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第四章 平面波本章从麦克斯韦方程及物质的本构关系出发，研究在均匀介质中平面波的传播及其主要特征。首先讨论线性、均匀、各向同性介质中均匀平面波的传播，再推广到各向异性介质中的情况。比平面波更复杂的电磁波也可用平面波展开，本章对此也作了讨论。最后讨论平面波传播的传输线模型，为以后用传输线模型求解复杂的场问题打下基础。4.1得出电场强度E与磁场强度H满足的波方程，4.2从波方程得到简单介质中的平面波解，4.3、4.4讨论平面波的极化特性以及平面波在有耗介质中的传播，4.5介绍色散与群速的基本概念，4.6与4.7分别研究电各向异性介质和磁各向异性介质中平面波的传播特征。4.8讨论髙斯波束的平面波展开，4.9证明电磁波沿某一方向传播可与特定参数传输线上电压、电流波的传播等效，即电磁波传播的传输线模型。4.1 波方程3.4已分析过，麦克斯韦方程组中两个旋度方程是独立的。在两个旋度方程中电场强度E与磁场强度H耦合在一起。从解方程角度看，先要将E跟H“去耦”，即从两个旋度方程消去H（或E），然后得到只关于E（或H）的方程。本节讨论无源、简单介质中麦克斯韦方程的解，所谓无源，就是指所研究的区域内不存在产生电磁场的源J与rv。对于简单介质，e、m是常量。在这种特定情况下，将物质的本构关系（3.4.1）、（3.4.2）代入麦克斯韦方程（3.2.8）（3.2.11），得到E =jwmH（4.1.1）H = jweE（4.1.2）E = 0（4.1.3）H = 0（4.1.4）式（4.1.1）、（4.1.2）两个方程中，只有E和H两个独立的场量，但E和H耦合在一起。为了从这两个方程得到只关于E或H的方程，对式（4.1.1）取旋度，并将式（4.1.2）代入，得到利用恒等关系，而根据式（4.1.3），所以上式成为（4.1.5）同样对式（4.1.2）取旋度，将式（4.1.1）代入，并利用式（4.1.4）及上面的矢量运算恒等关系，得到（4.1.6）式（4.1.5）、（4.1.6）可合并写成（4.1.7）式中（4.1.8）在自由空间或真空中，m = m0，e = e0，k记作k0（4.1.9）式（4.1.5）、（4.1.6）或（4.1.7）叫做无源简单介质中的波方程，在这个方程中E跟H不再耦合在一起。叫做传播常数，其物理意义以后会深入讨论。式（4.1.7）在形式上与传输线上电压V电流I满足的波方程类似。（V、I）是标量，而（E、H）是矢量，所以式（4.1.7）叫做矢量波方程。4.2 平面电磁波要从无源、简单介质中E和H满足的波方程得到具体电磁问题的解，还要给出特定的边界条件。本节研究边界趋于无穷远的情况。传输线理论告诉我们，趋于无穷远的均匀传输线上只有入射波，没有反射波。由此可推论，在边界趋于无穷远的情况下，均匀介质中不存在从无穷远反射回来的波。在直角坐标系中E、H可表示为（4.2.1）（4.2.2）将上述E、H表达式代入波方程（4.1.7）（4.2.3）要使上式成立，只有等式左边每个分量都等于零，即（4.2.4a）（4.2.4b）所以对式（4.2.3）的求解归结为解标量波方程（4.2.5）式（4.2.5）可用熟知的分离变量法求解。设可分离成：（4.2.6）将式（4.2.6）代入式（4.2.5）得到或等式两边除以得到（4.2.7）等式左边第一、二、三项分别只是x、y、z的函数，要使它们加起来为常数，只能是每一项都等于某一待定常数，即（4.2.8a）（4.2.8b）（4.2.8c）以及 （4.2.9）式（4.2.8a、b、c）的解分别为等表示沿x方向传播到无穷远的波，另一个解等表示逆x方向由无穷远传播来的波，因为假定边界趋于无穷远，不存在反射波，这个解可以不予考虑。根据式（4.2.6），可得（4.2.10）式中（4.2.11）k叫做波矢，其绝对值k叫做传播常数，k2满足的方程（4.2.9）叫做介质的色散方程。所以电场E和磁场H在均匀介质中每一分量的解为，进一步得到 （4.2.12）式中 （4.2.13）同理 （4.2.14）式中 （4.2.15）计及时间因子后，其解为（4.2.16）（4.2.17）这里我们省略了取实部的运算符号Re，以后遇到类似情况不再特别说明。从形式上看式（4.2.12）、（4.2.14）表示电场E和磁场H的解是一个常数矢量E0、H0与一个指数函数的乘积。即方向由常数矢量E0、H0决定，大小由标量函数决定。这个解我们以后把它叫做平面波。在深入讨论其物理意义之前，熟悉对式（4.2.12）、（4.2.14）所表示的场量进行散度、旋度运算是十分必要的。【例4-1】求场量的与、。解：因为（4.2.18）再利用矢量运算恒等关系（1.5.50）、（1.5.51）得到（4.2.19）（4.2.20）（4.2.21）波方程的解（4.2.12）、（4.2.14）有丰富的内涵：1E、H、k三者相互垂直，且构成右手螺旋关系，模|E|与|H|之比为一常数，叫做波阻抗。将式（4.2.12）、（4.2.14）代入麦克斯韦方程组中两个旋度方程可得到（4.2.22）（4.2.23）引入单位波矢k0使得k0k0=1，k=kk0则式（4.2.22）、（4.2.23）成为H0 = Yk0E0（4.2.24）E0 = Zk0H0（4.2.25）式中（4.2.26）Z、Y叫做均匀介质中平面波的本征阻抗或本征导纳。本征阻抗也叫波阻抗，习惯上也用h表示。对于自由空间，波阻抗为= 377W，习惯上用h0表示。由两个散度方程及式（4.2.24）、（4.2.25）还可得到E0，H0，k 0三者正交。k0H0=0（4.2.27a）k0E0=0（4.2.27b）E0H0=0（4.2.27c）因此我们可以选择一个特定的坐标系使得E0 = E0x0（4.2.28a）H0 = H0y0（4.2.28b）k = kz0（4.2.28c）在这个特定坐标系中，电场、磁场、波矢各只有一个分量。于是式（4.2.12）（4.2.14）成为（4.2.29）（4.2.30）一般情况下E、H、k各有三个分量。如果我们定义z为纵向，则在这个特定坐标系中，电场、磁场都没有纵向分量。电场、磁场都没有纵向分量的场叫做横电磁模或TEM模。平行双导线、同轴线中电磁场就属于TEM模。2电场E和磁场H取平面波形式的解对式（4.2.12）乘再取实部得到电场E的瞬时表达式（4.2.31）在前面讨论的特定坐标系中E0、H0、k如（4.2.28）表示，则上式成为（4.2.32）式（4.2.32）正是第一章讨论过的波动表达式，它表示沿z方向（也就是k方向）传播的波，波长l及等相位点运动速度vp为（4.2.33）（4.2.34）式（4.2.34）表示波运动的速度等于介质中的光速。真空中，传播常数，这时等相位点运动速度（4.2.35）即真空中光速，而波长l0（4.2.36）zxypr0图4-1 与k垂直的等相位面k图4-2 平面波，其传播方向与z轴夹角为qkuf为波的频率。参看图4-1，在与k垂直的平面内，r在k上的投影都等于，所以在此平面内每一点，都相等，也就是说在该平面，波的相位到处都一样。这就是我们把式（4.2.12）、（4.2.14）叫做平面波的原因。而且只要k是实数，电场E或磁场H的幅值对于一给定的常数相平面是均匀的，一个平面波具有均匀的幅度，叫做均匀平面波。由上面分析可知，平面波的性质主要由波矢k决定，因为k的方向就是波传播的方向，波长，等相位点运动速度，E、H、k三者相互垂直构成右手螺旋关系，等相位面是与k垂直的平面。平面波是被理想化了的。例如从很远的天线辐射来的波严格地说是球面波，但如果观察点被限制在一个局部的小区域，就可近似为一平面波。【例4-2】平面波传播方向与z轴夹角为q，电场垂直纸面（即y方向）见图4-2，问磁场H在什么方向？因为平面波的电场E，磁场H以及波矢k三者相互垂直并构成右手螺旋关系，根据图4-2，E从纸面出来，H一定平行于纸面且跟k垂直，所以H平行于图4-2的AOB线，此外E、H、k三者又构成右手螺旋关系，所以H在OB方向，如果H的方向为u0，则u0=z0sinq-x0cosq。【例4-3】在ere0、m0介质中电场, 弧度/秒，求介质的相对介电常数er，等相位面、波长l、相速vp、波阻抗h及磁场H。解：由E的指数项表达式可知，= 2k0，所以er = 4，即k与z0方向一致，与k垂直的等相位面就是与z轴垂直的平面。波长相速波阻抗【例4-4】从微波炉泄漏出的微波场在某一点测得其电场强度为2V/m，请问该点功率密度是多少？对人体有否危害？解：将式（4.2.12）、（4.2.14）代入式（3.6.8）得到时间平均的坡印廷矢量为将E0=2以及自由空间的e0、m0代入，得到 按美国制定的安全标准，人曝露在微波场中微波功率密度不超过10mW/cm2，时间不得超过6分钟，所以上述微波泄漏对人不会有损害。4.3 极化电磁波的极化(或偏振)描述电磁波运动的空间性质。对于时谐电磁场，空间固定点的电场E随时间作简谐变化。波的极化可以用固定点的电场矢量末端点在与波矢k垂直的平面内投影随时间运动的轨迹来描述。如果电场矢量末端点运动轨迹是一条直线，这种波叫做线极化波。如果末端点运动轨迹是一圆，叫做圆极化波。如果末端点运动轨迹是一椭圆，就叫做椭圆极化波。太阳光、普通照明光源发出的光可以是随几极化的，这种电磁波叫做非极化波。电磁波也可能是部分极化。部分极化波可以看成是极化波与非极化波的混合。将式（4.2.32）重写如下在z的任何位置，电场E矢量末端点轨迹随时间变化，但总是在x轴上，最大位移为E0，因此式（4.2.32）表示的平面波是线极化波。现在考虑下式表示的平面波（4.3.1）根据时谐矢量的复矢量表示的定义，可得（4.3.2a）（4.3.2b）图4-3 线极化式中Exm, Eym为实数。为了得到电场矢量E末端点在x-y平面随时间变化的轨迹方程，需将式（4.3.2a）与（4.3.2b）中（wt-kz）消去得到关于Ex, Ey的方程。分以下几种情况线极化定义 如果 =0或p，那么Ex, Ey满足的方程为（4.3.3）在Ex-Ey平面，这是关于斜率为的直线。j=0取正号，j=p取负号。j=p的情况见图4-3。圆极化如果先考虑j=p/2，A=1，式（4.3.2）成为（4.3.4a）（4.3.4b）消去t，得到（4.3.5）其图解在Ex-Ey平面这是一个圆，所以是圆极化的。圆的半径等于Exm，注意电场矢量E末端点随时间是顺时针转的，如果用左手顺着旋转方向，大姆指就指向z，故称左手极化波。当j=-p/2，A=1时，也得到一个圆极化波，但这是右手圆极化波，即当右手四指顺着矢量端点旋转时，大姆指就是+z的方向。由螺旋天线辐射的右旋圆极化波，其电场矢量末端点运动轨迹见图4-4。如大姆指在z方向，电场沿右手四指方向旋转 图4-4 圆极化（右旋）螺旋天线辐射源EyEx椭圆极化除了线极化和圆极化这两种特殊情况外，式（4.3.1）表示的平面波都是椭圆极化的。由式（4.3.2）及的定义可得（4.3.6a）（4.3.6b）求以上两式的平方和，则可消去式中的，得到（4.3.7）这是一个椭圆方程，它说明Ex、Ey合成矢量E的端点轨迹为椭圆（图4-5），故称为椭圆极化。椭圆的中心在原点，椭圆内切于边长2Exm、2Eym的矩形。椭圆的长轴2a、短轴2b以及椭圆的取向角y满足图4-5 椭圆极化Ex2a2bEymExmyEy（4.3.8a）（4.3.8b）（4.3.8c）为了预示电场矢量末端点运动轨迹的形状与旋转方向，我们把前面几种情况都表示在一复平面上，在该平面上每一点都对应一幅度A与相位j（见图4-6），假定复矢量表示的电场E为（4.3.9）A和j由下式定义（4.3.10）那么对于线极化波，在该复平面对应的点就是实轴，j=0或p。对于圆极化，在该复平面对应的点就是A=1，j=p/2。进一步研究表明，如果落在上半平面，都是左手椭圆极化的，落在下半平面都是右手椭圆极化的。当虚轴y时，近似为线极化波，因为此时电场的Ex分量可略去。【例4-5】当, jb-ja=p/2，E由式（4.3.1）表示，求出磁场矢量末端点的运动轨迹。解：由麦克斯韦方程（4.1.1）以及式（4.3.1）表示的电场，磁场H为所以在时域中磁场分量Hx, Hy为图4-6 极化图 波的极化取决于比值，波的传播方向为z0因此磁场矢量末端运动轨迹也是一个圆，与式（4.3.4）比较，在kz=ja, wt=0时，E在x方向，H在y方向，随时间演变，它们按同样方向旋转，且永远相互垂直，见图4-7。正确利用极化特性，可提髙通信系统质量。调幅电台辐射的电磁波其电场垂直于地面平行于天线塔。所以收音机天线就要安置得与电场方向平行即与地面垂直接收效果才最好。但是对于电视广播，电场E与地面平行，所以电视机接收天线就要与地面平行，且对准电视发射台方向。很多调频广播电台，波是圆极化的，接收天线就可任意放置，只要对准电视信号发来的方向。图4-7 圆极化波的E，H场HxHy为了增加特定频率范围内的通信容量，某些卫星通信系统利用正交极化的两个波束，使通信容量比单极化通信系统增加一倍。4.4 有耗介质中的平面波导体是非常重要的一类介质，电导率s（单位是S/m）是其特征参数。对于各向同性导体，欧姆定律为（4.4.1）Jc是传导电流密度。计及传导电流密度后，安培全电流定律的微分形式为对于各向同性介质，将D=eE，Jc=sE代入安培全电流定律描述的方程，得到如果我们定义复介电常数（4.4.2）那么，复介电常数的虚部就表示介质电导率的影响，这里我们用表示复介电常数。引入复介电常数后，麦克斯韦方程为（4.4.3a）（4.4.3b）（4.4.3c）（4.4.3d）对式（4.4.3a）两边取旋度并将式（4.4.3b）代入，可得到波方程或式中（4.4.4）其解也是平面波，如在特定坐标系下，使得E、H、k都只有一个分量，便得到（4.4.5a）（4.4.5b）式中（4.4.6）h为导电介质的波阻抗。因为是复数，所以导电介质中k,h都是复数，定义（4.4.7）式中叫做导电介质的损耗正切。以及（4.4.8）|h|、j分别为复数本征阻抗h的模和相角。kr, ki分别为k的实部和虚部，并假定为正实数，ki前面取负号使所得到的解当ki取正实数时有物理意义。将式（4.4.6）、（4.4.7）代入式（4.4.5），得到（4.4.9）（4.4.10）E的瞬时值为（4.4.11）式（4.4.11）表示的波z方向传播的速度为随着波向+z方向传播，幅度则按指数规律衰减，其衰减速率为ki奈贝/米（N/m）。如果式（4.4.7）ki前面取+号，则随着波向+z方向传播，幅度不断增加，不符合实际情况，所以ki前应取负号。现在我们定义穿透深度dp，当kiz=kidp=1时，按式（4.4.11）场幅度衰减到z=0处的1/e。显然dp为以上讨论表明，当介电常数= er-jei为复数时，虚部ei的影响就是使正z方向传播的波衰减，故虚部ei表示介质的损耗。为简化书写，以后不再区分用表示的复介电常数以及e表示的实介电常数，不管介质有耗还是无耗都用e表示。下面分几种情况分析电导率s对波传播的影响。(1)电导率很小的介质电导率很小的介质，其s/we1，式（4.4.7）可近似为所以（4.4.12a）（4.4.12b）因此在电导率很小的介质中，波以传播常数kr沿正z方向传播，其幅度不断衰减，衰减速率为ki（N/m），每行进dp距离（4.4.13）场衰减到1/e。例4-6设冰的电导率很小，s 106S/m，e 3.2e0，求频率在兆赫范围内的穿透深度。解：频率为1兆赫时的损耗正切为1，故可利用式(4.4.13)计算穿透深度这就是说在兆赫频率范围，电磁波用于探测冰层厚度是很好的。美国阿波罗登月飞行也利用兆赫范围频率电磁波，因在该频率范围月球表面电导率也很低，电磁波有较大的穿透深度。对于更高的频率，由于冰层中含有气泡，气泡中空气对高频电磁波产生散射，上面简单的模型对于更高频率的电磁波不再适用。(2)电导率很大的介质电导率很大的介质叫良导体，s/we1，此时k近似为（4.4.14）因此穿透深度为（4.4.15）d表示dp很小很小，习惯上叫做趋肤深度。这就是说对于良导体电磁场主要集中在表面趋肤深度d厚度的薄层内，这种效应叫做趋肤效应。(3)完纯导体对于完纯导体，s，趋肤深度d0，导体内没有电磁场，此时欧姆定律，因为s，欲保证表面电流有限，E0。对于Au, Ag, Cu, Al等良导体，可被视为完纯导体，例如Cu的电导率s=5.8107S/m。某些金属在极低温度下呈超导特性，叫做超导体，超导铅在4.2K对于直流其电导率s大于2.71020S/m。【例4-7】海水的s = 4S/m，e=81e0，m=m0，求50Hz，1MHz，100MHz三个频率下海水的复介电常数e解：e = 81e0- 虚部越大，表示导电性能越好，所以对于频率低于100MHz电磁波，海水可视作导体。【例4-8】海水的特征参数同例4-7，f=1000Hz，水表面电场强度为1V/m，问50m深处电场强度多大。解：当f=1000Hz，所以对1000Hz频率，海水是良导体，可用式（4.4.15）求dp所以50m深处场强为【例4-9】继续例4-8，水表面功率密度是多少？用式（4.4.9-10）得到因为所以|h| =4.4310-2 j = 45在z=0处，|E|=1V/m，所以由例4-8可见，电磁波在海水中传播衰减很快，这给潜艇间通信带来了困难。海水的相对介电常数差不多为81，平均电导率为4S/m，从式（4.4.7）可得衰减常数ki为随着频率增加，损耗不断增加，在很高的频率，式（4.4.12b）适用，这个衰减系数非常大，波每传播4mm距离，功率就衰减一半。为使损耗减小，工作频率必须降低，但是，即使f=1kHz，衰减还是较大，按式（4.4.7） (1kHz时)因此，在1kHz频率，电磁波在海水中传播100m，其衰减达到110dB。如应用更低的频率，可传播的信号速率就很小。【例4-10】为屏蔽电磁波，屏蔽室铜包层厚度要大于5倍趋肤深度，如果要屏蔽的电磁波频率范围为10kHz100MHz，求铜外包层的厚度（用mm表示）解：对于Cu，m=m0，e=e0，s=5.8107S/m，当f = 104Hz,所以铜是良导体，用式（4.4.15）计算dp所以铜包层厚度要大于3.3mm。随频率升高，趋肤深度减小，3.3mm厚度的Cu包层对于屏蔽10KHz到100MHz电磁波是足够的。用微波加热食物的原理是多数食物对于微波为有耗介质，微波穿透这些食物时，在食物内部的微波损耗就转变为热。特点是升温速度快，而且可从食物内部热起来。牛排的损耗正切很大，所以牛排可用微波烹饪。因为聚乙稀的介电常数接近自由空间介电常数，损耗很小，对微波可看作透明，所以这种材料可做加热食物的容器。牛排的介电常数近似为e=40(1-j0.3)e0，在f=3GHz时，其复数波数k为穿透深度dp=1/ki=1.7cm，所以在接近牛排表面0.85cm的范围内，微波功率损耗63%，尚有37%功率可用于加热离表面0.85cm以内的牛排。4.5 色散与群速色散的名称来源于光学。当一束阳光投射到三棱镜上时，在棱镜的另一边就可看到赤、橙、黄、绿、蓝、青、紫七色光散开的图象。这就是光波段电磁波的色散现象，这是由于不同频率的光在棱镜中具有不同的介电系数（或折射率），即具有不同的相速度所致。对于理想介质，k与w成正比，相速vp与频率w无关，所以理想介质是非色散介质。如果k与w不成线性关系，相速vp与w有关，这种介质就称为色散介质。对于有损耗介质，k是w的复杂函数，vp与w有关，所以有耗介质一定色散的。反过来，色散介质一定有损耗的。引起色散的原因是多方面的，介质色散只是其一。其它原因引起的色散，本书后面还会讨论。当信号加到电磁波载体上传播时，因为任何信号可表示为任一时间函数，我们总可用傅里叶展开将信号表示为无数不同频率正弦波的叠加。如果每个频率正弦波的相速相同，那么信号传播一段距离后其合成波形与初始波形不会有变化。如果信号所包含的各频率分量相速不等，那么信号传播一段距离后，信号各分量合成的波形将与起始时的波形不同。图4-8表示矩形脉冲波经光纤长距离传输后因色散畸变为一钟形波，光脉冲变宽后有可能使接收端的前后两个脉冲无法分辨，从而限制光纤传输的最大码率。纤芯包层图4-8 光纤色散引起传输信号的畸变以表示的平面波是在时间、空间上无限延伸的单频率的电磁波，叫做单色波。单色波不能传播信息。信号加到电磁波上就不再是单色波。非单色波的传播与单色波的传播有什么区别呢？下面考虑一种最简单的情况，传播的信号只含两个频率分量，一个比载波wc略高，为wc+dw，另一个比wc略低，为wcdw，其瞬时表达式为此信号沿波导传播z距离后，两个波的合成为上式可写成更简洁的形式因此，该信号可看成是一高频载波，其振幅被低频波 调制，见图4-9。类似于式（1.4.4）的推导，振幅包络的传播速度为（4.5.1）图4-9 合成波的振幅被Dw的波所调制如果有更复杂的信号波形，信号中包含更多的频率分量，假定波导（导引电磁波的结构）色散比较小，那么在一个不大的频率范围内，整个信号包络可近似为以vg速度在传播。信号包络运动的速度才真正表示信号传播的速度，也就是电磁能流运动的速度，故称vg为波导的群速。利用表达式，群速可进一步表示为（4.5.2）由式（4.5.2）可见，如果vP与频率无关，即=0，则群速等于相速，vg=vP。对于以前讨论的平行双导线、同轴线，当工作于TEM模时，vP与频率无关，vP等于vg，且都等于传输线所在介质的光速。图4-10 等离子体色散曲线tan1 vg = qgtan1 ctan1 vp = qp当时，即相速是频率的函数时，这时又分两种情况。当时，这类色散称为正常色散；当时，这类色散被称为非正常色散。这里“正常”、“非正常”并没有特别的含义，只是表示两种不同的色散类型。色散特性k (w) 在wk平面上表示为一条曲线，图4-10是典型的等离子体的色散曲线。曲线上任一点与原点连线斜率tgqp表示该点相速vp，而切线斜率tgqg表示该点群速vg，qp、qg的意义亦示于图4-10中。因为根据式（3.5.8），对于等离子体， ，当w = wp时，k = 0，w时，。对于无色散介质，色散曲线是从原点出发斜率为1/的直线。4.6 电各向异性介质中平面波4.6.1 各向异性介质中e、m的并矢表示各向异性介质中波传播特性与波传播的方向有关。各向异性介质有电各向异性介质与磁各向异性介质之分。在电各向异性介质中，电场强度E与电通量密度D不再平行，E与D一般的线性关系为（4.6.1）而在磁各向异性介质中，磁感应强度B与磁场强度H不再平行，其关系为（4.6.2）式（4.6.1）表示在电各向异性介质中，外加电场Ex分量可感应Dx、Dy、Dz三个分量，而式（4.6.2）表示，外加磁场Bx分量可感生Hx、Hy、Hz三个分量。余类推。如定义并矢（4.6.3）而按并矢一次点积的定义式（4.6.1）可简写为（4.6.4）因为它的三个分量刚好是式（4.6.1）所表示的Dx、Dy、Dz，所以并矢的元素表示Ej分量产生Di分量的比例系数。同样引入并矢 （4.6.5）式（4.6.2）可记为 B = H（4.6.6）4.6.2 电各向异性介质中的波方程及其平面波解电各向异性介质中的介电系数用并矢表示后，麦克斯韦方程为（4.6.7）E（4.6.8）（4.6.9）（4.6.10）由此可导出电磁场满足的矢量波动方程rE=0（4.6.11）（4.6.12）其中，并矢r定义为现在我们假定各向异性介质中波方程也取平面波形式的解，并研究其特性。为此将如下形式的平面波（4.6.13）（4.6.14）代入波动方程（4.6.11）和（4.6.12），经过矢量运算后得（4.6.15a）（4.6.15b）这就是平面波复数振幅应当满足的矢量方程式，而每个矢量方程式可分解为三个直角坐标分量方程。矢量波动方程（4.6.15a）和（4.6.15b）的非零解条件所导致的方程式将用于确定平面波的波数k作为w的函数，称为色散方程。下面针对单轴介质导出它们的色散方程。在具体推导并求解色散方程之前，我们先看一下电各向异性介质中平面波与各向同性介质中平面波有什么异同。为此将平面波解（4.6.13）、（4.6.14）代入麦克斯韦方程中的两个散度方程（4.6.9）、（4.6.10），得到（4.6.16）（4.6.17）式(4.6.16)、(4.6.17)表明D和B(或H)均与波矢量k垂直。再以平面波解代入H的旋度方程（4.6.8），得（4.6.18）此式进一步说明D，H（B）和k三个矢量是按右手螺旋关系互相垂直的，但由于介电常数是张量，D与E一般是不平行的。将式（4.6.13）表示的平面波解代入得到EDzxyD、E、k平面k图4-11 电各向异性介质中平面波场矢量与波矢量的关系O（4.6.19）这里E是电场垂直于波矢量k方向的分量。式（4.6.19）与式（4.6.11）比较，可见（4.6.20）因此E的垂直于k的分量E与矢量D平行，E矢量处于D与k构成的平面内。电各向异性介质中平面波的电磁场矢量方向与波矢量方向之间的关系示于图4-11。所以，与各向同性介质中平面波相比，电各向异性介质中不是E，H，k，而是D，H，k三者构成右手螺旋关系，互相垂直。下面具体讨论单轴介质中平面电磁波的特性。单轴介质的典型代表如石英、方解石，当取主对称轴（在光学中称为光轴）为z轴时，其主轴系统中的介电系数张量可写作（4.6.21）将上式代入式（4.6.16），得到（4.6.22）再将上式代入矢量波动方程(4.6.15a),分解为直角坐标分量方程后（4.6.15a）可写成下面的矩阵形式（4.6.23）方程（4.6.23）有非零解的条件（4.6.24）称为色散方程，容易看出它有两个解（4.6.25）和（4.6.26a）如果设k在（yz）平面内，q是波矢k与z轴的夹角，则kx=0，ky=ksinq，第二个解（4.6.26a）式可写成更方便的形式（4.6.26b）式（4.6.25）和（4.6.26b）表示在单轴介质中可能传播的两种平面波，它们具有不同的物理特征，分别称为寻常波和非寻常波。4.6.3 寻常波与非寻常波1、寻常波将解（4.6.25）代入矢量波动方程（4.6.23）后可以解出（4.6.27）代入式（4.6.22），得到（4.6.28）式（4.6.28）表明波的电场矢量E没有平行于波矢量k的分量，因此E与D的方向重合。由于Ez=0，所以E（以及D）与光轴z方向垂直，因此E及D垂直于k和z轴构成的平面。可见解（4.6.25）式表示的波是相对于传播方向k的横电磁波（TEM），与各向同性介质中的平面波性质相同，所以称为寻常波。由式（4.6.25）式容易求出寻常波的相速为（4.6.29）2、非寻常波qkzyB,HD,EqkzyDB,HE(a) (b)图4-12 电磁场矢量与波矢量关系（a）寻常波与（b）非寻常波光轴z和波矢k构成的平面（yz平面）称为主截面。在如此选取的坐标系中kx=0。将非寻常波解（4.6.26）代入矢量波动方程（4.6.23），得, 所以电场矢量E处于yz平面内，由式(4.6.20)式电位移矢量D也在yz平面内。但现在E有沿波传播方向的分量，而D与k总是垂直的，所以D与E不再保持平行。波的这种特性是各向同性介质中的TEM波所不具备的，所以称为非寻常波。由式(4.6.26b)式可求出波的相速 （4.6.30）可见波的相速与传播方向有关，这是非寻常波与寻常波的另一区别。寻常波与非寻常波的电磁场矢量与波传播方向的关系分别示于图4-12（a）和（b）。如果以电位移矢量D的方向表示波的极化，我们可以看到寻常波与非寻常波都是线极化波，但图4-12表明这两个波的极化是正交的。当一极化方向任意的线极化波以qi角倾斜入射到单晶片上时，如果晶面与主光轴（z轴）垂直，将分解为极化方向垂直于yz平面的寻常波和极化在yz平面内的非寻常波。由于两种波的k值不同, 折射角不同, 在晶片内这两个波的射线将分离，这就是双折射现象，见图4-13。从晶片射出的这两个波用透镜合成后一般是椭圆极化波，调整晶片厚度及波的入射角便可获得所希望的极化。四分之波板就是利用这一原理得到圆极化光。yyz 图4-13 单轴晶体中的双折射 图4-14 发生双折射时的波矢与功率流当电磁波垂直入射到斜切割的单轴晶体表面时，其透射波的波矢方向不变；等相位面仍为垂直于波矢方向的平面，寻常波的等幅面仍沿与波矢相同的方向前进，但非寻常波的等振幅面沿与波矢方向不同的功率流方向前进，这时能速的方向与相速的方向不同，如图4-14。考虑一块用各向异性介质构成的平板，见图4-15(a)。假定一个线极化波从左边入射到该介质板，该线极化波表示为（4.6.31）如果忽略在z=0和z=d边界波的反射效应，则波刚通过该各向异性介质板时可表示为（4.6.32）式中k的下标o, e分别表示寻常波和非寻常波。(a) (b)图4-15 各向异性介质板及其对传输波极化的影响(a) 各向异性介质板 (b) 经过该介质板波的极化得出式（4.6.32）时先将入射波分解为x0方向，y0方向两个分量，再分别解每个分量在各向异性介质板中的传播问题，在z=d再将这两个分量相加。波通过各向异性介质板后其极化形式可由下式决定（4.6.33）图4-15(b)给出可能的极化形式。当（4.6.34）或就可得到圆极化波。满足上式最短距离是定义以及所以要得到圆极化波，只要：我们称厚度为的单轴介质叫做四分之波板。观察者观察者极化薄膜液晶光(a)光(b)+极化薄膜图4-16 作为显示器的液晶(a) 正常态（非激活态） (b) 激活态液晶是一种液体，其分子有序排列，液晶可以被电场激活。在非激活态，液晶是各向同性的，当加上电场后，液晶中分子将平行于电场或垂直于电场排列，并成为各向异性介质。图4-16给出一个典型的液晶显示器原理结构，它是工作于所谓的“纽曲”（DAP）模式。图4-16(a)表示激活前的正常态，进入液晶的光已被偏振片极化，该极化光通过液晶时极化方向不变。当通过第二个偏振片时全部被吸收。最终结果没有光通过显示器。而在激活态见图4-16(b)，液晶改变通过光的极化方向，第二个偏振片对于改变了极化方向的通过光是透明的，所以光能通过显示器。4.7 磁化铁氧体中的平面波4.7.1 磁化铁氧体磁导率的张量表示铁氧体是一族化合物的总称，是一种或两种金属氧化物与Fe2O3混合烧结而成的。铁氧体的化学成分为MOFe2O3，其中M为二阶金属离子，如Mn+、Mg+或Ni+等等。铁氧体属于非金属类磁性材料。它的电阻率高达108Wcm。这个数值比铁的电阻率大1012倍，因而电磁波就能深入其内部与其中的自旋电子发生相互作用。铁氧体的介电常数很高，在微波频率下，其值在10到20之间。当电磁波通过由恒定磁场（H0）偏置下的磁化铁氧体时，铁氧体在各个方向上的导磁率是不相同的，即导磁率是一个张量，呈现各向异性。高频下磁化铁氧体的导磁率是一反对称二阶张量（4.7.1）式中（4.7.2）（4.7.3）式中（4.7.4） （4.7.5）其中，ge = e/m = 1.761011 C/kg，是一常数，称为旋磁比。由此可见：（1）如果，即铁氧体没有磁化，铁氧体内场很小，则，。因此，未受磁化的铁氧体是一均匀各向同性的介质。（2）当一恒定磁场H0加在铁氧体上时，它变成一块各向异性介质。沿着x轴方向的高频磁场hx不仅沿x方向产生一个磁感应强度分量，而且还沿y方向感生一个分量。m11项可以认为是h对b的直接贡献，而m12项可以认为是一耦合项，它把高频能量由一种偏振转变为另一种偏振，而这两种偏振是互相垂直的。这里我们用小写h、b表示交变磁场强度与磁感应强度，以跟表示恒定磁场的大写H0相区别。（3）如果w=0（没有高频场），则，铁氧体成为一种磁性单轴晶体。因此磁导率张量是对高频磁场而言的。（4）m11、m12都是外加直流磁场H0、饱和磁化强度M0和外加频率w的函数。因此可以用改变H0的办法改变m11和m12。（5）当w=wg，m11，m12，发生所谓共振现象。这类共振是由铁磁材料中自旋电子的一致进动而引起的，因此我们称它为铁磁共振。张量导磁率mr是在高频场为小信号（即hwg, wwm,（4.7.27）成为（4.7.28）式中，c是铁氧体材料中光速，因此这种情况转角与频率无关，从而把铁氧体可以制成宽带器件。如果波在反向传播，可得相同转角，这表明铁氧体这种各向异性介质是非互易的，这种非互易性质即法拉第旋转。利用法拉第旋转原理可制成隔离器、非互易移相器和环行器。而利用时具有共振特性可制成谐振式隔离器。利用的特性，6.4介绍了场移式隔离器与环行器。2、横向传播的波（q=p/2）对于h|H0，波数k与铁氧体的各向异性无关，因而铁氧体中的场与各向同性介质中的场是一样的，故这种波一般称为寻常波。因为hz是磁场强度h的唯一非零分量，故bz=m0hz是磁通量密度矢量的唯一非零分量。从旋度方程（4.7.29）得电场的唯一非零分量 （4.7.30）以及 （4.7.31）因此寻常波是线极化TEMx波，如同在m0和e的各向同性介质中传播一样。对于hH0，其传播常数为式（4.7.20），一般称为非寻常波，由式（4.7.17）和（4.7.20）可以分别求得电场和磁场如下（4.7.32）由式（4.7.32）可见，非寻常波仅具有hx、hy和Ez三个分量，因波在传播方向存在hx分量，故这种波是TEx波,且有。因此，磁矢量h在x-y平面内是椭圆极化的，见图4-18。由me的表达式可见，当fg/f=1fm/fg，me=0；当时，可出现极点。见图4-19。图4-18 非寻常波的椭圆极化图4-19 9.4GHz非寻常平面波在YIG铁氧体中垂直于直流磁场传播时me与fg/f关系4.8 高斯光束的平面波展开平面波是最简单的电磁波，其特点是等相位面为一平面，波的幅度到处相等。实际的电磁波往往比平面波复杂，激光束就是一例，波前不再是平面，波的幅度也不均匀。对这类复杂的波怎么分折呢？在时域中我们曾讨论过用傅里叶展开分析时间函数f(t)，即将f(t)展开为时谐函数e-jwt的线性组合。如果f(t)是对时间t是周期变化的，可用傅里叶级数展开，如果是非周期的，可展开为傅里叶积分，即(4.8.1a)式中(4.8.1b)表示平面波，如果k只有x分量，kr=kx， 则=e-jkx，将 e-jkx与e-jwt比较，k与、x与t的地位是相同的。由此可以得到启发，空间场分布f(x)可以用平面波e-jkx展开。依次类推，二维场分布f(x,y)可以用进行二维空间傅里叶展开。这样，空间场分布较复杂的电磁波的传播，可以这样处理，将起始面(如z=0)上的场用平面波展开，即将起始面上场表示成无限多平面波的线性组合，然后研究诸多平面波沿z轴的传播。如要确定z=z1平面上的场分布，只要把该平面上的诸多平面波加起来即可。激光器发射的激光束的特点是，轴线上光最强，离开轴线愈远，光愈弱，最终衰减到零。激光束某一截面(如z=0)上场分布可表示为(4.8.2)式中为柱坐标系中离开轴线（z轴）的距离，为了分析的方便，假定光束在y方向是均匀的，只是x的函数，且场只有y分量，电场E为（4.8.3）图4-20 高斯分布，非均匀波电场按变化就是熟悉的一维高斯函数，称这种场分布为高斯分布，见图4-20。波在中心（x=0 ）最强，随离开中心距离的增加很快减少，当x=w时，场强由中心最大值减少到1/e（或-8.7dB）。w定义为波束宽度。用高斯函数近似光场分布，一是实际激光束的光强近似这种分布，二是为了数学处理的方便。设y方向极化的平面波表示为 （4.8.4）式中 将z=0平面光场（4.8.3）用平面波e-jkx展开，（4.8.5）量A(kx)可解释为x方向波数为kx的平面波分量的幅值。根据傅里叶变换理论，A(kx)可表为（4.8.6）式（4.8.6）右边积分可得解析结果，所以（4.8.7）将式（4.8.7）代入式（4.8.5）就得到z=0平面高斯光束用平面波展开的具体表达式（4.8.8）诸多平面波沿z轴的传播，只要乘上即可 （4.8.9）式中，当kxk，是虚数，所以上述解当z仍有界。进行变量替换，使kx=ku，以及dkx=kdu，式（4.8.9）成为（4.8.10）对于大多数激光束，kw1条件都满足，即光束直径比波长大得多，除非u比1小得多，上式第一个指数项可忽略。当uzf ，波的幅度和相位主要由第二个指数项决定。所以当光束传播相当一段距离后，在z处光束的宽度为 |1234z/zf3w2ww0w2w3w常数相位面图4-21 高斯光束的衍射，当z/zf光束宽度与z成线性关系光束宽度光束宽度= （4.8.13）并且 （4.8.14）图4-21给出光束宽度与等相位面随z的变化，当光束沿z轴传播相当一段距离后，高斯光束变得越来越宽，其宽度与z近似线性关系，而等相位面成为一柱面，这种现象叫做高斯光束衍射。假定在地球上l=6328激光束对准月球照射，初始光束宽度为1cm，因此。地球与月球距离约为3.8108m，所以zzf 条件成立。根据（4.8.13），就可得到wz=7.7km，即在月球上的光斑与月球直径相比，还是很小的。4.9 平面波传播的传输线模型如果我们把前面得到的关于E与H平面波解与第二章传输线上电压、电流波的解作一比较，不难发现两者十分相似。如果能将电磁波的传播用传输线上电压、电流波的传播等效，这将十分有助于对电磁波传播的理解，同时也可借用成熟的传输线理论与技术处理电磁波的传播问题。本节将证明如果电磁波按TE、TM模分解，那末对每种模式的横向电磁场量沿纵向的传播就可用传输线上电压、电流的传播等效。4.9.1 任何电磁波可分解为TE与TM两种模式电磁波的线性组合。描述电磁运动的物理量E、D、B、H都是矢量。根据矢量分析的亥姆霍兹定理，可以将任一矢量场A分解为一个无旋场与一个无源场之和，即（4.9.1）A1、A2具有性质：与因此，电场、磁场矢量可以分解为无旋场与无源场的组合。4.9.2证明，电场、磁场矢量分解为无旋场与无源场的组合，等价于将电场、磁场矢量分解为TE模与TM模场量的线性组合。TE模、TM模场的定义是，如果将电场E、磁场H分解为横向场量与纵向场量之和，那末对于电场只有横向分量、没有纵向分量的一组场就称为TE模。显然，TE模电场只分布在横截面内，所以这种场也叫做横电模。如果用上标“”表示属于TE模的量，并取z轴为纵向，则TE模场可表示为（4.9.2）（4.9.3）（4.9.4）如果磁场只有横向分量，没有纵向分量，磁场分布在横截面内，这种场就叫TM模或横磁模。本书以后用上标“” 表示属于TM模的量（4.9.5）（4.9.6）（4.9.7）Z轴表示纵向，与z轴垂直的方向为横向。下标z表示纵向场量，而下标t表示横向场分量。横向场量Et、Ht在与z轴垂直的平面内，有两个分量，是矢量。、是标量。如果取定z为纵方向，电场、磁场都没有纵向分量，电磁场量都在与z轴垂直的平面内，这种电磁场结构称为横电磁模，记为TEM模。它是TE、TM模的特例。xzxzxzE=Eyy0yyyH=Hxx0k=kxx0+kzz0E=Eyy0H=Hxx0+Hzz0H=Hyy0E=Exx0+Ezz0k=kxx0+kzz0(a)(b)(c)图4-22平面波场的模式与坐标选择有关k=kz0