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理论力学复习指导郭 志 勇 编西北工业大学出版社2002年11月 第一篇 静 力 学一. 中心内容： 力系的简化(合成)与平衡条件二.基本概念 1力、刚体、平衡、约束、静力学公理、常见约束类型及其反力（绳索、光滑支承面、固定铰支座、滚动支座、固定端、轴承）；二力杆 2汇交力系合成的几何法、力多边形、力的投影、分解、两者关系，合成的解析法 3力矩、平面力偶的性质，三要素 4力线的平移、平面一般力系的简化结果；合力矩定理，平衡方程的各种形式及条件；桁架内力的计算方法，物系平衡问题解法 5静滑动摩擦定律，摩擦角 6力对轴之矩，力对点之矩矢，两者关系，空间力偶矩矢，空间力系简化结果，空间力系平衡方程7重心、形心 三.解题要点1. 适当地选取研究对象,正确地画出其受力图(受力图是关键)。所选的研究对象上至少要有一个已知力和一个未知力,且受力的个数越少越好。研究对象一定要从周围的物体中隔离出来，不要连同约束一起画。一定要根据约束的性质画约束反力，不要主观臆断。一见典型的约束符号，则其反力确定无疑。.研究整体时，所有中间铰处的内力不要画出来。.对于物系问题，是先拆开还是先整体研究，通常：对于构架，若其整体的外约束反力不超过4个，应先研究整体；否则，应先拆开受力最少的哪一部分。对于连续梁，应先拆开受力最少的哪一部分，不应先整体研究。.拆开物系前，应先判断系统中有无二力杆，若有，则先去掉之，代之以对应的反力。在任何情况下，二力杆不作为研究对象，它的重要作用在于提供了力的方向。.拆开物系后，应正确的表示作用力和反作用力之间的关系、字母的标注、方程的写法。.对于跨过两个物体的分布载荷，不要先简化后拆开，力偶不要搬家。.定滑轮一般不要单独研究，而应连同支撑的杆件一起考虑。 2根据受力图，建立适当的坐标轴，应使坐标轴与尽可能多的力的作用线平行或垂直，以免投影复杂；坐标轴最好画在图外，以免图内线条过多。平 面汇交力系力偶系平行力系一般力系几何法：力多边形自行封闭解析法(Fiy)（注意应用二矩式或三矩式） 3判断力系的类型，列出对应的平衡方程： 取矩时,矩心应选在尽可能多的未知力的交点上,以避免方程中出现过多的未知量。力偶系一般力系(Fiz)汇交力系空 间平行力系空间力系取矩时，矩轴不一定是坐标轴，可以对任何直线取矩，使尽可能多的力的平行或相交的直线作为矩轴，以减少方程中的未知数。 考虑摩擦时，需分析运动的可能趋势（若运动趋势不明显，则可假设，并分别考虑各种可能），从而正确地判断出摩擦力的方向；未到临界时，摩擦力的大小只能由平衡方程求出，只有在临界状态下，才能补充定滑动摩擦定律：m，它与平衡方程无关。待求的量其结果往往有一个范围。 第二篇 运 动 学一.中心内容 单纯用几何的方法描述物体在空间的位置随时间变化的运动学性质(运动方程、轨迹、速度、加速度等)二.各章要点 点的运动：研究点在一个固定坐标系下的运动。 按点运动的轨迹分为： 点的直线运动 点的曲线运动 已知曲线:常用自然坐标 未知曲线:用直角坐标1.直角坐标法 建立直角坐标系,将所研究的点置于该系下一般位置,写出该点的位置坐标(x,y),纯粹用几何图形找出该坐标与已知条件的关系,表成时间t的单值连续函数，即为运动方程：消去时间即为轨迹： 速度： 加速度： 2.自然法 沿已知轨迹建立自然坐标，将所研究的点置于该系下一般位置,写出该点的弧长坐标s,纯粹用几何图形找出该弧长与已知条件的关系,表成时间t的单值连续函数，即为 运动方程： 速度： 加速度： 全加速度大小： 全加速度的方向 ：恒指向曲线内凹的一侧。当a为常量时，有： v = v0+ at s = s0+ v0t+ at2/2 v2- v02 = 2as3两方法间的关系： .刚体的基本运动1平动： 直线平动 曲线平动 定义 特性：平动时，刚体上各点的轨迹、速度、加速度完全相同，只需研究其上任一点即可。2转动（定轴转动） 运动方程： 角速度： 角加速度： 转动刚体上一点的 速度： 加速度： 当为常量时，有： = 0+t =0+ 0t+t2/2 2- 02 = 2 .点的合成运动研究一个点在两个不同坐标系下的运动及其关系 相对点的运动动系 牵连刚体的运动1.基本概念动点点的运动绝对 静系牵连点:动系上瞬时与动点重合的点牵连点相对于静系的速度、加速度分别称之为牵连速度和牵连加速度。 速度合成定理： 加速度合成定理： 牵连运动为平动 牵连运动为转动 其中 称为科氏加速度 大小: ak=2vrsin 方向: 右手系或将vr沿旋转9002.解题要点.正确地选取并明确地指出动点和动系：a 动点和动系不能在同一刚体上；b 在某一物体上，动点相对该物体的位置应是不变的点；c 动点的相对运动轨迹要清晰可辨；d 常取两物体的接触点、滑块、套筒、小环、小球等为动点。对动点进行速度分析并图示，列出速度合成定理，常用几何法求速度。正确判断牵连运动类型，从而对动点进行加速度分析并图示（已知的量不能画错，未知的量可以假设），列出对应的加速度合成公式，常用投影法求加速度。投影轴取在不需要求的未知量的垂线方向，以避免该未知量在方程中出现。 .刚体的平面运动1.基本概念 定义,利用定义正确地判断出作平面运动的构件 分解:平面运动可分解为随任选基点的平动和绕该基点的转动两部分。平动与基点的选择有关，而转动与基点的选择无关，即刚体的、不随基点的变化而变化。2求速度的三种方法基点法： vB= vA+ vBA 其中 vBA=ABBA 方向与AB垂直 适用于任何情况,常取速度为已知的点作基点 .速度投影法： vAcos= vBcos适用于已知某点速度的大小和方向及另一点速度的方向,求其大小的情况;它不能求刚体的角速度。瞬心法 ：找出瞬心C，则此时刚体可以看作是绕瞬心C的瞬时转动，刚体上任一点的速度为： vB =BCBC 适用于瞬心好找、且瞬心到所求点的距离好算的情形。 瞬心的位置：过两点作速度的垂线，交点即为瞬心；只滚不滑的轮子与地面的接触点，等3瞬时平动的概念 瞬时平动时：刚体上各点的速度相等，加速度不相等。 刚体的角速度=0，角加速度04求加速度的基点法（唯一的方法）:取加速度为已知的点A作基点, 则刚体上任一点B的加速度为 其中 anBA =AB2 aBA=AB5.解题思路 将系统置于待求瞬时的位置，而不要放在一般位置；分析各构件的运动类型及整个机构运动的传递过程，从运动为已知的构件开始，分析关键连接点的速度、加速度，并标注在图上；重点研究作平面运动的构件，逐步从已知过渡到未知。同时应注意合成运动与平面运动的综合应用。三.结语 对于整个运动学部分，关键要分析清楚系统中各部分的运动类型，从而界定题目的类属，进而采用对应的方法。 若系统中有套筒、滑块滑槽、两物体的接触点有相对运动、联系两物体的小环、管中的小球等则属于合成运动之题目；若系统中有作平面运动的构件，则属于平面运动之题目；若两者都有，则属于综合题。第三篇 动 力 学一.中心内容: 研究作用于物体上的力与物体机械运动间的关系二.各章要点1. 质点运动微分方程 投影式 或 解决两类问题1.已知运动求力,正问题, 求导即可;2.已知力求运动,逆问题, 积分: 直接积分; 变形 解题步骤:(略)2. 动量定理1.质系的动量: K=MVC , K=mivi 2.质系的动量定理: , 投影式 若 , 则系统动量守恒: K=K0 若 , 则系统动量在x方向守恒: Kx=Kx03.质心运动定理: MaC=F 投影式 或 若外力在某轴上投影为0,且系统初始静止,则质心在该轴上保持守恒。4.质心坐标 5.用途: 主要用来求 1)系统约束反力 2)质心守恒时各质点移动的位置3. 动量矩定理1.质系的动量矩(对固定点O) H0=h0=ri mivI转动刚体的动量矩(对固定轴z) HZ= JZ2.质系的动量矩定理 投影式 上式对固定点O、质心C、瞬心P（PC=常数）均成立，其形式不变。若外力对某轴之矩为0，则在该轴上动量矩守恒。3.定轴转动刚体微分方程 JZ= MZ334.平面运动刚体微分方程 3333 5.转动惯量 为回转半径 平移轴公式 均质圆轮 均质杆 6.用途:用于转动或平面运动系统求外力或加速度。7.注意事项: 1).若动力学方程个数少于未知量个数,则需补充运动学条件，物体间连接处的速度、角速度、加速度、角加速度之间存在一定关系，有时要补充一些运动学公式。 2）.轮子作纯滚动时,注意补充: 4. 动能定理 1.功 重力的功 弹力的功 转动刚体上力偶矩的功 理想的约束反力不做功 只滚不滑的摩擦力不做功 2.动能 质点动能 质系动能 平动刚体 C为质心 转动刚体 Z为转轴 平面运动刚体 P为瞬心3.质系的动能定理 4.用途: 求解具有理想约束的系统中某物体的v、a、等,它 不能求得约束反力.5.解题要点 选整体为研究对象,不要拆开; 分析各物体的运动形式,写出系统初始和末了的动能T1和T2; 计算所有力的功； 代入动能定理,解之。若求a、，则将动能定理两端对时间t求导。 普遍定理综合应用 1.正确掌握各定理特征: .动量定理与动量矩定理只涉及系统的外力,而与内力无关; .动量定理揭示质系质心的运动,反映系统移动时的动力学性质; .动量矩定理反映系统绕某定点或某定轴转动的动力学性质； .动能定理涉及系统的始末位置，不涉及约束反力。2.根据题目的要求,联系各定理的特征,决定所采用的方法:. 如果给出了系统的始末位置,求v、a、,而不涉及约束反 力时,用动能定理;(若涉及反力,也可先由动能定理求出v、a、,后用其他方法求反力) .求反力或绳子内力用质心运动定理; .对于转动刚体可用动量矩定理或定轴转动微分方程; .对平面运动刚体可用平面运动微分方程; .注意综合应用。.动静法(达朗伯原理)1. 惯性力的施加及其计算 质点 G=-ma 加在该质点上, 平动刚体 G=-maC 加在质心C, 转动刚体 主矢 G=-maC 加在转轴z, 主矢大小 主矩 MG=-JZ 平面运动刚体 主矢 G=-maC 加在质心C 主矩 MG=-JC2. 解题步骤（基本与静力学解题步骤同）. 取研究对象(对于物系要拆开),作受力图;. 根据运动类形,施加对应的惯性力(加惯性力时直接与a、画反向,计算时不再代负号)。. 根据力系的类属，列出对应的静力学平衡方程；. 注意补充运动学条件；. 联立求解。3. 说明: 原则上,动静法可以解决任何动力学问题,不论是涉及速度、加速度还是涉及反力均可。只是难易程度不同而已。因此，它多用于已知运动（v、a、）求反力之情形。.虚位移原理1. 概念: 虚位移、自由度、广义坐标2. 原理： 3. 用途：解决受理想约束质点系的静平衡问题4. 用法：. 以整体为研究对象，若不求反力则不必拆开；. 画出所有主动力；若需求某一约束反力，则解除该约束代之以对应的反力并视其为主动力；. 给系统一虚位移，找出各力作用点处虚位移间的关系。若各处虚变形不易观察，则建立该点坐标，对坐标变分一次即为其虚位移（坐标原点应选在无虚位移的固定点）；. 计算各主动力在对应的虚位移上所作的虚功；. 代入虚位移原理，消去独立的虚位移，求未知量。8 .单自由度系统的振动本章的难点是运动微分方程的建立,建立方程常用的方法有:质点运动微分方程、刚体定轴转动微分方程、刚体平面运动微分方程。1. 无阻尼自由振动方程 或 解(响应) 固有频率 静伸长法 能量法 ， 振幅 初相位 等效刚度 串联 并联 2. 有阻尼自由振动方程 ，衰减系数 相对阻尼系数 解(响应) (弱阻尼时 频率 周期 振幅 初相位 减幅系数 对数减幅 3. 有阻尼受迫振动 方程 稳态解 频率 振幅 相位差 静力偏移 频率比 振幅比 幅频曲线、相频曲线、共振11