3.1.2导数的概念

第三章 导数及其应用,3.1.2 导数的概念,自由落体运动中，物体在不同时刻的 速度是不一样的。,平均速度不一定能反映物体在某一时刻 的运动情况。,物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。,解：设在3，3.1内的平均速度为v1，则,t1=3.1-3=0.1(s),s1=s(3.1)-s(3)= 0.5g 3.12-0.5g32 =0.305g(m),所以,同理,例1是计算了3，3+t当t=0.1,t=0.01,t=0.001时的平均速度。,上面是计算了t0时的情况,下面再来计算t0时的情况,解：设在2.9，3内的平均速度为v4，则,t1=3-2.9=0.1(s),s1=s(3)-s(2.9)= 0.5g32-0.5g2.92,=0.295g(m),所以,设在2.99，3内的平均速度为v5，则,设在2.999，3内的平均速度为v6，则,当t0时， 物体的速度趋近于一个确定的值3g,在 t=3s 这一时刻的瞬时速度等于 在 3s 到 (3+t)s 这段时间内的平均速度 当t0的极限，,设物体的运动方程是 s=s(t), 物体在时刻 t 的瞬时速度为 v ,一般结论,就是物体在 t 到 t+t 这段时间内, 当t0 时平均速度的极限 ，即,让我们再来看一个例子,P,相切,相交,再来一次,例、,P,再来一次,设曲线C是函数 y=f(x) 的图象， 在曲线C上取一点 P及P点邻近的任一点 Q(x0+x,y0+y) , 过P,Q两点作割线， 则直线PQ的斜率为,上面我们研究了切线的斜率问题,可以将以上的过程概括如下：,当直线PQ转动时，Q逐渐向P靠近， 也即x 变小,当x0时，PQ无限靠近PT,因此：,一般地， 函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是,上式称为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作： 或,即,注意：,1、函数应在点的附近有定义， 否则导数不存在。,2、在定义导数的极限式中，x趋近于0 可正、可负，但不为0，而y可能为0。,3、导数是一个局部概念，它只与函数在x0 及其附近的函数值有关，与x无关。,4、若极限 不存在，则称 函数在点x0处不可导。,物体的运动方程 s=s(t)在t0处的导数 即在t0处的瞬时速度vt0,函数y=f(x)在x0处的导数 即曲线在x0处的切线斜率,导数可以描述任何事物的瞬时变化率,瞬时变化率除了瞬时速度，切线的斜率,还有：点密度，国内生产总值(GDP)的增 长率，经济学上讲的一切边际量 等,例1、将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果第xh时，原油的温度(单位：)为f(x)=x2-7x+15 (0x 8).计算第2h和第6h时，原油温度的瞬进变化率，并说明它们的意义。,解：第2h和第6h时，原油温度的 瞬进变化率就是f (2)和f (6),根据导数定义：,所以，,同理可得 f (6)=5,f(x)=x2-7x+15,f (6)=5 说明在第6h附近，原油温度 大约以5 /h的速度上升；,说明在第2h附近，原油温度 大约以3 /h的速度下降；,所以 物体在时刻t0处的瞬时速度为v0-gt0.,由导数的定义可知,求函数y=f(x)在 点x0处的导数的方法是：,(2)求平均变化率,(3)取极限,得导数,(1)求函数的增量,练习2、质点按规律s(t)=at2+1做直线运动 (位移单位：m , 时间单位：s).若质点在 t=2时的瞬时速度为8m/s,求常数a的值。,a=2,由导数的定义可知,求函数y=f(x)在 点x0处的导数的方法是： (1)求函数的增量 (2)求平均变化率 (3)取极限,得导数,小 结:,函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率 的定义。,再见,