初中数学乘法公式.doc

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乘法公式概念总汇1、平方差公式平方差公式:两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差,即(a+b)(a-b)=a-b说明:(1)几何解释平方差公式如右图所示:边长a的大正方形中有一个边长为b的小正方形。第一种:用正方形的面积公式计算:a2b2;第二种:将阴影部分拼成一个长方形,这个长方形长为(ab),宽为(ab), 它的面积是:(ab)(ab)结论:第一种和第二种相等,因为表示的是同一块阴影部分的面积。所以:a2b2(ab)(ab)。(2)在进行运算时,关键是要观察所给多项式的特点,是否符合平方差公式的形式,即只有当这两个多项式它们的一部分完全相同,而另一部分只有符合不同,才能够运用平方差公式。平方差公式的a和b,可以表示单项式,也可以表示多项式,还可以表示数。应用平方差公式可以进行简便的多项式乘法运算,同时也可以简化一些数字乘法的运算2、完全平方公式完全平方公式:两个数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们积的两倍,即(a+b)=a+2ab+b,(a-b)=a-2ab+b这两个公式叫做完全平方公式。平方差公式和完全平方公式也叫做乘法公式说明:(1)几何解释完全平方(和)公式 如图用多种形式计算右图的面积第一种:把图形当做一个正方形来看,所以 它的面积就是:(ab)2第二种:把图形分割成由2个正方形和2个相同的长方形来看,其中大正方形的的边长是a,小正方形的边长是b,长方形的长是a,宽是b,所以 它的面积就是:a2ababb2a22abb2结论:第一种和第二种相等,因为表示的是同一个图形的面积所以:(ab)2a22abb2(2)几何解释完全平方(差)公式 如图用多种形式计算阴影部分的面积第一种:把阴影部分当做一个正方形来看,所以 它的面积就是:(a-b)2第二种:把图形分割成由2个正方形和2个相同的长方形来看,其中大正方形的的边长是a,小正方形的边长是b,长方形的长是(a-b),宽是b,所以 它的面积就是:结论:第一种和第二种相等,因为表示的是同一个图形的面积所以:(3)在进行运算时,防止出现以下错误:(a+b)=a+b,(a-b)=a-b。要注意符号的处理,不同的处理方法就有不同的解法,注意完全平方公式的变形的运用。完全平方公式的a和b,可以表示任意的数或代数式,因此公式的使用就不必限于两个二项式相乘,而可以扩大到两个多项式相乘,但要注意在表示成完全平方公式的形式才能运用公式,完全平方公式有着广泛的应用,尤其要注意完全平方公式和平方差公式的综合应用方法引导 1、乘法公式的基本计算例1 利用平方差公式计算:(1)(3x5y)(3x5y);(2)(0.5ba)(-0.5ba)(3)(-mn)(-mn)难度等级:A解:(1)(3x5y)(3x5y)(3x)2(5y)29x225y2 (ab)(ab) a2 b2 (2)(0.5ba)(-0.5ba)(a0.5b)(a0.5b)a20.25b2 (ab)(ab) a2 b2 (3)(mn)(mn)(m)2n2m2n2 (ab)(ab) a2 b2【知识体验】仔细观察例题,看出两个多项式之间的相同点和不同点,找到两个多项式的第一项相同,而第二项互为相反数,符合运用平方差公式的条件,利用公式解题,得出结果【解题技巧】平方差公式的基本在于找到两个多项式的相同项和不同项,相同项就是a,不同项就是b和-b,所以多项式中项的位置颠倒时,可以先调换位置,再运用平方差公式【搭配练习】用平方差公式计算(1)(0.25xy)(0.25xy)(2)(2x3y)(2x3y)(3)(2x5)(2x5)(2x1)(2x1)例2 利用完全平方公式计算(1)(2a3)2 (2)(0.5m0.2n)2 (3)(-2x3y)2 (4)(13x)(3x-1)难度等级:A解:(1) (ab)2 a2 2ab b2 (2) (3)第一种解法: 第二种解法: (ab)2 a2 2ab b2 (4) 【知识体验】仔细观察例题,题目都应该符合完全平方的形式,然后根据公式写出结果。第一步确定首尾,分别平方;第二步确定中间项的系数和符号,得出结论。【解题技巧】第三题给出了两种解法,第二解法实质上是利用了乘方的性质,利用互为相反数的幂可以互相转化,改变了原本的形式,便于后续利用完全平方和的公式写出结果,第一种虽然也可以得出正确结果,但涉及到符号问题较多,容易出现错误。第四题表面上看上去不可以用乘法公式,但仔细观察可以发现,这两个多项式的每一项只有符号不同,其他都相同,那么也可以利用乘方的性质,把式子进行转化,后续得出的就是一个带有负号的完全平方式,但有一点还要注意的是中,应该先按照完全平方公式展开,再去掉负号【搭配练习】利用完全平方公式计算(1) (2)(2) (4)2、简便计算例3 利用平方差公式简便计算(1)10397 (2)59.860.2难度等级:A解:(1)10397(1003)(1003)1002321000099991 (2)59.860.2(600.2)(600.2)6020.2236000.043599.96【知识体验】既然是简便计算,就有巧算的变法,把两个因数分别进行改写,写成相同的两个数的和与差相乘的形式,利用平方差公式求解。【解题技巧】如果可以利用公式,那么103和97就分别是相同的两个数的和与差,那么(103+97)2得到的就是第一个数,即公式中的a,(103-97)2得到的就是第二个数,即公式中的b【搭配练习】利用平方差公式简便计算 (1)8999011 (2)98 (3) 例4 利用乘法公式简便计算(1) (2) (3)难度等级:A解:(1) (2) (3) 【知识体验】解题时要注意区分使用哪一种公式,平方差公式一定要是两数和与两数差乘积的形式,完全平方公式一定是两数和或差的平方形式【解题技巧】平方差公式是两个不同的数或式子相乘,完全平方公式是一个数或式子平方的形式,当这两种公式混合在一起的时候要注意区别,分清属于哪一种【搭配练习】利用乘法公式简便计算 9971001999例题讲解(一)题型分类全析例1:下列计算正确的是( )A. B.C. D.难度等级:A【思维直现】根据单项式与多项式的乘法法则,(-4x)(2x2+3x-1)=-8x3-12x2+4x,所以A错; 利用多项式乘法法则,计算(x+y)(x2+y2),得x3+xy2+x2y+y3,所以B也不对;利用平方差公式,有(-4a-1) (4a-1)=(-1-4a)(-1+4a)=(-1)2-(4a)2=1-16a2,所以C是正确的;由完全平方公式,得(x-2y)2=x2-4y+4y2,所以D错. 因此,选C.解:C【阅读笔记】整式的乘法包括幂的乘法,单项式与单项式的乘法,单项式与多项式的乘法,多项式与多项式的乘法,乘法公式;在解决问题时,要对号入住,看到题目,就要想到用什么样的法则。【题评解说】本题是常规题,都是考察学生的基本概念和基本法则。在做题时可以每道都做一遍,验证正确或错误的选项。【建议】如果遇到无法确定的时候,就说明知识点没有掌握清楚,此时的做题原则,就是排除法,先选出与待选答案相反结论的选项,在排查剩余选项。【搭配练习】 1、下列关系式中,正确的是( ) A.(ab)2=a2-b2 B.(a+b)(a - b)= a2-b2 C.(a+b)2= a2+b2 D.(a+b)2= a2-2ab+b2 2、下列计算正确的是( )A.(a+3b)(a-3b)=a2-3b2 B.(-a+3b)(a-3b)=-a2-9b2 C.(-a-3b)(a-3b)=-a2+9b2 D.(-a-3b)(a+3b)=a2-9b2 例2:多项式加上一个单项式后,使它能成为一个整式的完全平方,则加上的多项式可以是 (填上你认为正确的一个即可,不必考虑所有的可能情况)难度等级:B【思维直现】根据完全平方公式(ab)2=a22ab+b2的特点,若表示了a2+b2的话,则有a=2x,b=1,所以,缺少的一项为2ab=2(2x)1=4x,此时,4x=(2x1)2;如果认为表示了2ab+b2的话,则有a=2x2,b=1,所以,缺少的一项为a2=(2x)2= 4x4,此时,4x4+=(2x2+1)2,从另外一个角度考虑,“一个整式的完全平方”中所指的“整式”既可以是上面所提到的多项式,也可以是单项式. 注意到4x2=(2x)2,1=12,所以,保留二项式中的任何一项,都是“一个整式的完全平方”,故所加单项式还可以是-1或者 - 4x2,此时有-1=4x2=(2x)2,或者-4x2=12. 综上分析,可知所加上的单项式可以是. 解:4x、4x4、-1或 - 4x2【阅读笔记】成为一个整式的完全平方,并不一定指的是多项式形式的完全平方,还有可能是单项式的完全平方。因为整式是单项式和多项式的统称。虽然经常见到的多项式形式的完全平方,但单项式的完全平方也是成立的【题评解说】本题是开放性的题目,主要考察学生对于完全平方公式的熟悉程度。如果能把所有的情况都想清楚,当然更好。【建议】题目的要求一定要看清楚,只要填写正确的一个即可,其他情况不做强制要求。【搭配练习】若一个多项式的平方的结果为4a2+12ab+m2,则m=( ) A.9b2 B.3b2 C.3b D.3b 例3 计算: (1)(2)(3)难度等级:B【思维直现】仔细观察式子,都可以利用平方差公式和完全平方公式。在使用之前,要运用乘法的交换律和加法的结合律,还需要用到添括号法则,把式子变成符合公式的标准形式解:(1) (2) (3) 或者 【阅读笔记】乘法公式主要就是平方差和完全平方,展开式子的时候会分成一个单项式和一个单项式、一个单项式和一个多项式或一个多项式和一个多项式,而且运用一次公式后,可能还会需要第二次展开,层层递进。【题评解说】题1只需要交换第二个式子和第三个式子,其余的都很容易看出做法;题2在使用平方差公式时,最主要的是多项式的变形;题3的多项式是三项,所以在使用完全平方公式的时候,要把多项式进行拆分,拆成一个单项式和一个多项式的形式【建议】按照法则,一步一步,每经过一个步骤,对照公式中a、b的形式和结论来求出最后结果【搭配练习】计算: (1)(c2b+3a)(2b+c3a) (2)(ab)(2ab)(3a2b2); (3)(2a3b1)2例4 请你观察右边图形,依据图形面积间的关系,不需要添加辅助线,便可得到一个你非常熟悉的公式,这个公式是 难度等级:A【思维直现】图中所表示的整个正方形的面积是x2,两个小正方形的面积分别是y2与(x-y)2,利用这些数据关系,结合图形便可以写出以下乘法公式:(x-y)2=x2-2xy+y2;解:(x-y)2=x2-2xy+y2【阅读笔记】乘法公式不只有代数式子,根据几何图形的特征,研究其中蕴含的数学公式,是“数形结合思想”的具体体现。【题评解说】本题是数形结合的典型试题,从不同的角度去理解题目,理解其中的含义。【建议】在进行知识点讲解的时候,需要从代数和几何两个方面,推出乘法公式例5计算:.难度等级:C【思维直现】观察本题容易发现可以利用平方差公式,但缺少因式,如果能通过恒等变形构造一个因式,则运用平方差公式就会迎刃而解。解:【阅读笔记】在进行多项式乘法运算时,应先观察给出的算式是否符合或可转化成某公式的形式,如果符合则应用公式计算,若不符合则运用多项式乘法法则计算。【题评解说】本题还是考察的平方差公式的运用。当题目有可能转化成所熟悉的式子时,要创造条件,但同时也不能改变题意,要求能够灵活地,熟练地运用所学解决问题。【建议】转换成平方差形式的时候,要说明转化的原因,并且举出例子。【搭配练习】 计算1、(31)(321)(341)(381)+12、(1)(1)(1)(1)(1)例6:已知,求: (1)a2b2 (2)a2abb2 (3)a4b4难度等级:A【思维直现】从已知条件出发很难得知题目的真正意图,再看看结论,和完全平方公式相似,那么完全平方公式的变形就可以满足了,题(1)就是在的基础上减去了;题(2)可以看做的基础上减去了,或是在题(1)的基础上加上了;题(3)就是在题(1)结论的基础上,把平方后减去,而即是。解:(1), 即 (2) , (3) , 即 【阅读笔记】完全平方公式的左边式子比较简单,右边是个三项式,所以在此基础上可以演化出许多其他的式子,可把三项式的其中两项作为一个多项式来看,如,那就可以用原来公式中左边的式子减去或加上。无论式子怎样变化,的关系是不会变的【题评解说】本题是完全平方公式的提高题,对学生的要求比较高。必须要在熟悉公式的基础下,还要灵活运用,逆向思维比较强。【建议】一开始可以在公式的基础上进行变形,等学生熟悉后,再得出计算结果比较好。【搭配练习】 已知,求,的值.(二)思维重点突破例7 观察下列各式(x1)(x1)=x21,(x-1)(x2xl)=x3l(xl)(x3x2xl)=x4-1,根据前面各式的规律可得(x1)(xnxn-1x1) .难度等级:C【思维直现】由给定的等式,可以发现结果是以x为底数的幂与1的差,并且这个幂的指数比第二个括号中x的最高次幂的指数大1,所以(x1)(xnxn-1x1)xn+1-1.解:(x1)(xnxn-1x1)xn+1-1【阅读笔记】找规律的题目,就一定要发现它的规律,虽然第一个式子时平方差公式,但第二个、第三个式子已经不是了,找到变化过程中变的项和不变的项,结果就很容易得出了。【题评解说】此题主要考查用类比思想总结规律,给出特殊的例子,找到一般的规律。此类题目要求综合能力比较高,还要积累一定的知识,才容易发现规律。【建议】可以把式子进行对比,每一次的变化只会是式子的部分变化,式子从左到右,发生了什么样的变化,找到自我变化的式子和因它变化的式子。【搭配练习】 观察下列各式: 通过观察,用你发现的规律写出的末位数字是 。例8甲、乙两家超市3月份的销售额均为a万元,在4月和5月这两个月中,甲超市的销售额平均每月增长x%,而乙超市的销售额平均每月减少x%。(1)5月份甲超市的销售额比乙超市多多少?(2)如果a=150,x=2,那么5月份甲超市的销售额比乙超市多多少万元?难度等级:C【思维直现】列表分析3月份4月份5月份甲超市销售额aa(1x%)a(1x%) x(1x%)= a(1x%)2乙超市销售额aa(1x%)a(1x%) x(1x%)= a(1x%)2 解:(1) (2)当a=150,x=2时 【阅读笔记】应用题使用列表的方法可以让题目的数量关系变得清晰,题目中的文字都用表格和式子来进行表示。能把表格填好,也就意味着题目分析清楚了【题评解说】本题要求在理解清楚题目意思的前提下,列出式子,并且还需要化简求值。列出式子是一个难点,化简式子是另一个难点。【建议】分析问题的时候,建议用列表的方法,把数量关系表示出来,再结合题目,给出符合题目意思的式子,列完式子后,也可以在代回到原题中,看是否符合【搭配练习】 如图,点M是AB的中点,点P在MB上分别以AP,PB为边,作正方形APCD和正方形PBEF,设AB=4a,MP=b,正方形APCD与正方形PBEF的面积之差为S。(1)用a,b的代数表示S。(2)当a=4、b=1/2时,S的值是多少?当a=S,b=1/4时呢?课后作业A类作业: 一、填空题 1、(2ab)( )b24a2 2、(ab)2(ab)2_ 3、2019()()_ 二、选择 1、若ab,下列各式中不能成立的是() (A)(ab)2(ab)2 (B)(ab)(ab)(ba)(ba) (C)(ab)2n(ba)2n (D)(ab)3(ba)3 2、下列各式中正确的是() (A)(a4)(a4)a24 (B)(5x1)(15x)25x21 (C)(3x2)2412x9x2 (D)(x3)(x9)x227 三、解答 1、利用公式法计算 (1)(a2b)( ba2) (2)(a)2 (a2+)2(a+)2 (3)(2a3b)2 (4)(a3b+2c)2 (5)10199 (6)982 (7)8999011 (8)()2002(0.49)1000 2、已知4,3,求:3232;()2 B类作业: 一、填空题1、(a1)(a1)(a21)等于()(A)a41 (B)a41 (C)a42a21 (D)1a42、若(xm)(x8)中不含x的一次项,则m的值为()(A)8 (B)8 (C)0 (D)8或83、下列计算正确的是( )A、 B、C、 D、 4、化简得( ) A、 B、 C、 D、 二、解答题 1、计算 (1)(x+yz)(xy+z)(x+y+z)(xyz) (2)(x2+6x+9) (x+3)(x2-3x+9) (3)(a24)(a22a+4)(a2+2a+4) (4) (5) 2、设2,求的值。 3、化简求值 (xy)2(xy)2(2x2y2),其中x3,y4C类作业: 一、计算 (1)(c2b+3a)(2b+c3a) (2)(ab)(a+b)22ab(a2b2) (3) (2yz)22y(z+2y)+z22 (4)(ab+cd)(abcd) (5) 5(m+n)(mn)2(m+n)23(mn)2 (6)(a2cbc2)(ab+c)(a+bc) 二、解答题 1、花农老万有4块正方形菜花苗圃,边长分别为30.1m,29.5m,30m,27m。现老万将这4块苗圃的边长都增加1.5m,求各苗圃的面积分别增加了多少? 2、已知ab5,ab7,求,a2abb2的值 3、已知(ab)210,(ab)22,求a2b2,ab的值 4、已知a2b2c2abbcac,求证abc 5、已知x2,求x2的值 6、已知(a1)(b2)a(b3)3,求代数式ab的值 7、已知a26ab210b340,求代数式(2ab)(3a2b)4ab的值第 17 页 共 17 页
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