指数函数基础解答题(含答案).doc

3.1指数函数基础解答题一解答题（共30小题）1（2015春泰州期末）（1）求值：+log89log316；（2）已知a+a1=6，求a2+a2和+的值2（2015秋忻州校级期末）已知函数f（x）=（）|x|（1）作出函数f（x）的图象；（2）指出该函数的单调递增区间；（3）求函数f（x）的值域3（2015秋湖州校级期中）计算：（1）；（2）4（2015秋合肥校级期中）计算下列各题：5（2015秋咸阳校级月考）化简：（1）（a0，b0）；（2）（）+（0.002）10（2）1+（）06（2014春南昌县校级期末）已知函数f（x）=（）ax，a为常数，且函数的图象过点（1，2）（1）求a的值；（2）若g（x）=4x2，且g（x）=f（x），求满足条件的x的值7（2013秋潮州期末）函数f（x）=ax，（a0，a1）的图象经过点（2，4）（1）求a的值（2）求f（x）在0，1上的最大值与最小值8（2014秋景洪市校级期中）化简下列各式（1）； （2）； （3）（）2；（4）0.064（）0+（2）3+160.75+|0.01|9（2014春越城区校级期中）设f（x）=a3x+1a2x，（a0，a1）（）解关于a的不等式f（1）0；（）当a1时，求使f（x）0的x的取值范围10（2014秋新郑市校级期中）已知f（x）=，（a0且a1）（1）判断f（x）的奇偶性（2）讨论f（x）的单调性（3）当x1，1时，f（x）b恒成立，求b的取值范围11（2014春白下区校级月考）已知函数f（x）=，其中a0且a1（1）若f（f（2）=，求a的值；（2）若f（x）在R上单调递减，求a的取值范围12（2014秋柘荣县校级月考）已知函数f（x）=2x+k2x，kR（1）若函数f（x）为奇函数，求实数k的值；（2）若对任意的x0，+）都有f（x）0成立，求实数k的取值范围13（2014秋江西月考）已知函数f（x）=22x2x+1+1（1）求f（log218+2log6）；（2）若x1，2，求函数f（x）的值域14（2013秋北仑区校级期中）（1）求值：（2）求值：15（2013秋海安县校级期中）计算：（1）；（2）设，求x+x1及的值16（2013春缙云县校级期中）（1）27+16（）2（）（2）log8+3log32+（lg2）2+lg2lg5+lg5=（3）（0.8）0+（1.5）2（3）0.01+9=17（2013秋商丘期中）已知函数f（x）=2x+2ax+b，且f（1）=，f（2）=（1）求a、b；（2）判断f（x）的奇偶性；（3）试判断函数在（，0上的单调性，并证明18（2013秋周口校级期中）已知奇函数f（x）=2x+a2x，x（1，1）（1）求实数a的值；（2）判断f（x）在（1，1）上的单调性并进行证明；（3）若函数f（x）满足f（1m）+f（12m）0，求实数m的取值范围19（2013秋青原区校级期中）已知函数f（x）=ax+b的图象如图所示（1）求a与b的值；（2）求x2，4的最大值与最小值20（2013秋玉田县校级月考）已知函数（）求函数的定义域，并证明在定义域上是奇函数；（）对于x2，6恒成立，求实数m的取值范围21（2012山西模拟）已知集合A=x|x2或x7，集合，集合C=x|m+1x2m1（1）求AB；（2）若AC=A，求实数m的取值范围22（2012秋栖霞区校级期末）化简下列各式：（1）aaa； （2）（xy）6（3）（xy）2（xy）（4）（2a+3b）（2a3b） （5）（a22+a2）（a2a2）23（2012秋泸州期末）（）求值：；（）已知：2a=5b=10，求的值24（2012秋深圳期末）已知函数f（x）=2x+a2x+1，xR（1）若a=0，画出此时函数的图象；（不列表）（2）若a0，判断函数f（x）在定义域内的单调性，并加以证明25（2012秋黄州区校级期中）已知集合A=x|x2x0，xR，设函数f（x）=，xA的值域为B，求集合B26（2012秋冀州市校级月考）（1）化简（2）计算：+log2（3）若函数y=log2（ax2+2x+1）的值域为R，求a的范围27（2012秋蕉城区校级月考）（1）；（2）求值28（2011张家界模拟）已知，求下列各式的值：（1）a+a1；（2）a2+a2；（3）29（2011秋城厢区校级期中）计算下列各式（m0）：（1）； （2）（2210+20.25）593430（2011秋金堂县校级期中）已知函数，求其单调区间及值域3.1指数函数基础解答题参考答案与试题解析一解答题（共30小题）1（2015春泰州期末）（1）求值：+log89log316；（2）已知a+a1=6，求a2+a2和+的值【分析】根据指数幂和对数的运算性质计算即可【解答】解：（1）+log89log316=+1+=3+1+=4+=，（2）a+a1=6，（a+a1）2=36，展开得a2+a2+2=36，a2+a2=34；（+）2=a+a1+2=8，且a0，（+）=2【点评】本题考查了指数幂的运算性质，属于基础题2（2015秋忻州校级期末）已知函数f（x）=（）|x|（1）作出函数f（x）的图象；（2）指出该函数的单调递增区间；（3）求函数f（x）的值域【分析】画出图象，由图象可知答案【解答】解：（1）图象如图所示：（2）由图象可知，函数的单调递增区间为（，0），（3）由图象可知，函数的值域为（0，1【点评】本题考查函数图象的画法和识别，属于基础题3（2015秋湖州校级期中）计算：（1）；（2）【分析】（1）（2）利用指数的运算性质即可得出【解答】解：（1）原式=（5）+|4|=5+4=1（2）=【点评】本题考查了指数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4（2015秋合肥校级期中）计算下列各题：【分析】利用幂指数的运算性质，有理指数幂的性质直接化简即可得到答案利用对数的运算性质，以及lg2+lg5=1，化简表达式，即可求出的值【解答】解：原式=0.3+23+2223=0.3+0.25=0.55原式=所以的值为：0.55的值为：【点评】本题考查有理数指数幂的运算性质，对数的运算性质，考查计算能力，是基础题5（2015秋咸阳校级月考）化简：（1）（a0，b0）；（2）（）+（0.002）10（2）1+（）0【分析】（1）化根式为分数指数幂，然后利用有理指数幂的运算性质化简求值；（2）化负指数为正指数，化0指数幂为1，再由有理指数幂的运算性质得答案【解答】解：（1）=；（2）（）+（0.002）10（2）1+（）0=+1=10（+2）+1=+101020+1=【点评】本题考查有理指数幂的化简与求值，是基础的计算题6（2014春南昌县校级期末）已知函数f（x）=（）ax，a为常数，且函数的图象过点（1，2）（1）求a的值；（2）若g（x）=4x2，且g（x）=f（x），求满足条件的x的值【分析】（1）代入点的坐标，即得a的值；（2）根据条件得到关于x的方程，解之即可【解答】解：（1）由已知得（）a=2，解得a=1（2）由（1）知f（x）=（）x，又g（x）=f（x），则4x2=（）x，即（）x（）x2=0，即（）x2（）x2=0，令（）x=t，则t2t2=0，即（t2）（t+1）=0，又t0，故t=2，即（）x=2，解得x=1，满足条件的x的值为1【点评】本题考察函数解析式求解、指数型方程，属基础题，（2）中解方程时用换元思想来求解7（2013秋潮州期末）函数f（x）=ax，（a0，a1）的图象经过点（2，4）（1）求a的值（2）求f（x）在0，1上的最大值与最小值【分析】（1）根据函数过点（2，4），代入即可求a的值（2）根据函数的单调性即可求f（x）在0，1上的最大值与最小值【解答】解：（1）函数过点（2，4），f（2）=a2=4，解得a=2（2）f（x）=2x，为增函数，f（x）在0，1上也为增函数，当x=1时，函数有最大值f（1）=2，当x=0时，函数有最小值f（0）=1【点评】本题主要考查指数函数的图象和性质，利用函数过点，求出a是解决本题的关键，要求熟练掌握指数函数单调性与底数之间的关系，比较基础8（2014秋景洪市校级期中）化简下列各式（1）； （2）； （3）（）2；（4）0.064（）0+（2）3+160.75+|0.01|【分析】利用指数幂的运算法则即可得出【解答】解：（1）原式=2；（2）原式=10；（3）原式=（4）原式=1+24+0.1=1+=【点评】本题考查了根式与指数幂的运算法则，使用基础题9（2014春越城区校级期中）设f（x）=a3x+1a2x，（a0，a1）（）解关于a的不等式f（1）0；（）当a1时，求使f（x）0的x的取值范围【分析】（）由不等式f（1）0，得 a2a20，结合a0，且a1，求得a的取值范围；（）a1时，由f（x）0，得 a3x+1a2x，化为3x+12x，求出x的取值范围【解答】解：（）f（x）=a3x+1a2x，不等式f（1）0，即 a2a20，a2a2，即 a41；又a0，且a1，0a1；即不等式的解集是a|0a1；（）当a1时，由f（x）0，得a3x+1a2x，3x+12x，解得 x；满足条件的x的取值范围是（，+）【点评】本题考查了指数函数的单调性应用问题，解题时应用指数函数的单调性解不等式，体现了转化的数学思想，是基础题10（2014秋新郑市校级期中）已知f（x）=，（a0且a1）（1）判断f（x）的奇偶性（2）讨论f（x）的单调性（3）当x1，1时，f（x）b恒成立，求b的取值范围【分析】（1）由函数的解析式可求函数的定义域，先证奇偶性：代入可得f（x）=f（x），从而可得函数为奇函数；（2）再证单调性：利用定义任取x1x2，利用作差比较f（x1）f（x2）的正负，从而确当f（x1）与f（x2）的大小，进而判断函数的单调性；（3）对一切x1，1恒成立，转化为b小于等于f（x）的最小值，利用（2）的结论求其最小值，从而建立不等关系解之即可【解答】解：（1）f（x）=，所以f（x）定义域为R，又f（x）=（axax）=（axax）=f（x），所以函数f（x）为奇函数，（2）任取x1x2则f（x2）f（x1）=（ax2ax1）（1+a（x1+x2）x1x2，且a0且a1，1+a（x1+x2）0当a1时，a210，ax2ax10，则有f（x2）f（x1）0，当0a1时，a210，ax2ax10，则有f（x2）f（x1）0，所以f（x）为增函数；（3）当x1，1时，f（x）b恒成立，即b小于等于f（x）的最小值，由（2）知当x=1时，f（x）取得最小值，最小值为（）=1，b1求b的取值范围（，1【点评】本题考查了函数的奇偶性的判断，函数单调性的证明，抽象函数性质应用，关键是正确应用函数的基本性质解题11（2014春白下区校级月考）已知函数f（x）=，其中a0且a1（1）若f（f（2）=，求a的值；（2）若f（x）在R上单调递减，求a的取值范围【分析】（1）逐步代入，求得f（2）=2，得f（f（2）=f（2），计算即可（2）根据指数函数和一次函数的性质求出a相应的范围，注意若f（x）在R上单调递减，f（x）=（12a）x4a+4的最小值大于等于f（x）=ax的最大值，继而求出a的范围【解答】解：（1）由f（2）=2（12a）4a+4=20，则f（f（2）=f（2）=a2=，a0且a1a=（2）当x0时，f（x）=ax，根据指数函数的性质，f（x）是减函数则0a1，当x0时，f（x）=（12a）x4a+4，根据一次函数的性质，f（x）是减函数则12a0，解得a因为f（x）在R上单调递减4a+4a0解得，a综上所述a的取值范围（【点评】本题主要考查了分段函数的单调性和函数值的求法，f（x）=（12a）x4a+4的最小值大于等于f（x）=ax的最大值是本题的关键，属于基础题12（2014秋柘荣县校级月考）已知函数f（x）=2x+k2x，kR（1）若函数f（x）为奇函数，求实数k的值；（2）若对任意的x0，+）都有f（x）0成立，求实数k的取值范围【分析】（1）由函数f（x）为奇函数知f（0）=1+k=0；从而求k=1；（2）f（x）0可化为k（2x）2，而当x0，+）时，（2x）21，从而解得【解答】解：（1）函数f（x）为奇函数，f（0）=1+k=0；故k=1；经检验，f（x）=2x2x是奇函数；（2）f（x）0可化为k（2x）2，而当x0，+）时，（2x）21；故k1【点评】本题考查了函数的性质的应用，属于基础题13（2014秋江西月考）已知函数f（x）=22x2x+1+1（1）求f（log218+2log6）；（2）若x1，2，求函数f（x）的值域【分析】（1）f（log218+2log6）=f（1），再代入解析式即可得到答案（2）函数f（x）=22x2x+1+1令t=2x，换元转化为二次函数求解【解答】解：（1）log218+2log6=2log+12（log+1）=1，函数f（x）=22x2x+1+1f（log218+2log6）=f（1），（2）函数f（x）=22x2x+1+1令t=2x，则t，f（x）=t22t+1=（t1）2当t=1时f（x）min=0，当t=4时，f（x）max=9，所以函数f（x）的值域0，9【点评】本题综合考察了二次函数，对数函数，指数函数的性质14（2013秋北仑区校级期中）（1）求值：（2）求值：【分析】（1）把第二项真数上的8化为23，第三项中的真数上的20化为210，然后利用对数的运算性质化简求值；（2）化小数为分数，化负指数为正指数，化带分数为假分数，然后进行有理指数幂的化简运算【解答】解：（1）=2lg5+2lg2+lg5（1+lg2）+（lg2）2=2（lg5+lg2）+lg5+lg5lg2+（lg2）2=2+lg5+lg2（lg5+lg2）=3（2）=10=0【点评】本题考查了有理指数幂的化简求值，考查了对数式的运算性质，解答的关键是熟记有关公式，此题是基础题15（2013秋海安县校级期中）计算：（1）；（2）设，求x+x1及的值【分析】（1）直接利用有理指数幂的运算法则求解即可（2）对已知式平方，整理即可得到x+x1，对x+x1平方即可求解的值【解答】解：（1）=.（7分）（2）因为，所以，所以x+x1=7，则x2xx1+x1=72=5，所以，所以.（14分）【点评】本题考查有理指数幂的运算，配方法的应用，考查计算能力16（2013春缙云县校级期中）（1）27+16（）2（）（2）log8+3log32+（lg2）2+lg2lg5+lg5=（3）（0.8）0+（1.5）2（3）0.01+9=【分析】分别利用指数幂与根式的互化以及对数的运算性质解答【解答】解：（1）原式=9+4=3；（2）原式=10+3+2+lg2（lg2+lg5）+lg5=10+3+2+（lg2+lg5）=16；（3）原式=1+10+3=1+10+3=5；【点评】本题考查了有理数的运算；关键是细心运算，注意符号属于基础题17（2013秋商丘期中）已知函数f（x）=2x+2ax+b，且f（1）=，f（2）=（1）求a、b；（2）判断f（x）的奇偶性；（3）试判断函数在（，0上的单调性，并证明【分析】（1）已知条件代入得到关于a，b的方程组，两式相除可得a，把a代入其中一式可得b；（2）首先判断函数的定义域是否关于原点对称，然后判断f（x）与f（x）的关系；（3）利用的单调性定义来证明：设元，作差，变形，判号，下结论【解答】解：（1）由已知得：，解得（2）由（1）知：f（x）=2x+2x任取xR，则f（x）=2x+2（x）=f（x），所以f（x）为偶函数（3）函数f（x）在（，0上为减函数证明：设x1、x2（，0，且x1x2，则f（x1）f（x2）=（）（）=（）+（）=x1x20，01，0，0，10，f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2），函数f（x）在（，0上为减函数【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，函数的奇偶性、单调性等，注意单调性证明变形要彻底，奇偶性的证明首先判断函数的定义域是否关开原点对称18（2013秋周口校级期中）已知奇函数f（x）=2x+a2x，x（1，1）（1）求实数a的值；（2）判断f（x）在（1，1）上的单调性并进行证明；（3）若函数f（x）满足f（1m）+f（12m）0，求实数m的取值范围【分析】（1）利用f（0）=0即可求得a的值（2）利用增函数的定义即可证明（3）利用奇函数的定义将f（1m）+f（12m）0可化为f（1m）f（12m）=f（2m1），再由（2）单调性可得11m2m11，解出即可【解答】解：（1）函数f（x）是定义在（1，1）上的奇函数，f（0）=0，1+a=0，a=1（2）证明：由（1）可知，f（x）=任取1x1x21，则所以，f（x）在（1，1）上单调递增（3）f（x）为奇函数，f（x）=f（x）由已知f（x）在（1，1）上是奇函数，f（1m）+f（12m）0可化为f（1m）f（12m）=f（2m1），又由（2）知f（x）在（1，1）上单调递增，【点评】本题综合考查了函数的奇偶性和单调性，深刻理解其定义和性质是解决问题的关键19（2013秋青原区校级期中）已知函数f（x）=ax+b的图象如图所示（1）求a与b的值；（2）求x2，4的最大值与最小值【分析】（1）由已知可得点（2，0），（0，2）在函数f（x）=ax+b的图象上，代入结合底数大于0不等于1，可得a与b的值；（2）由（1）可得函数的解析式，进而分析出函数的单调性，可得x2，4的最大值与最小值【解答】解：（1）由已知可得点（2，0），（0，2）在函数f（x）=ax+b的图象上，解得；又不符合题意舍去，；（2）由（1）知，在其定义域R上是增函数，在R上是增函数，x2，4时也是增函数，当x=2时f（x）取得最小值，且最小值为f（2）=0，当x=4时f（x）取得最大值，且最大值为f（4）=6【点评】本题考查的知识点是待定系数法求函数的解析式，指数函数的单调性，难度不大，属于基础题20（2013秋玉田县校级月考）已知函数（）求函数的定义域，并证明在定义域上是奇函数；（）对于x2，6恒成立，求实数m的取值范围【分析】（1）根据对数函数的真数一定要大于0可求其定义域，将x代入函数f（x）可知f（x）=f（x），故为奇函数（2）f（x）是以e1为底数的对数函数，根据单调性可得，即0m（x+1）（7x）在x2，6成立，进而可求m的范围【解答】解：（）由，解得x1或x1，函数的定义域为（，1）（1，+）当x（，1）（1，+）时，在定义域上是奇函数（）由x2，6时，恒成立，0m（x+1）（7x）在x2，6成立令g（x）=（x+1）（7x）=（x3）2+16，x2，6，由二次函数的性质可知x2，3时函数单调递增，x3，6时函数单调递减，x2，6时，g（x）min=g（6）=70m7【点评】本题主要考查对数函数的基本性质，即真数大于0、当底数大于1时单调递增，当底数大于0小于1时单调递减21（2012山西模拟）已知集合A=x|x2或x7，集合，集合C=x|m+1x2m1（1）求AB；（2）若AC=A，求实数m的取值范围【分析】（1）由题意可得，A=x|x2或x7，B=x|4x3可求（2）由AC=A，可得CA，分类讨论：当C=时，当C时，结合数轴可求【解答】解：（1）由题意可得，A=x|x2或x7，集合=x|4x3AB=x|4x3 （4分）（2）AC=A，CA当C=时，有2m1m+1m2 （6分）当C时，有或m6综上可得m2或m6 （10分）【点评】本题主要考查了指数不等式的求解，集合的交集的求解及集合的包含关系的应用，解（2）时不要漏掉考虑C=的情况22（2012秋栖霞区校级期末）化简下列各式：（1）aaa； （2）（xy）6（3）（xy）2（xy）（4）（2a+3b）（2a3b） （5）（a22+a2）（a2a2）【分析】根据根式和分数指数幂的关系即可得到结论【解答】解：（1）aaa=（2）（xy）6=x3y2，（3）（xy）2（xy）=x3y2（xy）=，（4）（2a+3b）（2a3b）=（2a）2（3b）2=4a9（5）（a22+a2）（a2a2）=【点评】本题主要考查分数指数幂的计算，根据相应的运算法则是解决本题的关键23（2012秋泸州期末）（）求值：；（）已知：2a=5b=10，求的值【分析】（）利用分数指数幂的运算法则求值；（）利用对数的运算法则求值【解答】解：（）=（）由2a=5b=10，得a=log210，b=log510，所以=1【点评】本题主要考查了分数指数幂的运算以及对数与指数幂的转换，利用对数的换底公式是解决本题的关键24（2012秋深圳期末）已知函数f（x）=2x+a2x+1，xR（1）若a=0，画出此时函数的图象；（不列表）（2）若a0，判断函数f（x）在定义域内的单调性，并加以证明【分析】（1）通过a=0，化简函数的表达式，直接画出此时函数的图象；（不列表）（2）利用a0，判断函数f（x）在定义域内的单调增函数，利用函数的单调性的定义直接证明即可【解答】解：（1）函数f（x）=2x+a2x+1，xRa=0时，函数化为：f（x）=2x+1，函数图象如图：（2）当a0时，函数f（x）在定义域内的是增函数，证明如下：任取x1，x2R，且x1x2，f（x1）f（x2）=（）=y=2x是增函数，a0，f（x1）f（x2）0，f（x1）f（x2），函数f（x）在定义域内的是增函数【点评】本题考查函数的单调性的判断，函数的图象的画法，考查计算能力与作图能力25（2012秋黄州区校级期中）已知集合A=x|x2x0，xR，设函数f（x）=，xA的值域为B，求集合B【分析】先把集合A解出来，再求函数f（x）=的值域【解答】解：A=x|x2x0，xR=0，1，（3分）因为：x22x+3=（x1）2+2，x22x+32，3，2，B=4，8（12分）【点评】本题主要考查指数函数的性质，集合的关系，属于基础题26（2012秋冀州市校级月考）（1）化简（2）计算：+log2（3）若函数y=log2（ax2+2x+1）的值域为R，求a的范围【分析】（1）根据根式与分数指数幂进行化简即可；（2）根据二次根式的性质以及对数的运算进行化简即可；（3）根据题意，讨论a的取值范围，求出满足条件的a的取值范围即可【解答】解：（1）原式=24=16； （2）log252，log2520；原式=+log251=（log252）log25=2； （3）函数y=log2（ax2+2x+1）的值域为R，ax2+2x+1取遍大于0的实数，当a=0时，2x+10，x，满足题意；当a0时，二次函数图象开口向下，不满足题意；当a0时，=224a0，解得a1，0a1；综上，a的取值范围是0，1【点评】本题考查了根式与分数指数幂的运算法则的应用问题，也考查了对数的运算性质的应用问题，二次函数的性质与应用问题，是综合题27（2012秋蕉城区校级月考）（1）；（2）求值【分析】（1）首先把含有0次方的变为1，然后变根式为分数指数幂（或分母有理化），最后变分数指数幂为根式；（2）运用对数的和为积的对数进行运算【解答】解：（1）=2（2）=【点评】本题考查了有理指数幂的化简求值及对数的运算性质，考查了学生的灵活应变能力，解答的关键对有关性质的熟练记忆，属基础题28（2011张家界模拟）已知，求下列各式的值：（1）a+a1；（2）a2+a2；（3）【分析】根据，我们平方后易求出（1）a+a1的值，再将（1）的结论平方后，我们易得（2）a2+a2的值，（3）中根据平方差公式，易结合（1）得到（3）的值【解答】解：（1）=a+a1+2=9a+a1=7，（2），由（1）答案，（a+a1）2=a2+a2+2=49故a2+a2=47，（3）【点评】本题考查的知识点有理数指数幂的化简求值，分析要求的式子的形式及已知的式子的形式，选取合适的公式是解答的关键29（2011秋城厢区校级期中）计算下列各式（m0）：（1）； （2）（2210+20.25）5934【分析】（1）直接利用指数的运算法则，求解表达式的值（2）利用对数的运算法则以及换底公式求出表达式的值即可【解答】解：（1）=（2）（2210+20.25）5934=log225log59log34=8log25log53log32=8【点评】本题考查有理指数幂的化简求值，对数的运算法则，考查计算能力，是基础题30（2011秋金堂县校级期中）已知函数，求其单调区间及值域【分析】要求复合函数的单调递增（减）区间的即求内函数的单调递减区间，根据二次函数的性质，求出内函数的单调递减（增）区间和值域后，即可得到答案【解答】解：设t（x）=x2+2x+5=（x+1）2+44则t（x）的单调递减区间为（，1，递增区间为1，+）函数y=为减函数，故函数的单调递增区间为（，1，递减区间为1，+）值域为（0，【点评】本题考查的知识点是复合函数的单调性，函数的值域，指数函数的性质及二次函数的性质，其中根据复合函数单调性“同增异减”的法则，将问题转化为求二次函数的单调递减区间问题是解答本题的关键第26页（共26页）