北京市海淀区2015-2016学年高一上期末数学试卷含答案解析.doc

2015-2016学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共8小题，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若集合A=x|1x2，B=x|x1，则AB=（）A（1，2）B1，2C1，1D1，2）2sin（）的值为（）A1B1C0D3若是第二象限的角，P（x，6）为其终边上的一点，且sin=，则x=（）A4B4C8D84化简=（）Acos20Bcos20Ccos20D|cos20|5已知A（1，2），B（3，7），=（x，1），则（）Ax=，且与方向相同Bx=，且与方向相同Cx=，且与方向相反Dx=，且与方向相反6已知函数：y=tanx，y=sin|x|，y=|sinx|，y=|cosx|，其中周期为，且在（0，）上单调递增的是（）ABCD7先把函数y=cosx的图象上所有点向右平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的函数图象的解析式为（）Ay=cos（2x+）By=cos（2x）Cy=cos（x+）Dy=cos（x）8若m是函数f（x）=2x+2的一个零点，且x1（0，m），x2（m，+），则f（x1），f（x2），f（m）的大小关系为（）Af（x1）f（m）f（x2）Bf（m）f（x2）f（x1）Cf（m）f（x1）f（x2）Df（x2）f（m）f（x1）二填空题：本大题共6小题，每空4分，共24分.把答案填写在题中横线上.9若y=log2x1，则x的取值范围是10若函数f（x）=x2+3x4在x1，3上的最大值和最小值分别为M，N，则M+N=11若向量=（2，1），=（1，2），且m+n=（5，5）（m，nR），则mn的值为12如图，在平面四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点，若（，R），则 +=13若函数f（x）=sin（x+）（其中0）在（0，）上单调递增，且f（）+f（）=0，f（0）=1，则=14已知函数y=f（x），若对于任意xR，f（2x）=2f（x）恒成立，则称函数y=f（x）具有性质P，（1）若函数f（x）具有性质P，且f（4）=8，则f（1）=；（2）若函数f（x）具有性质P，且在（1，2上的解析式为y=cosx，那么y=f（x）在（1，8上有且仅有个零点三解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15已知二次函数f（x）=x2+mx3的两个零点为1和n，（）求m，n的值；（）若f（3）=f（2a3），求a的值16已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，函数f（x）=2x1（）求当x0时，f（x）的解析式；（）若f（a）3，求a的取值范围17已知函数f（x）=2sin（2x）（）求函数f（x）的单调递增区间与对称轴方程；（）当x0，时，求函数f（x）的最大值与最小值18如果f（x）是定义在R上的函数，且对任意的xR，均有f（x）f（x），则称该函数是“X函数”（）分别判断下列函数：y=2x；y=x+1； y=x2+2x3是否为“X函数”？（直接写出结论）（）若函数f（x）=sinx+cosx+a是“X函数”，求实数a的取值范围；（）已知f（x）=是“X函数”，且在R上单调递增，求所有可能的集合A与B2015-2016学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若集合A=x|1x2，B=x|x1，则AB=（）A（1，2）B1，2C1，1D1，2）【考点】交集及其运算【专题】计算题；方程思想；综合法；集合【分析】利用交集定义求解【解答】解：集合A=x|1x2，B=x|x1，AB=x|1x2=1，2）故选：D【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用2sin（）的值为（）A1B1C0D【考点】运用诱导公式化简求值【专题】计算题；三角函数的求值【分析】根据正弦函数为奇函数，利用奇函数的性质化简原式，变形后利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果【解答】解：sin（）=sin=sin（4+）=sin=1，故选：B【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键3若是第二象限的角，P（x，6）为其终边上的一点，且sin=，则x=（）A4B4C8D8【考点】任意角的三角函数的定义【专题】方程思想；转化思想；三角函数的求值【分析】由题意与三角函数的定义可得： =，x0，解出即可得出【解答】解：是第二象限的角，P（x，6）为其终边上的一点，且sin=，=，x0，解得x=8故选：C【点评】本题考查了三角函数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4化简=（）Acos20Bcos20Ccos20D|cos20|【考点】同角三角函数基本关系的运用【专题】计算题；三角函数的求值【分析】被开方数第二项利用诱导公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系变形，利用二次根式的性质化简即可得到结果【解答】解：cos200，原式=|cos20|=cos20，故选：A【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键5已知A（1，2），B（3，7），=（x，1），则（）Ax=，且与方向相同Bx=，且与方向相同Cx=，且与方向相反Dx=，且与方向相反【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【专题】计算题；规律型；函数思想；平面向量及应用【分析】求出AB向量，利用斜率平行求出x，然后判断两个向量的方向即可【解答】解：A（1，2），B（3，7），可得=（2，5）=（x，1），可得5x=2，解得x=（，1），与方向相反故选：D【点评】本题考查斜率共线，向量的坐标运算，是基础题6已知函数：y=tanx，y=sin|x|，y=|sinx|，y=|cosx|，其中周期为，且在（0，）上单调递增的是（）ABCD【考点】三角函数的周期性及其求法【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的图像与性质【分析】利用三角函数的周期性，和三角函数的图象和性质对选项逐个分析即可【解答】解：函数y=tanx中=1，故周期T=；因为利用正切函数的图象可得在（0，）上单调递增，所以A正确；y=sin|x|为偶函数，根据图象判断它不是周期函数，所以B不正确；由于函数y=|sinx|周期为2=，利用正弦函数的图象可得在（0，）上单调递增，故正确；y=|cosx|是周期为的三角函数，利用余弦函数的图象可得在（0，）上单调递减，故不正确；故选：B【点评】本题考查三角函数的周期性及其求法，考查了三角函数的图象和性质，熟练掌握各类三角函数的周期情况及求法是解决问题的关键，属于中档题7先把函数y=cosx的图象上所有点向右平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的函数图象的解析式为（）Ay=cos（2x+）By=cos（2x）Cy=cos（x+）Dy=cos（x）【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的图像与性质【分析】利用导公式以及函数y=Asin（x+）的图象变换规律，可以求得变换后的函数的解析式【解答】解：将函数y=cosx的图象向右平移个单位长度，可得函数y=2cos（x）的图象；再将所得图象的所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得到的函数y=2cos（2x）的图象，故选：B【点评】本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（x+）的图象变换规律，属于中档题8若m是函数f（x）=2x+2的一个零点，且x1（0，m），x2（m，+），则f（x1），f（x2），f（m）的大小关系为（）Af（x1）f（m）f（x2）Bf（m）f（x2）f（x1）Cf（m）f（x1）f（x2）Df（x2）f（m）f（x1）【考点】函数零点的判定定理【专题】计算题；数形结合；数形结合法；函数的性质及应用【分析】由已知得m是函数g（x）=与h（x）=2x2图象的一个交点的横坐标，由此利用数形结合思想能比较f（x1），f（x2），f（m）的大小关系【解答】解：m是f（x）=2x+2的一个零点，m是方程的一个解，即m是方程的一个解，m是函数g（x）=与h（x）=2x2图象的一个交点的横坐标，如图所示，若x1（0，m），x2（m，+），则f（x2）=g（x2）h（x2）0=f（m），f（x1）=g（x1）h（x1）0=f（m），f（x2）f（m）f（x1）故选：D【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用二填空题：本大题共6小题，每空4分，共24分.把答案填写在题中横线上.9若y=log2x1，则x的取值范围是（2，+）【考点】指、对数不等式的解法【专题】计算题；函数思想；数学模型法；不等式的解法及应用【分析】直接利用对数函数的单调性求得x的取值范围【解答】解：由y=log2x1=log22，得x2x的取值范围是（2，+）故答案为：（2，+）【点评】本题考查对数不等式的解法，考查了对数函数的单调性，是基础题10若函数f（x）=x2+3x4在x1，3上的最大值和最小值分别为M，N，则M+N=8【考点】二次函数的性质【专题】函数思想；分析法；函数的性质及应用【分析】求出f（x）的对称轴，可得区间1，3为增区间，可得最值，即可得到M+m的值【解答】解：函数f（x）=x2+3x4的对称轴为x=，区间1，3在对称轴的右边，即有f（x）在区间1，3递增，可得最小值m=f（1）=6；最大M=f（3）=14，可得M+m=8故答案为：8【点评】本题考查二次函数的最值的求法，注意讨论对称轴和区间的关系，考查运算能力，属于基础题11若向量=（2，1），=（1，2），且m+n=（5，5）（m，nR），则mn的值为2【考点】平面向量的坐标运算【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用【分析】由已知得（2m，m）+（n，2n）=（2m+n，m2n）=（5，5），由此能求出mn的值【解答】解：向量=（2，1），=（1，2），且m+n=（5，5）（m，nR），（2m，m）+（n，2n）=（2m+n，m2n）=（5，5），解得m=1，n=3，mn=2故答案为：2【点评】本题考查代数式的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量的坐标运算法则的合理运用12如图，在平面四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点，若（，R），则 +=【考点】平面向量的基本定理及其意义【专题】平面向量及应用【分析】，可得由E为线段AO的中点，可得，再利用平面向量基本定理即可得出【解答】解：，E为线段AO的中点，2=，解得=，+=故答案为：【点评】本题考查了平面向量基本定理、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题13若函数f（x）=sin（x+）（其中0）在（0，）上单调递增，且f（）+f（）=0，f（0）=1，则=2【考点】y=Asin（x+）中参数的物理意义；三角函数的化简求值【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的图像与性质【分析】由题意可得：，+，由f（0）=1，解得=，3，由f（）+f（）=0，解得：cos（）=cos，即可解得的值【解答】解：由函数f（x）=sin（x+）（0）在区间（0，）上单调递增，可得：，+，f（0）=1，解得：sin=1，可得：=2k，kZ，=，3，由f（）+f（）=0，可得：sin（）+sin（）=0，解得：cos（）=cos，=，或=2，解得：=2或6（舍去）故答案为：2【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，由函数y=Asin（x+）的部分图象求解析式，属于中档题14已知函数y=f（x），若对于任意xR，f（2x）=2f（x）恒成立，则称函数y=f（x）具有性质P，（1）若函数f（x）具有性质P，且f（4）=8，则f（1）=2；（2）若函数f（x）具有性质P，且在（1，2上的解析式为y=cosx，那么y=f（x）在（1，8上有且仅有3个零点【考点】抽象函数及其应用【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用【分析】（1）根据性质P的条件，利用方程关系进行递推即可（2）根据性质P的条件，分别求出函数的解析式，利用函数零点的定义解方程即可【解答】解：（1）因为函数y=f（x），具有性质P，所以对于任意xR，f（2x）=2f（x）恒成立，所以f（4）=f（22）=2f（2）=2f（21）=4f（1）=8，所以f（1）=2（2）若函数y=f（x）具有性质P，且在（1，2上的解析式为y=cosx，由y=cosx=0，则x=，由f（2x）=2f（x）得f（x）=2f（），若2x4，则12，则f（x）=2f（）=2cos，则函数f（x）在（2，4上的解析式为y=2cos，由2cos=0，得x=，若4x8，则24，则f（x）=2f（）=4cos，在（4，8上的解析式为y=4cos，由y=4cos=0得x=2，所以y=f（x）在（1，8上有且仅有3个零点，分别是，2故y=f（x）在（1，8上有且仅有3个零点，故答案为：2，3【点评】本题主要考查抽象函数的应用，利用定义进行递推以及求出函数的解析式是解决本题的关键考查学生的运算和推理能力三解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15已知二次函数f（x）=x2+mx3的两个零点为1和n，（）求m，n的值；（）若f（3）=f（2a3），求a的值【考点】二次函数的性质；函数的零点与方程根的关系【专题】计算题；规律型；函数思想；方程思想；函数的性质及应用【分析】（）利用函数的零点与方程根的关系，列出方程求解即可得到m，n的值；（）通过f（3）=f（2a3），利用二次函数的对称性即可求a的值【解答】解：（）因为二次函数二次函数f（x）=x2+mx3的两个零点为1和n，所以，1和n是方程x2+mx3=0的两个根则1+n=m，1n=3，所以m=2，n=3（）因为函数f（x）=x22x3的对称轴为x=1若f（3）=f（2a3），则=1 或2a3=3得 a=1或a=3综上，a=1或a=3【点评】本题考查二次函数的性质的应用，考查计算能力16已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，函数f（x）=2x1（）求当x0时，f（x）的解析式；（）若f（a）3，求a的取值范围【考点】奇偶性与单调性的综合；函数解析式的求解及常用方法【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用【分析】（）当x0时，x0，利用条件，即可f（x）的解析式；（）若f（a）3，f（2）=3，根据f（x）在R上是单调递增函数求a的取值范围【解答】解：（）当x0时，x0，则f（x）=2x1因为f（x）是奇函数，所以f（x）=f（x）所以当x0时，f（x）=f（x）=2x+1（）因为f（a）3，f（2）=3，所以f（x）f（2）又因为f（x）在R上是单调递增函数，所以a2【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性，考查学生的计算能力，属于中档题17已知函数f（x）=2sin（2x）（）求函数f（x）的单调递增区间与对称轴方程；（）当x0，时，求函数f（x）的最大值与最小值【考点】三角函数的最值；正弦函数的奇偶性；正弦函数的对称性【专题】函数思想；综合法；三角函数的图像与性质【分析】（） 解2k2x2k+可得单调递增区间，解2x=2k+可得对称轴方程；（） 由x的范围可得2x，可得三角函数的最值【解答】解：（）f（x）=2sin（2x），由2k2x2k+可得kxk+，函数f（x）的单调递增区间为k，k+，kZ，由2x=2k+可得x=k+，kZ，f（x）的对称轴方程为x=k+，kZ；（）0x，2x，sin（2x）1，当2x=即x=0时，f（x）的最小值为1，当2x=即x=时，f（x）的最大值为2【点评】本题考查三角函数的最值，涉及三角函数的单调性和对称性，属基础题18如果f（x）是定义在R上的函数，且对任意的xR，均有f（x）f（x），则称该函数是“X函数”（）分别判断下列函数：y=2x；y=x+1； y=x2+2x3是否为“X函数”？（直接写出结论）（）若函数f（x）=sinx+cosx+a是“X函数”，求实数a的取值范围；（）已知f（x）=是“X函数”，且在R上单调递增，求所有可能的集合A与B【考点】函数单调性的判断与证明【专题】新定义；分类讨论；反证法；函数的性质及应用【分析】（）根据“X函数”的定义即可判断所给的3个函数是否为“X函数”；（）由题意，对任意xR，f（x）f（x），利用不等式求出a的取值范围；（）（1）根据题意，判断对任意的x0，x与x恰有一个属于A，另一个属于B；（2）用反证法说明（，0）B，（0，+）A；（3）用反证法说明0A，即得A、B【解答】解：（）、是“X函数”，不是“X函数”；（说明：判断正确一个或两个函数给1分）（）由题意，对任意的xR，f（x）f（x），即f（x）+f（x）0；因为f（x）=sinx+cosx+a，所以f（x）=sinx+cosx+a，故f（x）+f（x）=2cosx+2a；由题意，对任意的xR，2cosx+2a0，即acosx；又cosx1，1，所以实数a的取值范围为（，1）（1，+）；（）（1）对任意的x0，（i）若xA且xA，则xx，f（x）=f（x），这与y=f（x）在R上单调递增矛盾，（舍去），（ii）若xB且xB，则f（x）=x=f（x），这与y=f（x）是“X函数”矛盾，（舍去）；此时，由y=f（x）的定义域为R，故对任意的x0，x与x恰有一个属于A，另一个属于B；（2）假设存在x00，使得x0A，则由x0，故f（x0）f（）；（i）若A，则f（）=+1+1=f（x0），矛盾，（ii）若B，则f（）=0+1=f（x0），矛盾；综上，对任意的x0，xA，故xB，即（，0）B，则（0，+）A；（3）假设0B，则f（0）=f（0）=0，矛盾，故0A；故A=0，+），B=（，0；经检验A=0，+），B=（，0），符合题意【点评】本题考查了新定义的函数的应用问题，也考查了反证法与分类讨论思想的应用问题，是综合性题目第17页（共17页）