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新课标人教版数学七年级（上）知识要点概括第一章 有理数1.（1）正数：大于零的数； （2）负数：小于零的数（在正数前面加上负号“”的数）；注意：0既不是正数也不是负数，它是正负数的分界点；对于正数和负数，不能简单理解为带“+”号的数是正数，带“”号的数是负数；字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0。正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。2.有理数的概念正整数、0、负整数统称为整数；正分数和负分数统称为分数；正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。理解：只有能化成分数的数才是有理数。是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数；有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数；3.有理数的分类按有理数的定义分类 按性质符号来分 正整数 正整数 整数 0 正有理数 负整数 正分数有理数 有理数 0 （0不能忽视） 正分数 负整数 分数 负有理数 负分数 负分数总结：正整数、0统称为非负整数（也叫自然数） 负整数、0统称为非正整数 正有理数、0统称为非负有理数 负有理数、0统称为非正有理数 0是整数不是分数。4. 规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。注意：数轴是一条向两端无限延伸的直线；原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；同一数轴上的单位长度要统一。（4） 数轴一般取右（或向上）为正方向，数轴的原点的选定，正方向的取向，单位长度大小的确定都是根据实际需要规定的。5.数轴上的点与有理数的关系所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右侧的点表示，负有理数可用原点左侧的点表示，0用原点表示。所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一 一对应关系。（如，数轴上的点不是有理数）6. 数轴的画法（1）画一条直线，在这条直线上任取一个点作为原点；（2）通常规定直线上从原点向右（或左）为正方向，从原点向左（或右）为负方向；（3）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，；从原点向左，用类似的方法依次表示-1，-2，-3，.7.利用数轴表示两数大小在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。8.数轴上特殊的最大（小）数最小的自然数是0，无最大的自然数；最小的正整数是1，无最大的正整数；最大的负整数是-1，无最小的负整数9.a可以表示什么数a0表示a是正数；反之，a是正数，则a0；a0表示a是负数；反之，a是负数，则a0时，-a0（正数的相反数是负数）当a0（负数的相反数是正数）当a=0时，-a=0，（0的相反数是0）17.多重符号的化简多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；“-”号的个数决定最后化简结果；即：“-”的个数是奇数时，结果为负，“-”的个数是偶数时，结果为正。18.一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|，读作：a的绝对值.19.因为数的绝对值是表示两点之间的距离，如：|a-b|表示数轴上a点到b点的距离。所以一个数的绝对值不可能是负数。即：任何数的绝对值都是非负数（0的绝对值是0）20. 绝对值的计算规律：（1） 互为相反数的两个数的绝对值相等（2） 若，则a=b或a=-b；（3） 若21.绝对值的代数定义1）一个正数的绝对值是它本身2）一个负数的绝对值是它的相反数3）0的绝对值是0 22.可用字母表示为：如果a0，那么|a|=a； 如果a0，那么|a|=-a； 如果a=0，那么|a|=0。可归纳为：a0 |a|=a （非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。）a0 |a|=-a （非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。）23.绝对值的性质任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。所以，a取任何有理数，都有|a|0。0的绝对值是0；绝对值是0的数是0.即：a=0 |a|=0；一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是0.即：|a|0；任何数的绝对值都不小于原数。即：即：|a|a； ； ；绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。即：若|x|=a（a0），则x=a；互为相反数的两数的绝对值相等。即：|-a|=|a|或若a+b=0，则|a|=|b|；注意：|a|b|=|ab|, ；绝对值相等的两数相等或互为相反数。即：|a|=|b|，则a=b或a=-b；若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数就同时为0。即|a|+|b|=0，则a=0且b=0。（非负数的常用性质：若几个非负数的和为0，则有且只有这几个非负数同时为0）24.有理数大小的比较利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小；利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数。（3）正数的绝对值越大，这个数越大；（4）正数永远比0大，负数永远比0小；（5）正数大于一切负数；（6）大数-小数 0，小数-大数 0.25.已知一个数的绝对值，求这个数一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离。一般地，绝对值为同一个正数的有理数有两个，它们互为相反数，绝对值为0的数是0，没有绝对值为负数的数。26.有理数的加法法则同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两数相加，和为零；一个数与0相加，仍得这个数。27.有理数加法的运算律加法交换律：a+b=b+a加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)28.在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律：互为相反数的两个数先相加“相反数结合法”；符号相同的两个数先相加“同号结合法”；分母相同的数先相加“同分母结合法”；几个数相加得到整数，先相加“凑整法”；整数与整数、小数与小数相加“同形结合法”。29.有理数减法法则减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示为：a-b=a+(-b)。30.有理数加减法统一成加法的意义在有理数加减法混合运算中，根据有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照加法法则进行计算。在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。如：(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.31.有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧：.把符号相同的加数相结合（同号结合法） (-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23)原式=-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23) （将减法转换成加法）=-33+18-15-1+23 （省略加号和括号）=(-33-15-1)+(18+23) （把符号相同的加数相结合）=-49+41 （运用加法法则一进行运算）=-8 （运用加法法则二进行运算）.把和为整数的加数相结合 （凑整法） (+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8)原式=(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8) （将减法转换成加法）=6.6-5.2+3.8-2.6-4.8 （省略加号和括号）=(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8 （把和为整数的加数相结合）=4-10+3.8 （运用加法法则进行运算）=7.8-10 （把符号相同的加数相结合，并进行运算）=-2.2 （得出结论）.把分母相同或便于通分的加数相结合（同分母结合法）-+-+-原式=(-)+(-+)+(+-)=-1+0-=-1.既有小数又有分数的运算要统一后再结合（先统一后结合） (+0.125)-(-3)+(-3)-(-10)-(+1.25)原式=(+)+(+3)+(-3)+(+10)+(-1)=+3-3+10-1=(3-1)+(-3)+10=2-3+10=-3+13=10.把带分数拆分后再结合（先拆分后结合）-3+10-12+4原式=(-3+10-12+4)+(-+)+(-)=-1+=-1+ =-.分组结合2-3-4+5+6-7-8+9+66-67-68+69原式=(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+(66-67-68+69)=0.先拆项后结合（1+3+5+7+99）-（2+4+6+8+100）32.有理数的乘法法则两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（“同号得正，异号得负”专指“两数相乘”的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三）任何数同0相乘，都得0；几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数；几个数相乘，如果其中有因数为0,则积等于0.33.乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为a=1（a0），就是说a和互为倒数，即a是的倒数，是a的倒数。0没有倒数；求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可；求带分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置；正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。（求一个数的倒数，不改变这个数的性质）；倒数等于它本身的数是1或-1,不包括0。若ab=1 a、b互为倒数；若ab=-1 a、b互为负倒数.34.有理数的乘法运算律乘法交换律：ab=ba乘法结合律：(ab)c=a(bc).乘法分配律：a(b+c)=ab+ac35. 有理数的除法法则（1）除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，.（2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。（3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。36.有理数的乘除混合运算（1）乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。（2）有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照先乘除，后加减的顺序进行。37.有理数的乘方求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在 中，a 叫做底数，n 叫做指数。（1）a2是重要的非负数，即a20；若a2+|b|=0 a=0,b=0；（2） 据规律 底数的小数点移动一位，平方数的小数点移动二位（3） 的结果：n为奇数时，=-1；n为偶数时，=1。38.乘方的性质（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数；注意：当n为正奇数时: (-a)n=-an, 当n为正偶数时: (-a)n =an .（2）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。39.有理数的混合运算，应注意以下运算顺序：1.先乘方，再乘除，最后加减；2.同级运算，从左到右进行；3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。40. 科学记数法把一个大于10的数表示成 的形式（其中， n是正整数），这种记数法是科学记数法41.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.42.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.有理数运算中的常见错误示例一、概念不清例1 计算:15+(-6)-|-5|.错解:原式=15-6+5=14.错解分析：错在没有弄清-(-5)与-|-5|的区别.-(-5)表示-5的相反数,为5;而-|-5|表示-5的绝对值的相反数,-5的绝对值为5,5的相反数是-5.正解:原式=15-6-5=4.例2 计算:.错解:原式=.错解分析：此解错在混淆了乘方和有理数乘法的概念.需知表示,其结果为-8,因此,绝不是指数和底数相乘.正解:原式=.二、错用符号例3 计算:-5-8(-2).错解:原式=-5-16=-21.错解分析：错在先将8前面的“-”当成性质符号,后来又当成运算符号重复使用,切记不可这样重复用.正解1:若把-8中的“-”当成性质符号,则可得以下过程:原式=-5+(-8)(-2)=-5+16=11.正解2:若把-8中的“-”当成运算符号,则可得以下过程:原式=-5-(-16)=-5+16=11.三、项动符号不动例4 计算:.错解:原式=.错解分析：在解答本题时,应先观察数字的特点,将小数进行转化,并使分母相同的分数合并计算.在运用加法交换律时一定要记住,项动其符号也一定要随之而动.错解在移动一项时,漏掉了其符号.正解:原式= =-12+11=-1.四、对负带分数理解不清例5 计算:错解:原式= = =.错解分析：错在把负带分数理解为,而负带分数中的“-”是整个带分数的性质符号,把看成才是正确的.与之类似,也不等于.正解:原式= =.五、考虑不全面例6 已知|-1|=5,则的值为( ).A.6 B.-4 C.6或-4 D.-6或4错解:由|-1|=5可得-1=5,解得=6.选A.错解分析：一个数的绝对值等于5,则这个数可能为正,也可能为负,所以-1=5,解得=6或-4.正解:选C.六、错用运算律例7 计算: .错解:原式= =.错解分析：由于受乘法分配律(b+c)=b+c的影响,错误地认为(b+c)=b+c,这是不正确的.正解:原式=.七、违背运算顺序例8 计算:.错解:原式=4(-2)=-2.错解分析：本题是乘除运算,应按从左到右的顺序进行,而错解是先计算,这样就违背了运算顺序.正解:原式=4(-8)16=-512.例9 计算:.错解:原式=25-(-2)2=25-4=21.错解分析：在计算时,错误地先进行乘法运算.事实上应该先算乘方,再算乘除.正解:原式=25-64=-39.有理数典型错题示例一、例1计算：(1）-19.30.7；(2)错解：（1）-19.30.7-20；(2)错解分析：（1）这是没有掌握有理数加法法则的常见错误对于绝对值不同的异号两数相加，如何定符号和取和的绝对值，初学时要特别小心(2）混合运算中，同级运算应从左往右依次进行本题应先除后乘，这里先算了，是不按法则造成的计算错误正解：(1) -19.3十0.7-18.6；(2)二、例2计算：(1)；(2)错解：（1）（-4) （-4)16；(2)-0.8错解分析：（1），表示4的平方的相反数，即-（44），它与不同，两者不能混淆(2)表示-0.2的三次方小数乘方运算应注意运算结果的小数点位置正解：（l）-16；(2)-0.008三、例3计算：(1)；(2)错解：（1)；(2)错解分析：带分数相乘（或乘方）必须先把带分数化成假分数后再计算正解：（1）原式；(2）原式四、例4已知：2，3，求错解：因为2，3，所以2，3 所以5错解分析：本题错在最后一步，本题应有四个解错解中只注意同号两数相加，忽略了还有异号两数相加的情况正解：前两步同上，所以5，或1五、例5下列说法正确的是（）(A)0是正整数 （B)0是最小的整数(C)0是最小的有理数（D)0是绝对值最小的有理数错解：选A错解分析： 0不是正数，也不是负数，0当然不在正整数之列；再则，在有理数范围之内，没有最小的数正解：选D六、例6按括号中的要求，用四舍五入法取下列各数的近似值：(l)57.898（精确到O.01)；(2)0.057988（保留三个有效数字）错解：（1)57.89857.9； (2)0.0579880.058错解分析：（1)57.898精确到0.01，在百分位应有数字0，不能认为这个小数部分末尾的O是无用的正确的答案应为57.90注意57.9和57.90是精确度不同的两个近似数(2）发生错解的原因是对“有效数字”概念不清有效数字是指一个由四舍五入得来的近似数，从左边第一个不是0的数字起，到末位数字为止的所有数字，都叫这个数的有效数字因此0.057988保留三个有效数字的近似值应为0.0580，而0.058只有两个有效数字七、例7选择题：(l)绝对值大于10而小于50的整数共有（）(A)39个（B)40个（C)78个（D)80个(2)不大于10的非负整数共有（）(A)8个（B)9个（C)10个（D)11个错解：（1)D (2)C 错解分析： (l)10到50之间的整数（不包括10和50在内）共39个，-50到-10之间的整数也有39个，故共有78个本题错在考虑不周密(2)这里有两个概念：一是“不大于”，二是“非负整数”前一概念不清，会误以为是0至9十个数字；后一概念不清，会误解为是1至10十个数字，都会错选（C)正解：(l)C (2)D 八、例8计算：错解：原式.错解分析：绝对值符号有括号的功能，但不是括号绝对值符号的展开必须按绝对值意义进行；特别是绝对值号内是负值时，展开后应取它的相反数这是一个难点，应格外小心正解：因为，所以原式有理数的乘方错解示例一、例1用乘方表示下列各式：（1）；（2）错解：（1）；（2）.错解分析：求n个相同因数的积的运算叫做乘方.（1）错在混淆了与所表示的意义. 的底数是-5，表示4个-5相乘，即，而表示.（2）错在最后结果没有加上括号.实际上与的意义是不同的，表示，而表示.正解：（1）；（2）.二、例2计算：（1）；（2）.错解：（1）；（2）.错解分析：错解（1）（2）的原因都是没有真正理解乘方的意义，把指数与底数相乘了.实际上，表示2 008个-1相乘，表示3个-2相乘.正解：（1）；（2）.三、例3计算：（1）；（2）；（3）；（4）.错解：（1）；（2）；（3）；（4）.错解分析：以上错误都是由于没有按照正确的运算顺序进行运算造成的.有理数的运算应先算乘方，再算乘除，最后算加减.正解：（1）；（2）；（3）；（4）.四、例4计算：.错解：.错解分析：错解中出现了以下错误：实际上，正解：科学记数法、近似数和有效数字的失误点示例.一、将一个数用科学记数法表示时出现错误例1.生物学家发现一种病毒的长度约为0.000 043mm.用科学记数法表示这个数的结果为（ ）A. B. C. D. 错解：选A或选D.错解分析：小于1的很小的数用科学记数法来表示成时，的范围仍是.n的值等于从左到右第一个不是零的数字前所有零的个数,正确答案应该选B.二、与近似数有关的错误1.近似数精确度的确定例2.精确到 位.错解：精确到百分位.错解分析：这种应用科学记数法表示的数在确定其精确到哪一位时, 应看其最后一位有效数字在原数中的位置.由，知原数中6在十位上，故精确到十位.错误的原因主要是忽略了所表示的数位, 其实, 表示的是千位, 所以整数2在千位上, 8在百位上, 6在十位上.2.近似数的取舍例3.用四舍五入法求精确到千分位的近似数.错解：.错解分析： 错误的原因是两次使用四舍五入法求近似数, 即将先四舍五入得, 精确到万分位, 然后再四舍五入得0.852 , 精确到千分位，实际上正确结果应为0.851.四、科学记数法10n中和n值的确定例4 据统计，全球每分钟约有8 480 000 t污水排入江河湖海，将这个排污量用科学记数法表示应是 t 错解：8 480 000 t=848104t 错解分析：848104不符合科学记数法的表示形式，即必须满足110这一条件 正解：8 480 000 t=8.48106 t 点拨：解答这道题的关键在于正确确定科学记数法10n中和n的值是整数位数只有1位的数，而n的确定方法为n=原数的整数位数1.14
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