等的四边形是矩形D四边相等的四边形是正方形10举反例说明“一个锐角的余角小于这个角”是假命题，下面错误的是（）A设一个角是45，它的余角是45，但45=45B设一个角是60，它的余角是30，但3060C设一个角是30，它的余角是60，但6030D设一个角是10，它的余角是80，但8010二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）11已知a+b=8，ab=15，则a2b+ab2=12如图，把三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若1=30，则2=13如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，点E是BC边上的中点，AB=6，则OE=14一个多边形的每个外角都是45，则这个多边形的边数为15若分式方程=有增根，则增根为三、解答题（共5小题，满分50分）16（18分）（1）分解因式：a21+b22ab（2）解方程： =+（3）先化简，再求值：（m1），其中m=17（7分）如图，在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点的坐标分别是A（3，2），B（1，4），C（0，2） （1）将ABC以点C为旋转中心旋转180，画出旋转后对应的A1B1C；（2）平移ABC，若A的对应点A2的坐标为（5，2），画出平移后的A2B2C2；（3）若将A2B2C2绕某一点旋转可以得到A1B1C，请直接写出旋转中心的坐标18（8分）如图ABC中，AC=BC，ACB=90，AD是BAC的角平分线，DMAB于点M（1）若CD=5，求AC的长（2）求证：AB=AC+CD19（8分）已知：如图，在ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连接AE，CF（1）求证：AF=CE；（2）若AC=EF，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论20（9分）某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润不低于25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？四、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）21关于x的方程=3的解是正数，则m的取值范围是22当x=1时，分式无意义，当x=4时，分式的值为零，则m+n=23已知（a2+b2）（a2+b22）=8，那么a2+b2=24连结正方形四边中点所构成的正方形，我们称其原正方形的中点正方形，如图，已知正方形ABCD的中点正方形是A1B1C1D1，再作正方形A1B1C1D1的中点正方形A2B2C2D2，这样不断地作下去，第n次所做的中点正方形 AnBnCnDn，若正方形ABCD的边长为1，则第10次所作的中点正方形边长为，若设中点正方形 AnBnCnDn的面积为Sn，则S1+S2+S3+S10=五、解答题（共4小题，满分34分）25如图，ADBC，ABBC于点B，AD=4，将CD绕点D逆时针旋转90至DE，连接AE、CE，若ADE的面积为6，则BC=26（8分）有一道题：“先化简？（）（+1）再其求值”小王代入某个数后，求得值为1，你能确定小王代入的是哪一个值吗？你认为他代入的值合适吗？请说明理由27（10分）如图，矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD边上一点，DE=AD（n为大于2的整数），连接BE，作BE的垂直平分线分别交AD，BC于点F，G，FG与BE的交点为O，连接BF和EG（1）试判断四边形BFEG的形状，并说明理由；（2）当AB=a（a为常数），n=3时，求FG的长；（3）记四边形BFEG的面积为S1，矩形ABCD的面积为S2，当=时，求n的值（直接写出结果，不必写出解答过程）28（12分）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中C=90，B=E=30（1）如图2，固定ABC，将DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，判断DE和AC的位置关系，并说明理由；设BDC的面积为S1，AEC的面积为S2，那么S1与S2的数量关系是；（2）当DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了BDC和AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想（3）如图4，ABC=60，点D在其角平分线上，BD=CD=6，DEAB交BC于点E，若点F在射线BA上，并且SDCF=SBDE，请直接写出相应的BF的长2015-2016学年四川省成都市崇州市八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是（）Aa（a+b1）=a2+abaBa2a2=a（a1）2C4a2+9b2=（2a+3b）（2a+3b）D【考点】因式分解的意义【分析】根据因式分解的是多项式，分解的结果是积的形式，进行判断即可【解答】解：A、B中最后结果不是乘积的形式，不属于因式分解；C、运用平方差公式进行的因式分解；D、不是在整式范围内进行的分解，不属于因式分解故选C【点评】因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个单项式因式分解，理解因式分解的定义是解决此类问题的关键2当x=2时，下列各式的值为0的是（）ABCD【考点】分式的值为零的条件【分析】根据分式的值为零的条件进行判断【解答】解：A、当x=2时，x23x+2=0，由于分式的分母不能为0，故A错误；B、当x=2时，x2=0，分式的分母为0，故B错误；C、当x=2时，2x4=0，且x90；故C正确；D、当x=2时，原式=40，故D错误；故选C【点评】若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0这两个条件缺一不可3下列各式不可以用完全平方公式分解因式的是（）Aa22ab+b2B4m22m+C96y+y2Dx22xyy2【考点】因式分解-运用公式法【分析】能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍，据此判断即可【解答】解：a22ab+b2=（ab）2，选项A可以用完全平方公式分解因式4m22m+=，选项B可以用完全平方公式分解因式96y+y2=（3y）2选项C可以用完全平方公式分解因式x22xyy2其中有两项不能写成两个数的平方和的形式，选项D不可以用完全平方公式分解因式故选：D【点评】此题主要考查了运用公式法分解因式，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍4下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有（）A1个B2个C3个D4个【考点】中心对称图形；轴对称图形【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解【解答】解：第一个图形是轴对称图形，也是中心对称图形；第二个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；第三个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；第四个图形是轴对称图形，也是中心对称图形故选B【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合5等腰ABC中，已知有一条边长为4，另一条边长为9，则ABC的周长为（）A13B17C22D17或22【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系【分析】等腰ABC的两边长分别为9和4，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论【解答】解：当腰是4，底边是9时，4+49，不满足三角形的三边关系，因此舍去当底边是4，腰长是9时，能构成三角形，则其周长=4+9+9=22故选C【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键6如图，在ABC中，BC=5，AC=8，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则BCE的周长为（）A13B21C18D3【考点】线段垂直平分线的性质【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EA=EB，根据三角形的周长公式计算即可【解答】解：DE是AB的垂直平分线，EA=EB，BCE的周长=BC+CE+BE=BC+CE+EA=BC+AC=13，故选：A【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等7如图，将ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到ADE若CAE=65，E=70，且ADBC，BAC的度数为（）A60B75C85D90【考点】旋转的性质【分析】根据旋转的性质知，旋转角EAC=BAD=65，对应角C=E=70，则在直角ABF中易求B=25，所以利用ABC的内角和是180来求BAC的度数即可【解答】解：根据旋转的性质知，EAC=BAD=65，C=E=70如图，设ADBC于点F则AFB=90，在RtABF中，B=90BAD=25，在ABC中，BAC=180BC=1802570=85，即BAC的度数为85故选C【点评】本题考查了旋转的性质解题的过程中，利用了三角形内角和定理和直角三角形的两个锐角互余的性质来求相关角的度数的8如图，在ABC中，AB=AC，BD平分ABC交AC于点D，AEBD交CB的延长线于点E，若E=35，则BAC的度数为（）A40B45C50D55【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质【分析】根据平行线的性质可得CBD的度数，根据角平分线的性质可得CBA的度数，根据等腰三角形的性质可得C的度数，根据三角形内角和定理可得BAC的度数【解答】解：AEBD，CBD=E=35，BD平分ABC，CBA=70，AB=AC，C=CBA=70，BAC=180702=40故选：A【点评】考查了平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理关键是得到C=CBA=709在平面中，下列说法正确的是（）A四个角相等的四边形是矩形B对角线垂直的四边形是菱形C对角线相等的四边形是矩形D四边相等的四边形是正方形【考点】多边形【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定定理，即可解答【解答】解：A四个角相等的四边形是矩形，正确； B对角线垂直的平行四边形是菱形，故错误；C对角线相等的平行四边形是矩形，故错误；D四边相等的四边形应是菱形，故错误；故选：A【点评】本题考查了矩形、菱形、正方形的判定，解决本题的关键是熟记矩形、菱形、正方形的判定定理10举反例说明“一个锐角的余角小于这个角”是假命题，下面错误的是（）A设一个角是45，它的余角是45，但45=45B设一个角是60，它的余角是30，但3060C设一个角是30，它的余角是60，但6030D设一个角是10，它的余角是80，但8010【考点】命题与定理【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而进行判断；举反例时，满足题设，不满足结论即可【解答】解：A、设一个角是45，它的余角是45，但45=45，能说明“一个锐角的余角小于这个角”是假命题，故正确；B、设一个角是60，它的余角是30，但3060，不能说明“一个锐角的余角小于这个角”是假命题，故错误；C、设一个角是30，它的余角是60，但6030，能说明“一个锐角的余角小于这个角”是假命题，故正确；D、设一个角是10，它的余角是80，但8010，能说明“一个锐角的余角小于这个角”是假命题，故正确；故选B【点评】此题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）11已知a+b=8，ab=15，则a2b+ab2=120【考点】因式分解-提公因式法【分析】直接提取公因式ab，进而分解因式得出答案【解答】解：a+b=8，ab=15，a2b+ab2=ab（a+b）=815=120故答案为：120【点评】此题主要考查了提取公因式法的应用，正确分解因式是解题关键12如图，把三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若1=30，则2=60【考点】平行线的性质【分析】根据平角等于180求出3，再根据两直线平行，同位角相等可得2=3【解答】解：1=30，3=1809030=60，直尺两边互相平行，2=3=60，故答案为：60【点评】本题考查了平行线的性质，平角的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键13如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，点E是BC边上的中点，AB=6，则OE=3【考点】平行四边形的性质；三角形中位线定理【分析】根据平行四边形的性质可得OA=OC，再由E为BC边中点可得EO是ABC的中位线，利用三角形中位线定理可得答案【解答】解：在ABCD中，OA=OC，点E是BC的中点，OE是三角形的中位线，OE=AB=6=3故答案为：3【点评】此题主要考查了平行四边形的性质和三角形中位线定理，关键是掌握平行四边形的对角线互相平分14一个多边形的每个外角都是45，则这个多边形的边数为8【考点】多边形内角与外角【分析】利用任何多边形的外角和是360，用360除以一个外角度数即可求出答案【解答】解：多边形的外角的个数是36045=8，所以多边形的边数是8故答案为：8【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，已知外角求边数的这种方法是需要熟记的内容15若分式方程=有增根，则增根为x=1【考点】分式方程的增根【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根【解答】解：两边乘x（x1）得到：（x1）（5xx4）=0，x=1，经检验：x=1是分式方程的增根，故答案为x=1【点评】本题考查了分式方程的增根，解分式方程注意必须检验，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，属于中考常考题型三、解答题（共5小题，满分50分）16（18分）（2016春崇州市期末）（1）分解因式：a21+b22ab（2）解方程： =+（3）先化简，再求值：（m1），其中m=【考点】分式的化简求值；因式分解-分组分解法；解分式方程【分析】（1）根据完全平方公式与平方差公式进行因式分解即可；（2）先把分式方程化为整式方程，求出x的值，再代入最简公分母进行检验即可；（3）先算括号里面的，再算除法，最后把m的值代入进行计算即可【解答】解：（1）原式=（ab）21=（ab1）（ab+1）；（2）方程的两边同时乘以x24得，（x2）2=（x+2）2+16，解得x=2，经检验x=2是原分式方程的增根，故原分式方程无解；（3）原式=，当m=时，原式=【点评】本题考查的是分式的化简求值，此类题型的特点是：利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值17如图，在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点的坐标分别是A（3，2），B（1，4），C（0，2） （1）将ABC以点C为旋转中心旋转180，画出旋转后对应的A1B1C；（2）平移ABC，若A的对应点A2的坐标为（5，2），画出平移后的A2B2C2；（3）若将A2B2C2绕某一点旋转可以得到A1B1C，请直接写出旋转中心的坐标【考点】作图-旋转变换；作图-平移变换【分析】（1）根据网格结构找出点A、B绕点C旋转180后的对应点A1、B1的位置，然后顺次连接即可；（2）根据网格结构找出点A、B、C平移后的位置，然后顺次连接即可；（3）根据旋转的性质，确定出旋转中心即可【解答】解：（1）A1B1C如图所示；（2）A2B2C2如图所示；（3）如图所示，旋转中心为（1，0）【点评】本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构以及旋转的性质，准确找出对应点的位置是解题的关键18如图ABC中，AC=BC，ACB=90，AD是BAC的角平分线，DMAB于点M（1）若CD=5，求AC的长（2）求证：AB=AC+CD【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形【分析】（1）由角平分线的性质可得到CD=DM，由等腰直角三角形可得BM=DM，在RtBDM中，由勾股定理可求得BD，可求得BC，则可求得AC；（2）由条件可证明ACDAMD，可得到AM=AC，结合（1）中CD=BM，可证得结论【解答】（1）解：ACB=90，DMAB，AD平分BAC，CD=DM=5，AC=BC，B=45，MDB=B=45，BM=DM=5，在RtBDM中，由勾股定理可得BD=5，BC=5+5，AC=5+5；（2）证明：在ACD和AMD中ACDAMD（AAS），AC=AM，又由（1）可知CD=MB，AB=AM+MB=AC+CD【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL19已知：如图，在ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连接AE，CF（1）求证：AF=CE；（2）若AC=EF，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质【分析】（1）可通过全等三角形来证明简单的线段相等ADF和CDE中，已知了AD=CD，ADF=CDE，AFBE，因此不难得出两三角形全等，进而可得出AF=CE（2）需先证明四边形AFCE是平行四边形，那么对角线相等的平行四边形是矩形【解答】（1）证明：在ADF和CDE中，AFBE，FAD=ECD又D是AC的中点，AD=CDADF=CDE，ADFCDEAF=CE（2）解：若AC=EF，则四边形AFCE是矩形证明：由（1）知：AF=CE，AFCE，四边形AFCE是平行四边形又AC=EF，平行四边形AFCE是矩形【点评】两条线段在不同的三角形中要证明相等时，通常是利用全等来进行证明20某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润不低于25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用【分析】（1）可设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2x件，根据第二批这种衬衫单价贵了10元，列出方程求解即可；（2）设每件衬衫的标价y元，求出利润表达式，然后列不等式解答【解答】解：（1）设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2x件，依题意有+10=，解得x=120，经检验，x=120是原方程的解，且符合题意答：该商家购进的第一批衬衫是120件（2）3x=3120=360，设每件衬衫的标价y元，依题意有（36050）y+500.8y（13200+28800）（1+25%），解得y150答：每件衬衫的标价至少是150元【点评】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，弄清题意并找出题中的数量关系并列出方程是解题的关键四、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）21关于x的方程=3的解是正数，则m的取值范围是m6且m4【考点】分式方程的解；解一元一次不等式【分析】先求得x的值，再根据解为正数，列出关于m的不等式，求解即可【解答】解：解方程=3，得x=m+6，关于x的方程=3的解是正数，m+60，m6，x20，x2，m+62，m4，m的取值范围是m6且m4；故答案为m6且m4【点评】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式组，求出方程的解是解题的关键22当x=1时，分式无意义，当x=4时，分式的值为零，则m+n=1【考点】分式的值为零的条件；分式有意义的条件【分析】由分式没有意义可以解得n，由分式的值为0，求出m，进而求出m+n【解答】解：x=1时无意义，1n=0，n=1；x=4时分式为0，即4+2m=0m=2m+n=1故答案为：1【点评】本题考查了分式的值为零的条件，分式有意义的条件若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0这两个条件缺一不可23已知（a2+b2）（a2+b22）=8，那么a2+b2=4【考点】换元法解一元二次方程【分析】设a2+b2=t（t0），则原方程转化为关于t的一元二次方程，通过解该方程得到t即a2+b2的值【解答】解：设a2+b2=t（t0），则t（t2）=8，整理，得（t4）（t+2）=0，解得t=4或t=2（舍去），则a2+b2=4故答案是：4【点评】本题考查了换元法解一元二次方程解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法24连结正方形四边中点所构成的正方形，我们称其原正方形的中点正方形，如图，已知正方形ABCD的中点正方形是A1B1C1D1，再作正方形A1B1C1D1的中点正方形A2B2C2D2，这样不断地作下去，第n次所做的中点正方形 AnBnCnDn，若正方形ABCD的边长为1，则第10次所作的中点正方形边长为，若设中点正方形 AnBnCnDn的面积为Sn，则S1+S2+S3+S10=【考点】规律型：图形的变化类【分析】根据勾股定理找出A1B1、A2B2、A3B3的长度，根据数据的变化找出变化规律“AnBn=”，依此规律结合正方形的面积公式即可得出结论【解答】解：观察，发现规律：AB=1，A1B1=AB=，A2B2=A1B1=，A3B3=A2B2=，AnBn=当n=10时，A10B10=S1+S2+S3+S10=+=故答案为：；【点评】本题考查了勾股定理、正方形的面积公式以及规律型中图形的变化类，解题的关键是找出变化规律“AnBn=”本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据勾股定理找出部分正方形的边长，根据边长的变化找出变化规律是解题的关键五、解答题（共4小题，满分34分）25如图，ADBC，ABBC于点B，AD=4，将CD绕点D逆时针旋转90至DE，连接AE、CE，若ADE的面积为6，则BC=7【考点】旋转的性质【分析】过D点作DFBC，垂足为F，过E点作EGAD，交AD的延长线与G点，由旋转的性质可知CDFEDG，从而有CF=EG，由ADE的面积可求EG，得出CF的长，由矩形的性质得BF=AD，根据BC=BF+CF求解【解答】解：过D点作DFBC，垂足为F，过E点作EGAD，交AD的延长线与G点，由旋转的性质可知CD=ED，EDG+CDG=CDG+FDC=90，EDG=FDC，又DFC=G=90，CDFEDG，CF=EG，SADE=ADEG=6，AD=4，EG=3，则CF=EG=3，依题意得四边形ABFD为矩形，BF=AD=4，BC=BF+CF=4+3=7，故答案为：7【点评】本题考查了旋转的性质的运用，直角梯形的性质的运用关键是通过DC、DE的旋转关系，作出旋转的三角形26有一道题：“先化简？（）（+1）再其求值”小王代入某个数后，求得值为1，你能确定小王代入的是哪一个值吗？你认为他代入的值合适吗？请说明理由【考点】分式的化简求值【分析】先算括号里面的，再算除法，再令代数式的值为1，求出m的值即可【解答】解：不合适理由：原式=，代入某个数后，求得值为1，=1，解得m=1，当m=1时，代数式无意义【点评】本题考查的是分式的化简求出，此类题型的特点是：利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值27（10分）（2014成都）如图，矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD边上一点，DE=AD（n为大于2的整数），连接BE，作BE的垂直平分线分别交AD，BC于点F，G，FG与BE的交点为O，连接BF和EG（1）试判断四边形BFEG的形状，并说明理由；（2）当AB=a（a为常数），n=3时，求FG的长；（3）记四边形BFEG的面积为S1，矩形ABCD的面积为S2，当=时，求n的值（直接写出结果，不必写出解答过程）【考点】四边形综合题【分析】（1）先求证EFOBGO，可得FO=GO，再根据对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，即可证明四边形BFEG为菱形；（2）根据菱形面积不同的计算公式（底乘高和对角线乘积的一半两种计算方式）可计算FG的长度；（3）根据菱形面积底乘高的计算方式可以求出BG长度，根据勾股定理可求出AF的长度，即可求出ED的长度，即可计算n的值【解答】解：（1）ADBC，EFO=BGO，FG为BE的垂直平分线，BO=OE；在EFO和BGO中，EFOBGO，FO=GOEO=BO，且BEFG四边形BGEF为菱形（2）当AB=a，n=3时，AD=2a，AE=， 根据勾股定理可以计算BE=，AF=AEEF=AEBF，在RtABF中AB2+AF2=BF2，计算可得AF=，EF=，菱形BGEF面积=BEFG=EFAB，计算可得FG=（3）设AB=x，则DE=，S1=BGAB，S2=BCAB当=时， =，可得BG=，在RtABF中AB2+AF2=BF2，计算可得AF=，AE=AF+FE=AF+BG=，DE=ADAE=，=，n=6【点评】牢记菱形的底乘高和对角线求面积的计算公式，熟练运用勾股定理才能解本题28（12分）（2016春崇州市期末）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中C=90，B=E=30（1）如图2，固定ABC，将DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，判断DE和AC的位置关系，并说明理由；设BDC的面积为S1，AEC的面积为S2，那么S1与S2的数量关系是S1=S2；（2）当DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了BDC和AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想（3）如图4，ABC=60，点D在其角平分线上，BD=CD=6，DEAB交BC于点E，若点F在射线BA上，并且SDCF=SBDE，请直接写出相应的BF的长【考点】三角形综合题【分析】（1）根据旋转的性质可得AC=CD，然后求出ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得ACD=60，然后根据内错角相等，两直线平行解答；根据等边三角形的性质可得AC=AD，再根据直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半求出AC=AB，然后求出AC=BD，再根据等边三角形的性质求出点C到AB的距离等于点D到AC的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答；（2）根据旋转的性质可得BC=CE，AC=CD，再求出ACN=DCM，然后利用“角角边”证明ACN和DCM全等，根据全等三角形对应边相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明；（3）过点D作DF1BE，求出四边形BEDF1是菱形，根据菱形的对边相等可得BE=DF1，然后根据等底等高的三角形的面积相等可知点F1为所求的点，过点D作DF2BD，求出F1DF2=60，从而得到DF1F2是等边三角形，然后求出DF1=DF2，再求出CDF1=CDF2，利用“边角边”证明CDF1和CDF2全等，根据全等三角形的面积相等可得点F2也是所求的点，然后在等腰BDE中求出BE的长，即可得解【解答】解：（1）DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，AC=CD，BAC=90B=9030=60，ACD是等边三角形，ACD=60，又CDE=BAC=60，ACD=CDE，DEAC；B=30，C=90，CD=AC=AB，BD=AD=AC，根据等边三角形的性质，ACD的边AC、AD上的高相等，BDC的面积和AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2=22=2；故答案为：S1=S2；（2）如图，DEC是由ABC绕点C旋转得到，BC=CE，AC=CD，ACN+BCN=90，DCM+BCN=18090=90，ACN=DCM，在ACN和DCM中，ACNDCM（AAS），AN=DM，BDC的面积和AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2；（3）如图，过点D作DF1BE，易求四边形BEDF1是菱形，所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，此时SDCF1=SBDE；过点D作DF2BD，ABC=60，F1DBE，F2F1D=ABC=60，BF1=DF1，F1BD=ABC=30，F2DB=90，F1DF2=ABC=60，DF1F2是等边三角形，DF1=DF2，BD=CD，ABC=60，点D是角平分线上一点，DBC=DCB=60=30，CDF1=180BCD=18030=150，CDF2=36015060=150，CDF1=CDF2，在CDF1和CDF2中，CDF1CDF2（SAS），点F2也是所求的点，ABC=60，点D是角平分线上一点，DEAB，DBC=BDE=ABD=60=30，又BD=4，BE=6cos30=3=2，BF1=2，BF2=BF1+F1F2=2+2=4，故BF的长为2或4【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，等边三角形的判定与性质，直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等底等高的三角形的面积相等，以及全等三角形的面积相等是解题的关键，（3）要注意符合条件的点F有两个