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算 法 案 例 -秦九韶算法,ks5u精品课件,ks5u精品课件,秦九韶（1208年1261年）南宋官员、数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。字道古，汉族，自称鲁郡（今山东曲阜）人，生于普州安岳（今属四川）。精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学，历任琼州知府、司农丞，后遭贬，卒于梅州任所，著作数书九章，其中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是具有世界意义的重要贡献。,在数学的发展史上，从公元前2、3世纪公元14世纪，中国的数学虽有过高潮，也有过低落，但一直走在世界的前列，是世界数学的中心。中国古代数学对世界数学发展有着不可磨灭的贡献。秦九韶算法就是中国古代数学的一枝奇葩。 今天这节课我们领略秦九韶算法的魅力。,（1）设计求多项式,当x=5时的值的算法，并写出程序。 （2）有没有更高效的算法？能否探求更好的算法，来解决任意多项式的求解问题？,T引导学生把多项式变形为：,思考：从内到外，如果把每一个括号都看成一个常数，那么变形后的式子中有哪些“一次式”？x的系数依次是什么？,（3）若将x的值代入变形后的式子中，那么求值的计算过程是怎样的？,将变形前x的系数乘以x的值，加上变形前的第2个系数，得到一个新的系数；将此系数继续乘以x的值，再加上变形前的第3个系数，又得到一个新的系数；继续对新系数做上面的变换，直到与变形前的最后一个系数相加，得到一个新的系数为止。这个系数即为所求多项式的值。这种算法即是“秦九韶算法”,（4）用秦九韶算法求多项式的值，与多项式组成有直接关系吗？用秦九韶算法计算上述多项式的值，需要多少次乘法运算和多少次加法运算？,数书九章秦九韶算法,对该多项式按下面的方式进行改写：,思考：当知道了x的值后该如何求多项式的值？,这是怎样的一种改写方式？最后的结果是什么？,要求多项式的值，应该先算最内层的一次多项式的值，即,然后，由内到外逐层计算一次多项式的值，即,最后的一项是什么？,这种将求一个n次多项式f(x)的值转化成求n个一次多项式的值的方法，称为秦九韶算法。,思考：在求多项式的值上，这是怎样的一个转化？,通过一次式的反复计算，逐步得出高次多项式的值，对于一个n次多项式，只需做n次乘法和n次加法即可。,秦九韶算法的特点：,算法步骤：,第一步：输入多项式次数n、最高次项的系数an和x的值.,第二步：将v的值初始化为an，将i的值初始化为n-1.,第三步：输入i次项的系数ai.,第四步：v=vx+ai,i=i-1.,第五步：判断i是否小于或等于0，若是，则返回第三步；否则，输出多项式的值v。,程序框图：,这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，因此可用循环结构来实现。,输入ai,（3）程序：,INPUT “n=”；n INPUT “an=“;a INPUT “x=“;x v=a i=n-1 WHILE i=0 PRINT “i=“;i INPUT “ai=“;a v=v*x+a i=i-1 WEND PRINT v END,小结： （1）算法具有通用的特点，可以解决一类问题； （2）解决同一类问题，可以有不同的算法， 但计算的效率是不同的，应选择高效的算法 （3）算法的种类虽多，但三种逻辑结构可以有效 的表达各种算法等。,
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