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24.14圆周角1,1,复习旧知：请说说我们是如何给圆心角下定义的，试回答？,顶点在圆心的角叫圆心角。,考考你：你能仿照圆心角的定义， 给下图中象ACB 这样的角下个定义吗？,顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角,特征：, 角的顶点在圆上., 角的两边都与圆相交.,2,探索：判断下列各图中，哪些是圆周角，为什么？,o,A,B,o,A,B,o,A,B,o,A,B,o,A,B,o,A,B,o,A,B,o,A,B,C,C,C,C,C,C,C,C,图1,图2,图3,图4,图5,图6,图7,图8,图9,圆外角,圆内角,3,证明你的猜想:,（1）圆心在BAC的一边上.,由于OA=OC,因此C=BAC,而BOC=BAC+C,所以BAC= BOC,4,（2）圆心在BAC的内部.,D,作直径AD.,由于BAD= BOD,1,2,DAC= DOC，,1,2,所以BAD+DAC= （BOD+DOC）,1,2,即BAC= BOC,1,2,5,（3）圆心在BAC的外部.,D,作直径AD.,由于DAB= DOB,1,2,DAC= DOC，,1,2,所以DAC-DAB= （DOC-DOB）,1,2,即BAC= BOC,1,2,6,结论1：,在同圆或等圆中,同弧或等弧,所对的圆周角相等，,都等于该弧或等弧所对的,圆心角的一半；,相等的圆周角所对的弧也相等。,ACB= ； ADB= ； = .,如图：则有,ACB,ADB,7,在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对弧一定相等吗？为什么？,在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等,思考1,8,思考2,如图23.1.9，,线段AB是O的直径，,点C是O上任意一点（除点A、B），,那么，,ACB就是直径AB所对的圆周角.,想想看，ACB会是怎么样的角？,9,我们可以看到，,OAOBOC，,所以AOC、BOC都是等腰三角形，,因而,OACOCA，,OBCOCB.,又,OACOBCACB180，,所以,ACBOCAOCB,90.,如图：,10,半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90（直角）。,反过来也是成立的，即,90的圆周角所对的弦是圆的直径。,结论2:,11,归纳：,归纳：在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两个圆周角两条弧, 两条弦, 两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.,12,圆内接多边形:所有顶点都在同一圆上的多边形。,结论3:圆内接四边形对角互补,O,B,C,D,A,思考3,圆内接四边形的对角有何数量关系？,13,例1 如图，O直径AB为10cm，弦AC为6cm，ACB平分线交O于D，求BC、AD、BD的长四边形 ACBD的面积.,又在RtABD中，AD2+BD2=AB2，,解：AB是直径，, ACB= ADB=90,在RtABC中，,CD平分ACB，,AD=BD.,例题讲解:,14,练一练,1、如图，在O中，ABC=50， 则AOC等于（ ） A、50； B、80； C、90； D、100,D,2、如图，ABC是等边三角形， 动点P在圆周的劣弧AB上，且不 与A、B重合，则BPC等于（ ） A、30； B、60； C、90； D、45,B,15,3如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？,A,B,D,C,1,2,3,4,5,6,7,8,1 = 4,5 = 8,2 = 7,3 = 6,利用同弧所对的圆周角的相等练习,16,(1)一个概念（圆周角）,内容小结：,(2)一个定理： 等于该 弧所对的圆心角的一半；,(3)二个推论：同圆或等圆中,相等的圆周角所对弧相等.,半圆或直径所对的圆周角是直角； 90的圆周角所对的弦是直径。,同圆或等圆中 ，同弧或等弧所对的 圆周角相等,17,1. 如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D 为半圆上的两点，COD=50，则 CAD=_；,25,应用练习,3、右图是一个圆形的零件，你能告诉我，它的圆心的位置吗？你有什么简捷的办法？,2、在圆中，一条弧所对的圆心角和 圆周角分别为（2x100）和 （5x30），求这条弧所对的 圆心角和圆周角的度数.,18,如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多少种方法？与同学交流一下,D,O,O,O,方法一,方法二,方法三,方法四,A,B,19,24.14圆周角2,圆的认识,20,1.圆周角定义:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.,3.在同圆(或等圆)中，同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等。,2.半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90 90的圆周角所对的弦是圆的直径,复习旧知,4.圆内接四边形对角互补,21,例题讲解:,例 1: 如图，P是 圆上的一点,APC=CPB=60。求证：ABC是等边三角形。,证明：ABC和APC 都是 所对的圆周角。,AC,ABC=APC=60,(同弧所对的圆周角相等）,同理，BAC和CPB都是 所对的圆周角，,BC,BAC=CPB=60。,ABC等边三角形。,22,例2:,已知：如图，在ABC中，AB=AC, 以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E, 求证： ,BD=DE,证明：连结AD.,AB是圆的直径，点D在圆上，,ADB=90，,ADBC，,AB=AC，,AD平分顶角BAC，即BAD=CAD，,（同圆或等圆中，相等的圆周角所对弧相等）。,23,例3:,24,求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形（提示：作出以这条边为直径的圆.）,A,B,C,O,求证： ABC 为直角三角形.,证明：,CO= AB,以AB为直径作O，,AO=BO，,AO=BO=CO.,点C在O上.,又AB为直径,ACB=90., ABC 为直角三角形.,例4:,25,1：已知O中弦AB等于半径， 求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数。,圆心角为60度,圆周角为 30 度,或 150 度。,练 习,26,2:如图 AB是O的直径, C ,D是圆上的两点,若ABD=40,则BCD=.,40,27,4.如图，圆心角AOB=100，则ACB=_。,3.求圆中角X的度数。,5、 如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D为半圆上的两点，CAD=260，则COD=_,35,120,130,52,28,6.AB、AC为O的两条弦，延长CA到D，使 AD=AB，如果ADB=35 ， 求BOC的度数。,BOC =140,A=21,29,8如图，已知OA、OB是O的半径，点C为AB的中点，M、N分别为OA、OB的中点，求证：MC=NC,30,9如图，BC为O的直径，OA是O的半径，弦BEOA, 求证：AC=AE, ,31,(1)一个概念（圆周角）,内容小结：,(2)一个定理： 等于该 弧所对的圆心角的一半；,(3)二个推论：同圆或等圆中,相等的圆周角所对弧相等.,半圆或直径所对的圆周角是直角； 90的圆周角所对的弦是直径。,同圆或等圆中 ，同弧或等弧所对的 圆周角相等,32,
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