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第三章 不等式 定义：用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。3-1 不等式的最基本性质对称性：如果xy，那么yx；如果yx，那么xy；传递性：如果xy，yz；那么xz；加法性质；如果xy，而z为任意实数，那么xzyz；乘法性质：如果xy，z0，那么xzyz；如果xy，z0，那么xzyz;（符号法则）3-2 不等式的同解原理 不等式F（x） G（x）与不等式 G（x）F（x）同解。 如果不等式F（x） G（x）的定义域被解析式H（ x ）的定义域所包含，那么不等式 F（x）G（x）与不等式F（x）H（x）G（x）H（x）同解。如果不等式F（x）G（x） 的定义域被解析式H（x）的定义域所包含，并且H（x）0，那么不等式F(x)G（x）与不等式H（x）F（x）H（ x ）G（x） 同解；如果H（x）0，那么不等式F（x）G（x）与不等式H (x)F（x）H（x）G（x）同解。 不等式F（x）G（x）0与不等式或同解不等式解集表示方式F(x)0的解集为x大于大的或x小于小的F(x)2；(2)|26|3形如|型不等式这类不等式的简捷解法是等价命题法，即：|或3、两个绝对值不等式解不等式（1）|1|5.形如|型不等式1）此类不等式的简捷解法是利用平方法，即：|02）所谓零点分段法，是指：若数，分别使含有|，|，|的代数式中相应绝对值为零，称，为相应绝对值的零点，零点，将数轴分为+1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法，这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法，它可以把求解条理化、思路直观化。例题不等式|x+3|-|2x-1|+1的解集为 。解： |x+3|-|2x-1|=4、含参数绝对值不等式解关于x的不等式 解题原不等式等价于 当即时， 当即时， x-6当即时， xR方法归纳：形如|()型不等式此类不等式的简捷解法是等价命题法，即： 当0时，|或； 当=0时，|0 当0时，|有意义。4、含参数绝对值不等式有解、解集为空和恒成立的问题若不等式|4|+|3|0时，先求不等式|4|+|3|有解时的取值范围。令4=0得=4，令3=0得=3 当4时，原不等式化为4+3，即271 当34时，原不等式化为4+31 当3时，原不等式化为4+3即721综合可知，当1时，原不等式有解，从而当01时，|4|+|3|4|+|3|4+3|=1当1时，|4|+|3|有解从而当1时，原不等式解集为空集。方法总结：1）一题有多法，解题时需学会寻找最优解法。2）有解；解集为空集；这两者互补。恒成立。有解；解集为空集；这两者互补。恒成立。有解；解集为空集；这两者互补。恒成立。有解；解集为空集；这两者互补。恒成立。6、绝对值三参数不等式问题已知函数，当时，求证：；，则当时，求证：。思路本题中所给条件并不足以确定参数a,b,c的值，但应该注意到：所要求的结论不是的确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以用 、来表示,。因为由已知条件得，。解题证明：(1)由，从而有(2)由 从而 将以上三式代入，并整理得收获1） 二次函数的一般式中有三个参数. 解题的关键在于：通过三个独立条件“确定”这三个参数. 2）本题变形技巧性强，同时运用公式，及已知条件进行适当的放大。要求同学们做题时要有敏锐的数学观察能力。例题2已知函数f(x)=，a,bR，且，求证|f(a)-f(b)|a-b|。分析：要证，考察左边，是否能产生|a-b|。证明：|f(a)-f(b)|= （其中，同理）回顾：1、证题时，应注意式子两边代数式的联系，找出它们的共同点是证题成功的第一步。此外，综合运用不等式的性质是证题成功的关键。如在本例中，用到了不等式的传递性，倒数性质，以及“三角形不等式”等等。2、本题的背景知识与解析几何有关。函数是双曲线，的上支，而（即），则表示该图象上任意两点连线的斜率的绝对值。（学过有关知识后），很显然这一斜率的范围是在（-1，1）之间。2（1）已知不等式|x-3|+|x+1|a，的解集为空集，求a的取值范围；（2）已知不等式|x-3|+|x+1|a有解，求a的取值范围。分析：“有解”即“解集非空”，可见（1）（2）两小题的答案（集合）互为补集（全集为R）当然可以用|x-3|+|x+1|=这种“去绝对值”的方法来解，但我们考虑到“三角形不等式”：|a|-|b|ab|a|+|b|知|x-3|+|x+1|x-3-x-1|=4这样|x-3|+|x+1|4。解（略）回顾：本题是“绝对值不等式性质定理”（即“三角形不等式”）的一个应用。发展题：（1）已知不等式|x-3|+|x+1|a的解集非空，求a的取值范围。（2）已知不等式|x-3|+|x+1|a的解集非空，求a的取值范围。3已知f(x)的定义域为0,1，且f(0)=f(1)，如果对于任意不同的x1,x20,1，都有|f(x1)-f(x2)|x1-x2|，求证：|f(x1)-f(x2)|分析：题设中没有给出f(x)的解析式，这给我们分析f(x)的结构带来困难，事实上，可用的条件只有f(0)=f(1) ，与|f(x1)-f(x2)|x1-x2|两个。首先，若|x1-x2|，那么必有|f(x1)-f(x2)|x1-x2|即|f(x1)-f(x2)|呢？考虑到0|x1-x2|1，则1-|x1-x2|，看来要证明的是|f(x1)-f(x2)|1-|x1-x2|成立！证明：不妨设x1x2，则0x1x21（1）当|x1-x2|时，则有|f(x1)-f(x2)|x1-x2|即|f(x1)-f(x2)|时，即x2-x1时，0x2-x11 必有1-|x1-x2|即1- x2+x1 也可写成|1- x2|+|x1| (*) 另一方面|f(x1)-f(x2)|=|f(1)-f(x2)+f(x1)-f(0)|f(1)-f(x2)|+|f(x1)-f(0)|1- x2|+|x1-0| 则由（*）式知|f(x1)-f(x2)|成立 综上所述，当x1,x20,1时都有|f(x1)-f(x2)|0化为(x-2)(x-1)(x+1)0 第二步：将不等号换成等号解出所有根。 例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1 第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。 例如：-1 1 2 第三步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右跟”上去，一上一下依次穿过各根。 第四步：观察不等号，如果不等号为“”，则取数轴上方，穿跟线以内的范围；如果不等号为“0的根。 在数轴上标根得：-1 1 2 画穿根线：由右上方开始穿根。 因为不等号威“”则取数轴上方，穿跟线以内的范围。即：-1x2。 奇透偶不透即假如有两个解都是同一个数字 这个数字要按照两个数字穿如（x-1)=0 两个解都是1 那么穿的时候不要透过1。解题步骤： （1）首项系数化为“正”（2）移项通分，不等号右侧化为“0”（3）因式分解，化为几个一次因式积的形式系数非正，小于等于（4）数轴标根。例2、解不等式：解略点评：“或”标根时，分子实心，分母空心。右侧非0例3、解不等式：点评：1、不能随便去分母2、移项通分，必须保证右侧为“0”3、注意重根问题分子，分母有公因式例4、解不等式：点评：1、不能随便约去因式不等号左右有公因式2、重根空实心，以分母为准例5、解不等式：不能十字相乘分解因式；无法分解因式点评：不等式左右不能随便乘除因式。例6、解不等式：二次三项式，a0,0，恒正也可利用配方法判定二次三项式的正负十字相乘法分解因式受阻00求根公式法分解因式恒正或恒负点评： 练习：解不等式：1、（首相系数化为正，空实心） 2、（移项通分，右侧化为0）3、（因式分解） 4、（求根公式法因式分解）5、（恒正式，重根问题）6、（不能随便约分）含参分类讨论7、（取交集）例7、解不等式：
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