高等数学中极限思想在中学数学中的渗透.doc

本科生毕业论文题目：高等数学中极限思想在中学数学中的渗透 学生姓名：段锡朋 学 号：20121050225 专 业：数理基础科学 指导教师：葛瑜 2016年4月27日目录摘要2绪论42.2极限在抛物线上的应用6第三章极限在数列中的应用83.1极限在等比数列中的应用83.2洛必达法则在等比数列中的应用9第四章极限在不等式中的应用104.1极限比较不等式的大小114.2证明不等式12第五章极限在立体几何中的应用135.1极限确定角度的大小13结论16致谢17参考文献18摘要大学数学主要以极限为基础，中学数学主要锻炼人的形象思维，随着中学数学课程的改革，在中学数学中渗透入大学数学的基础内容已成为常态，因此，了解和应用一些简单的大学数学中极限方法对于中学生来说是非常有必要的。极限思想是大学数学中比较重要的一种思想，它从数量上描述了变量在运动过程中的变化趋势。极限思想不仅在高等数学中有广泛的应用，而且在中等数学中的应用也十分广泛，特别是在几何，函数，数列求解，三角函数，不等式等方面也有着密切的联系。因此，极限的方法在解决中学数学的部分问题时有着不可忽视的作用。对于有些较难的数学问题，通过对问题的极端状态的讨论和研究，运用极限思想求解，可以避开一些复杂的运算，优化了解题的过程，降低了问题的难度，达到事半功倍的效果。关键字：大学数学，中等数学，极限，几何，数列，函数，不等式。AbstractCollege mathematics is based on the limit while the main purpose of mathematics teaching in middle school is to cultivate students ability of imaginal thinking. With the reform of math course in middle school, it has become normal state to infiltrate basic components of college mathematics into math teaching in middle school. Thus, it is necessary for middle school students to learn the limit method. The limit cognition which describes the variation tendency of variables in movement, is an important thinking in college math study. It has been widely applied not only in advanced mathematics but only in mathematical teaching in middle school, especially in geometry, function, sequence calculation, trigonometric function and inequation. That is to say, limit method is assignable in solving some problems of middle school mathematics. It is effective. Through the discussion and study of the extreme condition, the application of the limit cognition in solving intricate mathematical problems can simplify and optimize the concrete operations, ease the difficulty level and get twofold results with half the effort.key: College mathematics，limit，geometry, function, sequence calculation, trigonometric function and inequation绪论 极限思想是近代数学发展中的一种比较重要的思想。所谓的极限思想就是指用极限的概念分析问题和解决问题的一种重要的数学思想。极限思想的核心就是极限，极限简单点来说就是永远接近的意思。极限思想解决问题的一般步骤分为：确定问题的未知量，再构造一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。随着中学课程的改革，中高考中逐渐加强对极限思想的考查，通过一些创新题，让学生感受其中蕴含的极限思想。所以这就对学生的要求越来越高，需要对大学数学中的极限初步掌握。在解决数学问题的过程中，有些题目虽然和极限无关，但若运用变化的观点，灵活地用极限思想来思考，往往可以降低解题难度。本课题就从大学数学中极限思想在解决中学数学中的几类数学问题的应用进行了探究，用无限逼近的方式从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变。研究意义极限思想作为一种重要思想，在大学数学中乃至整个数学发展史中都占有重要的地位。极限思想在大学数学和中学数学中都有着广泛的应用，这是由它本身固有的思维功能所决定的。极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系。用极限思想解决问题，往往能突破思维上的禁锢，化繁为简。 本课题解决的主要问题本文主要对大学数中的学极限思想在中学数学中函数、数列、立体几何、不等式中的应用进行分析，然后具体比较大学数学中的极限思想的解法和中学数学中的不同，进而体现出极限思想的优点。极限的定义极限是高等数学中比较重要的一个模块，内容涉及到了函数，数列，导数，定积分等多个领域，学习和掌握难度较大。而由于极限在中学中的渗透，且应用相对于高等数学来说，难度较小。所以，对于中学生来说，掌握一些简单的极限以及极限的应用是十分必要的。极限在中学中的渗透主要体现于函数极限和数列极限。下面就介绍函数极限的定义和数列极限的定义及其极限之间的简单运算。函数极限的定义：设y=f(x)是一个函数，A是一个常数，x0 是一个点，f(x)在x0的一个去心邻域内有定义。如果当x越来越接近x0时，函数值越来越接近常数A，则称A为趋于x0的函数的极限。记为 limxx0fx=A或fxAxx0 数列极限的定义：设xn是一个数列，如果存在实数a，对于任意正数(不论多么小)，总存在正整数N，使得当nN时，均有不等式xn-a|0，q0，pq，比较13p+q，313（p3+q3），613（p6+q6）的大小。解：中学数学的解法：采用赋值法，已知p0，q0，pq假设p=3，q=6则13p+q=3313（p3+q3）=33613（p6+q6）=3395所以可得13p+q313（p3+q3）613（p6+q6）极限的解法：当p0时，13p+q13q，313（p3+q3）q33， 613（p6+q6）q63由13qq33q63 得13p+q313（p3+q3）613（p6+q6）解析:中学数学的解法在比较不等式时最先想到的是赋值法，而本题采用赋值法的难点是p，q赋值的大小。我们看到根号里的分母是3，后两个式子又分别开3次幂和6次幂，这就时比较大小变得不容易，所以我们必须使p,q的值假设为3的倍数，为了减小计算量，设p=3，q=6，通过计算就可以比较出不等式的大小。采用极限的解法，假设其中的一个值p0，把不等式转化成与q有关的值，求出不等式的极限值就可以直接比较大小。赋值法在一般情况下简单实用，但是比较考察赋值的把握能力。本题采用极限法只是应用了极限的简单思想和进行了简单的计算，值得掌握。4.2证明不等式设n为自然数，求证：19+125+1（2n+1）214解：用数学归纳法当n=1时，不等式显然成立。设n=k(k1)时，不等式成立，即19+125+1（2n+1）214 （1）那么，当n=k+1时，19+125+1(2k+1)2+1(2k+3)214所以，数学归纳法不可行之所以用数学归纳法思路行不通，其原因在于14是一个常数，从k 到(k+1)右边常量不变，而左边在增大，这样，无法使用归纳假设。当联想limnn4n+1=14，且当n=1时，n4(n+1)=1819，可以将题目转化为: 19+125+1（2n+1）219，不等式（2）成立，设n=k(k1)时，不等式（2）成立，即19+125+1（2n+1）2n4(n+1)那么，当n=k+1时，19+125+1(2k+1)2+1(2k+3)2k4k+1+12k+3214kk+1+12k+3214kk+1+12k+22k+4=k+14（k+2）即当n=k+1时，不等式（2）成立即原式19+125+12n+12n4n+114解析：中学数学的解法：采用数学归纳法，我们可以看出n=1时，不等式显然成立，假设n=k时不等式也成立，如果再证明出n=k+1时，不等式成立，则假设的n=k就成立，那么就可以用数学归纳法证明出不等式成立，但此题在证明n=k+1时，使不等式的左边的值增大了，所以就达不到证明不等式左边小于右边的效果。极限的方法使不等式的右边的常数值转化成了一个等价的变量，使在证明n=k+1时，不等式左右两边的值同时增大，通过比较不等式的大小就证明出了n=k+1时不等式成立，继而得出假设的n=k时的不等式也同样成立，所以不等式就成立了。此题如果一味的采用数学归纳法是证明不出不等式成立的，而引入极限的思想，用极限值来构造新的不等式就可以证明出了不等式成立，本题中引入的极限可以说是达到了一个四两拨千斤的效果，作用非常大，这也正是极限的思想在中学数学中的渗透的一个体现。第五章极限在立体几何中的应用5.1极限确定角度的大小立体几何作为中学数学中一个重要的模块，往往因为抽象而让学生感觉学习难度较大。极限思想也成为了解决这类问题重要的一种方法。例。正三棱锥相邻两个侧面所成的角为，则的取值范围是（）A（0，） B.(0,/3) C.( /3,/2) D.( /3,)解：利用中学数学的解法：首先作SO底面ABC于O点。因为SABC为正三棱锥，所以ABC为正三角形，O点为ABC的中心。作ADSC于D点，连接BD，则BDSC所以ADB为相邻的两个侧面ASC-B的二面角ADB=设AB=AC=BC=m,SCB=所以AD=BD=msin由余弦定理可得cos=AD2+BD2-AB22ADBD=1-12sin2所以的余弦值与的值有关。再由余弦定理得cosBOC=BO2+CO2-BC22BO1-222cosBSC=22-22BSSC1-222因为BO所以cosBOC cosBSC因为BC23并且余弦函数在0，上是减函数。所以BSC3所以32即-1cos1-12sin212即3所以答案为利用极限的思想求解如图所示，O为正三角形ABC的中心，SO为正三棱锥S-ABC的高，把O看作定点,S看作动点，当0OS时，两相邻侧面趋向于一个平面，此时相邻两侧面的夹角；当OS时，正三棱锥无限趋向正三棱柱，两相邻侧面的夹角愈来愈小，趋向于底面三角形ABC的一个内角，即/3 所以（/3,），答案即为D解析：中学数学的解法：首先构造出相邻两个侧面的二面角的平面角ADB，然后通过余弦定理来探求和之间的关系，由三角形的内角和定理确定的取值范围，继而确定出了的取值范围，就可以得出答案，思路比较简单明了，但是计算过程比较繁琐。采用极限的解法:通过动点S的移动，把相邻的两个侧面转化为一个平面，把二面角的平面角转化为三角形的内角，再根据动点的极限状态求出极限值这是一道选择题，采用中学数学的人解法步骤复杂，计算耗时较长，而采用极限的方法求解不仅简单省时，而且有利于锻炼学生的灵活性和创造性，此题充分体现了极限方法的优越性。5.2极限在计算立体几何面积中的应用例.设三棱柱ABC-DEF的体积为V，P、Q分别是侧棱AD、CF上的点，且PA=QF，则四棱锥B-APQC的体积为（ ）A.V B.V C.V D.V结论 中学数学是大学数学的基础，许多中学数学的内容都是大学数学的模型。大学数学正是在中学数学的基础上发展起来的。所以说中学数学与大学数学之间存在着必然的联系，许多在中学数学中无法解决的问题在大学数学中得以解决，这就要求中学生在中学学习阶段必须掌握大学数学的一些基础知识。本文通过站在大学数学的角度，运用大学数学的知识、方法和思想，从不同角度重新去审视，分析和解决中学数学的问题。大学四年的学习对我来说是一个知识的储备过程。我在学习大学数学的同时，吸收了许多蕴含在数学知识中的数学思想，数学方法，正是这些数学思想和方法锻炼了我的思维的条理性和连贯性，加强了逻辑思维在分析问题和解决问题的能力。通过对大学数学中的极限思想在中学数学中的渗透的研究，我发现大学数学极限思想能够化繁为简，具有较强的应用性，深受人们的喜爱。极限思想可以用在我们中学数学的方方面面。在解题过程中，它能化无限为有限，节省大量运算，提高解题速度和准确性。灵活巧妙、正确的运用数学极限思想能提高人们解题的正确率和策略意识，从而加深知识的理解和掌握。 对于中学生来说，能否熟练地应用和掌握极限的思想和方法就要看我们是否有去用它的意识，而且能否掌握其中的技巧，如果我们具备了就会使复杂问题简化，解题更加方便、快捷，收到事半功倍的效果。根据问题的不同条件和特点，合理选择运算途径是关键，而极限思想的灵活运用就成为减少运算量的一条重要途径。致谢四年的读书生活在这个季节即将划上一个句号，而于我的人生却只是一个逗号，我将面对又一次征程的开始。从开始进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬的师长、同学、朋友给了我许多的帮助，通过对本课题的研究，我自己学到了许多东西。在此，我特别感谢爸爸妈妈在我四年的学习生活中对我的关爱和支持。感谢朋友帮助我使用几何画板画出数学图形。感谢舍友在查找和研究资料时对我的帮助。感谢学校提供的学习环境。更非常感谢导师对我的课题的指导。参考文献1.欧阳光中，朱学炎：数学分析，高等教育出版社1983年版2.刘来刚：图解基础数学手册，吉林大学出版社2011年版3.李朝东：高中数学选修2-1，中国少年儿童出版社2009年版4孙翔峰：三维设计2015新课标高考总复习，光明日报出版社2015年版5章建跃：数学必修4，人民教育出版社2007年版6.李建华：数学必修5，人民教育出版社2007年版7王申怀：数学必修2，人民教育出版社2007年版