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CNASGL08电器领域不确定度的评估指南中国合格评定国家认可委员会二六年六月CNAS-GL08：2006 第 123 页 共 119 页电器领域不确定度的评估指南1 概 论1.1 研究不确定度的意义长期以来，误差和误差分析一直是计量学领域的一个重要组成部分。由于测量实验方法和实验设备的不完善，周围环境的影响，以及受人们认识能力所限等，测量和实验所得数据和被测量真值之间，不可避免地存在着差异，即误差。目前，人们普遍认为，即使对完全已知或猜测的误差因素进行补偿、修正后，所得结果依然只能是被测量的一个估计值，即对如何用测量结果更好地表示被测量的值仍有怀疑。这时，不确定度概念作为测量史上的一个新生事物出现了。只有伴随不确定度的定量陈述，测量结果才可以说是完整的。不确定度，顾名思义即测量结果的不能肯定程度，反过来也即表明该结果的可信赖程度。它是测量结果质量的指标。不确定度愈小，所述结果与被测量真值越接近，质量越高，水平越高，其使用价值也越高；不确定度越大，测量结果的质量越低，水平越低，其使用价值也越低。在报告物理量的测量结果时，必须给出相应的不确定度，一方面便于使用它的人评定其可靠性，另一方面也增强了测量结果之间的可比性。测量不确定度必须正确评定。不确定度如果评定过大，会使用户认为现有的测量水平不能满足需要而去购买更加昂贵的仪器，导致不必要的投资，造成浪费，或对检定实验室的服务工作产生干扰；不确定度评定过小，会因要求过于严格对产品质量、生产加工造成危害，使企业蒙受经济损失。鉴于不确定度的重要性，寻求一种便于使用、易于掌握且普遍认可的计算和表示不确定度的方法具有很大意义。正如国际单位制（SI）的普遍应用使所有的科学与技术测量趋于一致那样，不确定度计算和表达在全世界范围内的一致，也将使得科学、工程、商业、工业和管理方面的测量结果的重要性易于理解和说明。也只有这样，才便于对不同国家所作的测量进行比较。在当今全球市场一体化的时代，这项研究是必然的也是必须的。不确定度在本质上是由于测量技术水平、人类认识能力所限造成的。同时它也是判定基准标准精度、检测水平高低以及测量质量的一个重要依据。在ISO/IEC导则25“校准实验室与测试实验室能力的通用要求”中指明，校准实验室的每份证书或报告必须包含有关校准或测试结果不确定度的说明。随着不确定度理论的推广与深入研究，现在，它不仅已成为计量科学领域的一个重要分支，在其它领域如质量管理和质量保证中，也得到了重视和应用。ISO9001中对测量结果的不确定度均有明确要求。1.2 不确定度研究的国际动态1927年，海森堡提出了量子力学中的不确定关系，又称测不准关系，1970年前后，一些计量学和其它领域学者，逐渐使用不确定度一词，但含义不清。1978年A.S.Hornby等所编词典（The Advanced Learners Dictionary English-English-Chinese）指出：不确定度(Uncertainty)为变化、不可靠、不确知、不确定。鉴于国际间理解和表示不确定度的不一致，1978年5月，国际计量局(BIPM)发出了不确定度征求意见书。1980年国际计量局在讨论了各国及国际专业组织意见后，提出了实验不确定度建议书INC-1（1980）实验不确定度表示。1986年国际计量委员会（CIPM）第75届会议决定推广INC-1，提出了建议书1(CI-1986)：在CIPM赞助进行的工作中不确定度的表示。同年，由国际标准化组织ISO，国际电工委员会(IEC)，国际计量委员会(CIPM)，国际法制计量组织(OIML)组成了国际不确定度工作组，负责制定在标准化、检定、实验室认可及计量服务中使用的测量不确定度指南。 国际不确定度工作组经多年研究、讨论，征求各国及国际专业组织意见，反复修改，1993年制定了测量不确定度表示指南(简称指南GUM)。指南得到了BIPM、OIML、ISO、IEC及国际理论与应用化学联合会(IUPAC)，国际理论与应用物理联合会(IUPAP)，国际临床化学联合会(IFCC)的批准，由ISO出版成为国际组织的重要权威文献。 GUM自1993年出版以来，在世界范围内得到了广泛的应用和发行。美国标准与技术研究院(NIST)于1993年制定了基于GUM的NIST评定与表示测量结果不确定度准则，所有NIST报告均以它为依据。欧洲实验室认证合作体(EAL)，加拿大国家研究委员会(NEC)，北美测量标准协作体(NORAMET)，北美校准合作体(NACC)，英国国家实验室认可委会员(NAMAS)都已采用GUM。我国有关部门及人士对此也极为重视，中国计量科学院于1996年11月制定了测量不确定度规范。1999年1月国家质量技术监督局发布了国家计量技术规范JJF 10591999测量不确定度评定与表示。GUM的颁布与实施，使不确定度的评定与表示在世界范围内有了统一标准，从而推动不确定度的研究和应用进入一个新阶段。1.3 应用范围GUM指南文件建立了评定和表示不确定度的规则。它可用于各种准确度等级的测量，并可用于从基础研究到商业活动的各种场合。本指南应用于电器检测不确定度评定。2 基本概念2.1 不确定度的定义及说明测量不确定度的定义为：与测量结果相联系参数，表征合理地赋予被测量量值的分散性。由于测试技术的不完善，人类认识能力所限，被测量的“真值”是不可知的，在实际工作中能得到的仅是“合理赋予被测量的值”，且不止一个，可以是多个。这些值的分散性就是不确定度。它表示出测量结果的范围，被测量的真值以一定的概率落于其中。对不确定度的定义有以下几点补充说明：（1）众所周知，对同一被测量进行多次重复测量，由于误差因素的影响，各个测得值一般皆不相同。它们围绕着测量列的算术平均值有一定的分散，此分散说明了测量列中单次测得值的不可靠。误差理论中提出用标准差来表征这种不可靠性。算术平均值n 测量次数标准差越小，分散度就小；反之，分散度就越大。在不确定度应用中，我们依然采用标准差作为表征分散性的参数，也可以是标准差的给定倍数k，(k 必须说明)，或是具备某置信水平的区间的半宽度。例如：多个值中95%落于区间内，则具有置信水准p=95%，区间半宽度为，表征分散性的参数也即为。（2）测量不确定度一般包括许多分量。有些分量可由系列测量结果的统计分布评定，并用实验标准差表征。另外一些分量是根据经验或其它信息，通过假定的概率分布计算出来，也可用标准差表征。不确定度的这两类分量除了它们的评定方法不同外，并无计量学上的本质区别。两种计算方法实际上也都是基于概率分布的（前者确切已知，后者通过假设确定）。用任何一种方法得到的不确定度分量均可用标准差定量。（3）不确定度是测量结果的一个参数，这里的测量结果应是被测量值的最佳估计。通常对一被测量进行多次重复测量，在剔除具有明显粗大误差的量值后，取测量列的算术平均值()作为最终测量结果。如果有确切已知的系统误差，还应对算术平均值再进行补偿修正，才能作为被测量值的最佳估计。（4）全部不确定度分量，应包含由系统效应产生的分量，如修正值本身的不确定度和参考标准具有的不确定度都会影响结果的分散性。（5）不确定度恒为正值。2.2 不确定度的基本术语2.2.1标准不确定度(Standard uncertainty) 以标准差表征的测量结果不确定度。2.2.2(不确定度的)A类评定(Type A evaluation of uncertainty) 用对观测列进行统计分析的方法来评定标准不确定度。2.2.3（不确定度的）B类评定（Type B evoluation of unertainty） 用不同于对观测列进行统计分析的方法来评定不确定度。2.2.4合成标准不确定度（Combined standard uncertainty） 测量结果由其它量值得来时，按其它量的方差或协方差算出的标准不确定度。记为，也可简记为。2.2.5扩展不确定度（Expanded uncertainty）用于确定测量结果区间的量。合理赋予被测量的值分布的大部分可望落于该区间。扩展不确定度有时也称为展伸不确定度、范围不确定度。 由于合理赋予被测量的值不只一个，而是多个。具有一定分散性，对测量结果y而言，若其扩展不确定度为U，则被测量的值将以一定概率包含于区间中。2.2.6包含因子（Coverage factor） 为获得扩展不确定度；对合成标准不确定度所乘的数字因子，记为k。包含因子有时也称为覆盖因子。2.2.7置信概率（Level of confidence） 扩展不确定度确定的测量结果区间包含合理赋予被测量值分布的概率，记为p，有时也称为置信水准、置信水平。2.2.8自由度（Degrees of freedom）在方差计算中，和的项数减去对和的限制条件数，记为。自由度反映相应实验标准差的可靠程度，自由度越大，可靠程度越高。2.2.9相对不确定度（Relative uncertaitny）不确定度除以测量结果的绝对值， (设y0)。测量结果的不确定度有时可以用相对不确定度表示。2.3 两组概念的辨析2.3.1 误差与不确定度误差与不确定度是计量学中两个相互关联又相互区别的概念。人们提出这两个概念的目的都是为了寻求如何以实验和测量所得结果来更恰当、更准确地体现被测量的真实情况。误差为测得值与被测量真值之差。即误差=测得值-真值。不确定度是被测量值可能出现的范围。2.3.1.1. 二者的联系误差与不确定度都是由相同因素造成的：随机效应和系统效应。随机效应是由于未预料到的变化或影响量的随时间和空间变化所致。它引起了被测量重复观测值的变化。这种效应的影响不能借助修正进行补偿，但可通过增加观测次数而减小。其期望值为零。系统效应是由固定不变的或按确定规律变化的因素造成的。但由于人类认识的不足，也不能确切知道其数值，因此也无法完全清除，但通常可以减小。系统效应产生的影响有些是可以识别的，有些是未知的，如果已知影响能定量给出，而且其大小对测量所要求的准确度而言有意义的话，则可采用估计的修正值或修正因子对结果加以修正。由于随机效应和系统效应的存在，使得被测量的真值无法确知，每个测量结果也都具有一定的不可靠性，导致误差和不确定度的产生。2.3.1.2. 二者区别a. 误差是相对被测量真值而言的，它是测量结果与真值之差，由于真值的不可知性，实际上误差也只能是个理想概念，不可能得到它的准确值。不确定度以测量结果本身为研究对象，其含义不是“与真值之差”或“误差限”、“极限误差”，而是表示由于随机影响和系统影响的存在而对测量结果不能肯定的程度，表征被测量值可能出现的范围。它是以测量结果为中心，以标准差或其倍数，或某置信区间半宽度确定的被测量的取值范围。确保真值以一定概率落于其中。因而，它是测量结果的一个量化属性。b. 误差和不确定度的分类方法截然不同。 误差根据其性质可分为两类：随机误差和系统误差。随机误差：测量结果与重复性条件下对同一量进行无限多次测量所得结果的平均值之差。随机误差大抵是由于随机影响造成的。注意，观察列的平均值的实验标准差并不是平均值的随机误差，而恰恰是随机影响引起的平均值的不确定度，这些效应产生的平均值的随机误差不可能准确知道。系统误差：在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量真值之差。系统误差是由已知系统影响和未知系统影响产生的，通过对已知系统影响的修正可以减小，但不可能为零。同时，修正值或修正因子的不完善，也会导致测量结果的不确定度，但不是由于系统影响补偿不理想而产生的误差。不确定度按照分量的评定方法分为A类B类，但并非“随机”和“系统”的代用词。用A类或B类评定方法均可得到已知系统影响修正值的不确定度，随机影响的不确定度计算也是如此。两种评定方法均基于概率分布，得到的分量在本质上不存在差异。实际应用中，无须将它们与随机或系统对应起来。c. 误差取一个符号，非正即负。不确定度恒为正值。当由方差得出时，取其正平方根。图1 被测量值、误差及不确定度关系d. 不确定度是由随机影响和对系统影响结果的不完善修正产生的。在计算测量结果的不确定度时，不会考虑到未被认识的系统影响，但这种影响会导致误差的出现。因此，即使计算出来的不确定度很小，仍不能保证测量结果的误差很小。或者说，测量结果的不确定度未必是测量结果接近被测量值的指示值，它仅为与目前可用的知识相符的最佳值接近程度的近似性估计。不确定度不能用于测量结果和真值之间的差异显示，但可用于测量结果之间的比较。不确定度越小，则测量结果质量越高。在测量中若没有忽略任何明显的系统影响时，才能认为测量结果即为被测值的可靠估计值，其合成标准不确定度即为可能误差的可靠量度。被测量值、误差及不确定度关系如图1所示。2.3.2 准确度与不确定度测量准确度（Accuracy of measurement）表示测量结果与被测量真值之间的一致程度。由于真值的不可知，它也只能是个定性概念而绝不能把它定量地表达为一个量值。但可以说准确度高或低。 不确定度则是被测量值分散性的一个量度，它不仅包括系统影响也包括随机影响，以一个定量的数据确定了被测量的取值范围，即所有量值可能出现的范围。它是以测量结果为中心，而并非是相对真值而言。因此是个可以量化的属性。对于测量仪器来说，要表达其准确度，只能用等别或级别，如准确度为0.1级，准确度为3等。而决不能有诸如准确度为10mA，相对准确度为210-5等类表达方式。2.4 测量值的基本分布 在同一条件下，对某量进行多次重复测量，由于测量不确定度的影响，所得各个结果之间具有分散性，且呈现一定的分布规律，常见有以下几种：2.4.1 正态分布测量值x服从期望标准差的正态分布，记为 正态分布，如图2所示，其测量值具有以下特点：（1）单峰性：距近的值比距远的值出现的概率大；（2）对称性：比大某量的测量值出现的机会等于比小同一量的测量值出现的机会；（3）有界性：在一定的测量条件下，很大或很小的测量值不会出现。（4）抵偿性：各测量值的平均值随测量次数增大而趋于期望。设正态分布，其概率密度函数f(x)为：图2 正态分布 f(x)具有以下性质：（1）曲线关于对称；（2）当时取到最大值。欲使落于区间的置信概率为，即可通过查正态分布密度函数数值表得出对应一定的值，常见如下表： 表2-1 常见正态分布密度函数表PKpK0.50.67450.954520.682710.992.5760.91.6450.997330.951.96正态分布中以为被测量的数学期望，一般以测量列的算术平均值估计。对被测量进行一系列等精度测量，由于存在偶然效应，其测得值皆不相同，应以全部测得值的算术平均值作为最后测量结果。如图3所示，越大被测量值越大(如第3条曲线)；反之，则越小。(如第1条曲线=0)。测量列中的各个不同测得值围绕着算术平均值有一定的发散，此分散度说明了测量列中单次测得值不可靠性，正态分布中的即是这种不可靠性的评定标准，称为标准差。的数值小，该测量列相应小的误差就占有优势，任一单次测得值对算术平均值的分散度就小，测量的可靠性就大，即测量精度高；(如第1条曲线)；反之，测量精度就低。(如第2条曲线)图3 正态分布比较 正态分布是测量中的基本分布。理论研究表明，若测量值受到大量的、独立的、大小可比的多个效应的影响，则该测量值服从正态分布。2.4.2 均匀分布 在测量实践中，均匀分布是经常遇到的一种分布，其主要特点是：测量值在某一范围中各处出现的机会一样，即均匀一致。故又称为矩形分布或等概率分布，如图4所示。测量值服从均匀分布，其中-为出现的下界，为出现的上界，其概率分布密度函数： 记为若测量值服从均匀分布,则其期望E为区间的中点，而其标准差为图4 均匀分布 遵从均匀分布或假设为均匀分布的测量值为：(1) 数据切尾引起的舍入误差；例如：测量结果要求保留到小数点后3位，将实测或算出的数据第4位按四舍五入原则舍去，则存在舍入误差0.0005；(2) 电子计算器的量化误差数字或仪器在1单位以内不能分辨的误差；(3) 摩擦引起的误差；(4) 仪表度盘刻度误差或仪器传动机构的空程误差；(5) 平衡指示器调零不准引起的误差，此项误差和仪器的调节精度人员操作有关；(6) 数字示值的分辨率；显示装置的分辨率指显示装置能有效辨别的最小示值差，一般即为最小显示单位，设为，则其标准差：(7) 人员瞄准误差； 用人眼进行瞄准时的精度与人眼的分辨本领指标线的形状和对准方式有关。当用两条实线重合时准瞄准精度为60250mm(明视距离)；用两条实线线端对准，瞄准精度为(1020)250mm；用一虚线压一实线或轮廓边缘瞄准精度为(2030)250mm；用双线对移跨单位线，瞄准精度为5250mm。以上数据均是直接由人眼观测时的数据。(8) 人员读数误差； 有因为视差引起的读数误差或读取非整数刻度值时，由于估读不准引起的误差，一般为最小分度的。2.4.3 梯形分布测量值的出现机会在中间各处一样，在两边直线下降，在边缘为零则称其服从梯形分布，如图5所示，概率密度函数为： 图5 梯形分布 若测量值服从梯形分布，则其期望 标准差 两独立均匀分布，服从梯形分布。2.4.4 三角分布若测量值出现和机会在中点最大，随即自中点向两边直线下降，在边缘处为0，则称其服从三角分布，如图6所示。两独立均匀分布，图6 三角分布则服从三角分布。在实际测量中若整个测量过程必须进行两次才能完成，而每次测量均服从相同的均匀分布，则总的结果服从三角分布，其概率密度函数为： 其标准差、期望为： 服从三角分布的情况有： 两独立同均匀分布之和或差； 由数值舍入或分辨率影响的两测量值之和或差； 用替代法检定标准元件时两次调零不准的影响。2.4.5 反正弦分布均匀分布变量的正弦或余弦函数服从反正弦分布。测量值服从上反正弦的分布，如图7所示，其概率密度函数为： 图7 反正弦分布其期望与标准差为： 服从反正弦分布的情况有：(1) 度盘偏心引起的测角误差；(2) 正弦噪声引起的误差；(3) 无线电失配引起的误差。3 不确定度的评定3.1 不确定度来源 从影响测量结果的因素考虑，测量结果的不确定度一般来源于：被测对象、测量设备、测量环境、测量人员和测量方法。3.1.1被测对象a 被测量的定义不完善 被测量即受到测量的特定量，深刻全面理解被测量定义是正确测量的前提。如果定义本身不明确或不完善，则按照这样的定义所得出的测量值必然和真实之间存在一定偏差。b 实现被测量定义的方法不完善 被测量本身明确定义，但由于技术的困难或其它原因，在实际测量中，对被测量定义的实现存在一定误差或采用与定义近似的方法去测量。例如：器具的输入功率是器具在额定电压，正常负载和正常工作温度下工作时的功率。但在实际测量中，电压是由稳压源提供的，由于稳压源自身的精度影响，使得器具的工作电压不可能精确为额定值，故测量结果中应考虑此项不确定因素。故只有对被测量的定义和特点，仔细研究、深刻理解，才能尽可能减小采用近似测量方法所带来的误差或将其控制在一个确定范围内。c 测量样本不能完全代表定义的被测量 被测量对象的某些特征如：表面光洁度，形状、温度膨胀系数、导电性、磁性、老化、表面粗糙度、重量等在测量中有特定要求，但所抽取样本未能完全满足这些要求，自身具有缺陷，则测量结果具有一定的不确定度。d 被测量不稳定误差 被测量的某些相关特征受环境或时间因素影响，在整个测量过程中保持动态变化，导致结果的不确定度。3.1.2 测量设备 计量标准器、测量仪器和附件以及它们所处的状态引入的误差。计量标准器和测量仪器校准不确定度，或测量仪器的最大允差或测量器具的准确度等级均是测量不确定度评定必须考虑的因素。3.1.3 测量环境a 在一定变化范围或不完善的环境条件下测量 温度 振动噪声 供给电源的变化 温度 空气组成、污染 热辐射 大气压 空气流动b 对影响测量结果的环境条件认识不足 由于对相关环境条件认识不足，致使测量中或分析中忽视了对某些环境条件的设定和调整，造成不确定度。3.1.4 测量人员a 模拟式仪器的人员读数误差即估读误差，读取带指针仪表或带标线仪器的示值，即读取非整数刻度值时，由于估读不准而引起的误差。b 人员瞄准误差 采用显微镜或等光学仪器通过使视场中的两个几何图形重合来对线进行测量，对线准确度与操作者经验和对线形状有关。c 人员操作误差 如测量时间的控制、测点的布置。该项取决于人员的经验、能力、知识及工作态度、身体素质等。3.1.5 测量方法a 测量原理误差 测量方法本身就存在一定的原理误差，对被测量定义实现不完善。例如在产品的电气强度试验中，由于耐压试验台自身内阻影响，使得加于样品两端的电压低于实际设定值。这样必然造成试验结果存在一定的不确定度。b 测量过程 测量顺序 应严格按照测量规范规定的进行。遗漏或颠倒某一操作过程都有可能造成测量结果的误差，甚至使测量失去意义。 测量次数 一般来说测量次数不同，测量精度也不同，增加测量次数，可以提高测量精度。但n10以后，已减少得非常缓慢。此外，由于测量次数愈大，也愈难保证测量条件的恒定，从而带来新的误差，因此一般情况下取n=10以内较为适应。 测量所需时间 有的测量规定必须在一定条件下，一定时间内完成超出则结果不准确。如器具潮态试验后的泄漏电流测试必须在5s内完成。 测量点数 操作规范规定测量若干点，但实际检测中，为节省时间或出于其它考虑减少或增加了测量点数，也对最终结果有影响。如在噪声测试中。 瞄准方式 测量方法不同，采用的测量仪器不同，对应的瞄准方式也不同，如采取目测或用光学瞄准，其瞄准精度必然不同。 方向性 测量结果须在一定稳态下获得，实验中以不同方向趋于稳态，对于有些测量设备，如具有滞后或磁滞性的仪器读数是不同的。c 数据处理 测量标准和标准物质的赋值不准 标准器具本身不可避免存在着制造偏差，它是由更高一级的标准来检定的，这些高一级的标准本身也存在着误差。 物理常数或从外部资料得到的数据不准 外部资料中提供的数据很多，是由以前的测量为基础或单纯凭经验得出的，不可避免地存在着误差。 算法及算法实现 采用不同的算法处理数据，如计算标准差，分别运用白塞尔法和极差法，所得结果必然不同。 有效位数 数据有效位数不同，精度不同，应根据测量要求或所采用的测量设备而定。 舍入 由于数字运算位数有限，数值舍入或截尾造成不确定度。 修正 有些系统误差是可以修正的，但由于对误差因素本身的认识不充分，修正值也必然存在着不确定度。 工业企业的计量部门在工业生产中起着质量把关的作用。因此必须正确评定测量结果的不确定度，既不能过大，也不能过小，以保证产品质量，又不会造成误判。首先应充分考虑测量设备、测量人员、测量环境、测量方法等方面众多来源带来的不确定度分量，作到不遗漏、不重复、不增加。并正确评定其数值，其中设备来源不确定度可经过量值溯源，由上一级计量基标准的不确定度取得；也可利用所得到的检定校准证书，测试证书或有关规范所给的数据；方法不确定度经过研究和评定，其不确定度影响可能很小。 评定不确定度的原则和框架，不能代替人的思维、理智和专业技巧。它取决于对测量和被测量的本质的深入了解和认识。因此，测量结果的不确定度评定的质量和实用性，主要取决于对不确定度影响量的认识程度和细致而中肯的分析。3.2 测量模型及不确定度的传播律3.2.1 测量模型许多情况下，被测量并非直接测得，而是由其它N个已知量，通过函数关系来确定，即：为简便起见，同一符号既表示物理量（被测量），又代表该量可能的观测结果（随机变量）。 例1：导线直径为，电阻率为，匝数为N的线圈，其电阻值为：线圈平均匝长注：测量过程的数学模型与测量程序有关。例2：电阻法测温升是利用金属导体的电阻随温度变化的特性，通过测量温度变化前后导体的电阻值，根据经验公式计算出导体的温升值。R2试验结束时绕组电阻；R1试验开始时绕组电阻；t2 试验结束时冷却空气温度；t1 试验开始时绕组温度。 说明：（1） 决定输出量Y的输入量本身可视为被测量，也可与其它的量，如修正因子有关，因而导致一个不能写出显式的复杂函数关系。另外，也能通过试验确定，或采取经验公式进行计算。（2） 一组输入量可有以下两种：其值和不确定度可在现行的测量过程中直接测得，例如：可根据单次观测、重复观测或经验调整得到，其中包括测量仪器读数的修正值及环境温度、大气压和湿度等影响量的修正值。其值和不确定度是由外部原因带入测量过程的量，如检定计量标准、标准物质、物理常数等。（3） 设的估计值为，输出量Y的估计值为y，则：注：（1） 每个输入估计值如对y有较大系统影响，应作适当修正。（2） 在计算测量结果的不确定度时，这里的测量结果应是被测量Y的最佳估计值。通常是进行一系列的重复观测，得到，Y的最佳估计值：也就是说y被看作是Y的n次独立观测值的算术平均值，如果有修正量，还必须将其加入，才能作为最终观测结果。注：在处理测量列之前，首先要将其中所有异常值加以剔除，可依据国家标准GB4883-85进行判断和处理。3.2.2 不确定度的传播律每个输入估计值的估计标准偏差，称为标准不确定度，用表示，通过A类方法或B类方法求出。估计值y的估计标准偏差称为合成标准不确定度，用表示。它是由各输入值的标准不确定度按不确定度传播律得出的。（1） 非相关输入量当输入量相互独立时，则不确定度传播公式为： 1式中是方程的偏导数，常被称为传播系数或灵敏度系数，记作。1式又可以写作： 2式中 例3：对例1来说，、N相互独立，则其传播系数及合成标准不确定度为：有时根据测量因的变化导致的变化，来确定灵敏度系数，取代了根据函数进行计算的方法。通常用于难以用函数关系描述的情况。（2） 相关输入量如果输入量或估计值相关，则测量结果的合成方差为：称相关系数，表征和的相关程度，。 有关相关的概念、相关系数的判定和计算、相关的避开等问题，我们将在以后章节中详细讨论。3.3 标准不确定度的A类评定3.3.1 基本方法对一系列观测值进行统计分析以计算标准不确定度的方法称A类评定。由于随机效应的存在，对同一量进行多次重复测量，所得结果都不相同。它们围绕着该测量列的算术平均值有一定的分散，此分散度说明了测量列中单次测得值的不可靠性。一般用按贝塞尔公式计算出的实验标准偏差来表征，也就是A类评定不确定度。3.3.1.1 贝塞尔法设：对某一量进行了n次独立重复测量，得测量列。该测量列的算术平均值为：由贝塞尔公式可得：称作残差即为单次测量值的A类标准不确定度。通常情况下，我们取算术平均值作为最终测量结果，必须给出算术平均值A类不确定度。注：（1） 多次测量必须在重复测量条件下进行。重复性条件指：a 相同的测量程序；b 相同的测量人员；c 在相同条件下使用相同的测量设备；d 相同的地点；e 短时间内重复测量，所谓短时间，一般理解为其它条件能充分保证的时间。（2） 从理论上说，测量次数越多，通过它们所得出的实验标准偏差越可靠。但当测量次数越大，重复性条件就越难以保证，测量所用的时间也就越长。因此，必须根据测量的精度要求，测量的水平，测量的实际用途选取适当的测量次数。一般情况下，取10次以内较为适宜。（3） 以算术平均值作为测量结果时，通常为未修正的结果，如有修正值或修正因子，应对其进行适当修正才能作为最终测量结果。但是否修正，与其分散性无关。3.3.1.2 A类评定的其它方法除了贝塞尔公式外，计算实验标准差的方法还有：最大残差法、极差法、最大误差法、彼得斯法等。（1） 最大残差法若，则测量列算术平均值 残差 单次标准差 系数是与测量次数n有关的一个参数，可由下表查出。 表3-1 最大残差法系数N234567891015201.771.020.830.740.680.640.610.590.570.510.48最大残差法简单、迅速、容易掌握，当n10时，最大残差法具有一定精度。（2） 极差法若，极差 单次标准差 系数是与测量次数n有关的一个参数，可由下表查出。 表3-2 极差法系数n234567891015201.131.692.062.332.532.702.852.973.083.473.73极差法具有一定的精度，一般在n10时，均可采用。（3） 最大误差法若，的值可近似知道（约定真值或实际值），这时能够算出随机误差，取其中绝对值最大的一个值，即最大误差。单次标准差 系数是与测量次数n有关的一个参数，可由下表查出。 表3-3 最大误差法系数n1234567891015201.250.880.750.680.640.610.580.560.550.530.490.46此法适用于约定真值可知的情况。（4） 彼得斯法若，则单次标准差 这种方法特别适合于测量次数较大的情况。由以上几种方法求得后，有平均值标准差：3.3.2 最小二乘法最小二乘原理是一数学原理，它给出了数据处理的一条法则在最小二乘意义下所获得的最佳结果（或最可信赖值）应使残余误差的平方和最小。作为数据处理手段，最小二乘法在诸如实验曲线拟合，组合测量的数据处理等方面，已获得了广泛的应用，也同样适用于标准差、不确定度的计算。3.3.3.1 最小二乘法原理为确定t个未知量（被测量）的估计量，分别测量个直接测量的量，得测量数据，而其估计量为，且有如下关系：则测量数据的残余误差为：最小二乘条件即：最小在等精度测量中，上式可简化为：最小Y与X的函数关系f可能是线性的，也可能是非线性的，测量的实际问题中，大量是属于线性的，且非线性参数借助于级数展开的方法也可以近似转化成线性形式。所以，下面讨论线性参数的最小二乘法处理。线性参数的误差方程为：设向量 则误差方程可表述为：最小二乘条件即为：最小然后利用求极值的方法将上式转化为正规方程：测量数据的标准差为：被测数据的标准差为：其中 对t=2，求直线的最小二乘法对t=3，求二次函数的最小二乘法3.3.2.2 举例例4：实验中得下列一组数据xi= 5， 10， 15， 20， 25yi=2.5073，2.5055，2.5049，2.5042，2.5035采用最小二乘法拟合成直线，试确定k，c值，并求出时值。解：列出误差方程：令为两个待估计参数，则误差方程可写为： 为计算方便，将数据列表如下：12345510152025251002254006252.50732.50552.50492.50422.503512.536525.055037.573550.084062.587575137512.5254187.8365根据误差方程，列出正规方程：将表中数值代入正规方程得：计算1）的标准差将值代入上式，可得残余误差为：2）估计量的不确定度 先求不定乘数正规方程为：解得 3.4 标准不确定度的B类评定3.4.1 B类评定的基本思路 测量工作中，有时无法取得观测列并作统计分析，如由于时间或资源不足不能进行或不需进行重复测量的情况下，不确定度就无法由A类评定得到，而只能采取非统计方法即B类评定方法。 B类评定需要根据有关信息，进行科学判断估计而作出，这些信息可来自：(1) 以前的测量数据；(2) 对有关材料及仪器的特点、性能的经验或一般知识；(3) 生产部门提供的制造说明书或技术文件；(4) 检定证书、校准证书提供的数据，包括目前暂在使用的极限误差等；(5) 取自手册的赋予参考数据的不确定度。 这类信息往往也是通过统计方法得到的，只不过给出的信息不全，不能直接用以作为测量不确定度的一个分量。它们往往只是给出了一个极大值与极小值，或提供了结果的一个概率区间，但未给出其分布及自由度的大小。根据现有信息，对这一分量进行评定，包括计算近似的相应方差或标准不确定度以及相应的自由度，这就是不确定的B类评定。3.4.2 B类评定的方法(1) 如输入估计值取自制造说明书，检定或校准证书手册或其它来源并说其不确定度为标准差的倍，则的标准不确定度可以认为等于引用值除以该倍数。例5：校准证书上指出标称值为1kg的法码的质量为m=1000.00032g，该值的不确定度按三倍标准差为0.24mg,则该标准法码的标准不确定度为：（2） 如的扩展不确定度不是按标准差的k倍给出，而是给出了置信概率p为0.9，0.95，0.99的置信区间的半宽，除非另有说明，一般按正态分布考虑评定其标准不确定度，对应于上述三种置信概率的包含因子分别为1.64，1.96和2.58。例6：检定证书上给出某千分尺的示值误差总不确定度为1.3um，（p =0.99）则其标准不确定度为：（3） 若输入量的值以50%的概率落于区间，则的最佳估计值为该区间中点，该范围的半宽用表示，且假设近似正态分布，则的标准不确定度为：例7：某电器产品的额定功率估计在56w和64w之间，概率为50%，额定功率的最佳值为P=（56+64）/2=60w，区间半宽=（64-56）/2=4w，假设P值为正态分布，则标准不确定度为：（4） 若输入量的值以2/3的概率落于区间，则的最佳估计值为该区间中点，该范围的半宽用表示，且假设近似正态分布，则的标准不确定度为：（5） 若输入量的值以概率1落于区间，即全部落于其中而不在区间外出现，如果对在该范围内的可能值无具体了解，则只能假设在该区间内各处出现的机会均等，即服从均匀分布。该范围的半宽用表示，则的标准不确定度为：(6) B类也可按其它分布考虑，当落在区间内，则其标准不确定度k的取值根据的实际分布来确定：当受到两独立同均匀分布影响，则服从三角分布，当受到均匀分布的正余弦函数影响，则服从反正弦分布，当在某两点取值概率各为50%，即服从两点分布，（7） 在输入量可能值的下界和上界相对于其最佳估计值并不对称的情况下，这时不处在区间的中心，在缺乏准确判定其分布状态的信息时，按均匀分布处理，近似评定为：例8：设手册中给出的铜膨胀系数-1并说“最小可能值为-1，最大可能值为-1”，可见，最佳值并不处于区间中心，则标准不确定度为：-1在标准不确定度的B类评定中，正确使用提供的有效信息，要求具有一定经验和对有关知识的透彻了解，这种技巧通过实验可以逐步掌握。3.5 确定合成标准不确定度3.5.1 相关的概念在由各分量标准不确定度得到合成标准不确定度时，须考虑这些分量之间的相关性。通过实践，人们认识到变量之间有两种类型的关系：（1） 函数关系即确定性关系。在数学分析和物理学中大多数公式属于这种类型。如牛顿定律中力与加速度之间，有如下关系：其中 F 力 m 质量 a 加速度一般地，若式中一个或几个变量已知，其它的就可借函数关系式精确算出。（2） 相关关系 在实际问题中，绝大多数情况下，变量之间的关系并不那么简单。它们之间既存在密切联系，又不能由一个或几个变量（自变量）的数值精确求出另一个变量（因变量）的数值，而要通过试验或调查研究才能确定，我们称这类变量之间的关系为相关关系。如材料性能和其表面锈蚀之间，零件的加工误差和零件直径之间，就属于此类关系。在两个随机变量之间，当它们变化时，如果存在某种相依的关系（非函数关系），这时，这两个量就是相关的或非独立的。相关系数正是两个变量之间相互依赖程度的量度。当0,我们说两分量正相关，即一分量增大时，另一分量取值平均增大；当0，我们说两分量负相关，即一分量增大时，另一分量取值平均减少；当=0，则两分量无关，即一分量增大时，另一分量取值可能增大，也可能减小，它们的取值彼此没有关系。3.5.2 相关系数的确定 在测量工作中，相关系数的求法主要有：(1) 判断法 由测量人员根据测量条件分析，判断分量的相关程度，经常判断为下述两种情况：(1.1) =0(1.1.1) 两分量相互独立或不可能相互影响；(1.1.2) 一分量增大时，另一分量可正可负；一分量减小时，另一分量可正可负；(1.1.3) 不同体系产生的分量，如人员引起的分量和环境引起的分量。(1.1.4) 两分量虽相互影响，但确认其影响甚微，为简化取=0；(1.1.5) 仅知在-1，1上对称分布，则平均而言，可认为=0；(1.2) =1(1.2.1) 两分量间有正线性关系；(1.2.2) 一分量增大时，另一分量亦增大；一分量减小时，另一分量亦减小；(1.2.3) 同一体系中产生的分量； 如用一米基准尺测两米尺，按每米各测一次相加得两米尺长，则该基准尺误差引起两个一米的分量间=1。(1.2.4) 两分量间有近似正线性关系，为简化取=1；(1.2.5) 已知相关，为可靠起见，取=1。(2) 观察法 通过实验求出一分量取，对应另一分量取，这样得到多对（，）将它们在平面上作图，与标准图形比较，即可观察出相关系数。如图8所示： 图8 示意图观察法(3) 计算法作多组成对测量，得（，）多对，则（4） 数点计算法将分量成对测量值画于图上，作平行于纵轴的直线A，将点左右均分，作平行于横轴的直线B，将点上下均分，尽量使A，B线上无点，若右上、左上、右下、左下点数为，则例10：测量某量用两种方法，得两组数，其对应值为（，）如图9所示：图9 数点计算法 (5)推算法如欲求标准差分别为两分量的相关系数，可预先进行专门试验，让两因素都变，算出变化后引起量值的标准差，则：例11：对某量测量标准差=18，测量时振动引起=6，其余因素引起=15,于是振动和其余因素影响相关系数为：（6） 单个量等精度多次重复测量时，单次测量值与平均值之间：（7） 最小二乘法中若误差方程为AX=L-V，权为P，平差后，X两分量间注：相关指的是输入量之间的关系，应根据其估计值的相关性辨别任意两个输入量的相关性，即使本身无关，计算合成标准不确定度时也应考虑估计值之间的相关性。如果在输入量测量中使用同一台测量仪器，同一个实物测量标准或具有显著不确定度的同一个参考数据，则两个输入量之间存在显著相关性。例12：用检定证书上注明标准不确定度为100m的1000标准电阻Rs检定额定电阻为1000的10个电阻Ri，用可忽略电阻的导线将电阻串联，以得到额定10k的参考电阻Ref。这时每个电阻之间的相关系数，合成标准不确定度为：3.5.3 相关系数的避开 在实际工作中，有时可通过选取无关的误差来源或将各相关量事先合成一个量，以避开相关系数的计算。(1) 尽可能选取无关来源，分别计算各来源产生的不确定度；(2) 将相关量合成一个量，若，其中相关，但它们与无关，则当的组合=()与的函数，视为测量值，y按, 分量考虑，则无关。3.5.4 合成标准不确定度测量结果y由测得量按过程模型算出：根据A类评定B类评定，得到的标准不确定度，它对y的影响的分量标准不确定度是灵敏度系数，表示变化单位量时，引起y变化的绝对值。则测量结果的合成标准不确定度为：当各分量相互独立时，上式简化为：合成标准不确定度除以测量结果，称为相对标准不确定度。注：当随机效应或系统效应导致的不确定度分量既可以按统计方法算得，又可以按其它方法评定时，只允许在中包含其中一个。如果重复计入，会导致错误评定。3.5.5 应用举例 用千分尺对圆柱体的体积进行测量，通过对其直径d、高度h的测量，按公式，体积计算。千分尺间隔为10。读数估计到半格即5，在重复条件下得到的测量结果各6次如下：i123456Di1.00751.00851.00951.00601.00851.0080Hi1.01051.01151.01151.01101.01001.0115平均值： 单次测量的标准偏差：体积V的最佳估计值为：在这一测量中主要的不确定度分量有：(1) 的不确定度，(2) 的不确定度，(3) 所用千分尺示值的不确定度，(4) 读数的不确定度。先计算出各分量的传递系数：各分量不确定度计算如下：(1) (2) (3) 千分尺示值的不确定度规定为4(0100mm范围内)，按均匀分布，其标准不确定度分量：(4) 读数的不确定度可估计为标尺间隔的四分之一，即0.25个分度，2.5。其标准不确定度按均匀分布估计为： 合成标准不确定度3.6 确定扩展不确定度3.6.1自由度3.6.1.1 自由度的意义 在计量学中的自由度定义为测量次数减被测量的个数，再加上所引用的约束条件的个数。设测量进行了n次，被测量有m个，约束条件有t个，则自由度为v=n-m+t。为求不确定度时所用总和中的项数与总和的限制条件数之差。自由度v是指不确定度u的自由度，通过v可以了解不确定度评定的质量，同时它也是计算扩展不确定度的依据。在数理统计中，当标准差用s估计时，若方差为, s 的标准差为,则s的自由度为：因 取，则 故不确定度u的自由度： 称相对标准差。 v与相对标准差成反比，相对标准差越大，自由度愈小；相对标准差愈小，自由度越大。3.6.1.2 自由度的确定(1) A类评定自由度 对某一被测量进行了n次独立重复测量，由各种A类评定方法得出的标准不确定度的自由度如下：(1.1) 贝塞尔公式：v=n-1(1.2) 最大残差法极差法、极差法、最大误差法、彼得斯法，按算得，如下表所示： 表3-4 标准不确定度的自由度n123456789101520v最大残差法0.90.91.82.73.64.45.05.66.26.89.311.5极差法0.91.82.73.64.55.36.06.87.510.513.1最大误差法1.92.63.33.94.65.25.86.46.98.39.5彼得斯法0.91.82.73.64.55.46.27.18.012.416.7(1.3) 最小二乘法v=n- t （t为未知量个数）(2) B类评定自由度对于B类评定得出的标准不确定度来说，其自由度是由该分量之值的可靠程度来判断的，它是一个主观量，是实验人员凭借测量过程的经验和认识求出的。B类评定的自由度根据下式得出：式中为的估计相对不确定度，相对不确定度不能精确算出，只能根据经验估计其值，即，然后代入计算。所以这是一个主观量。上述关系可由下表给出：vv0.100.20.250.305012860.50无法估计0（u确切已知）21(3) 合成标准不确定度的自由度合成标准不确定度的自由度为有效自由度,记为。按下式给出，称为Welch-Satterthwaite公式。，在间接测量中灵敏度系数合成相对标准不确定度的自由度为：实际计算中，若不是整数，可用内插法求得或截取较小整数。3.6.2 分布分布
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