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暑期初高中衔接教程 2016.8.13 魏老师高一数学必修一第1节 集合知识要点一、集合的含义及其表示1、一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合。集合中的每一个对象称为该集合的元素。集合的性质：（1）确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。 班级中成绩好的同学构成一个集合吗？（2）无序性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。 班级位置调换一下，这个集合发生变化了吗？（3）互异性：集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合。集合中任意两个元素是不相同的。 如：已知集合A1，2，a，则a应满足什么条件？常用数集及记法（1）自然数集：记作N （2）正整数集：记作（3）整数集：记作Z （4）有理数集：记作Q 例如根号2（5）实数集：记作R例：下列各种说法中，各自所表述的对象是否确定，为什么？（1）我们班的全体学生；（2）我们班的高个子学生；（3）地球上的四大洋；（4）方程x210的解；（5）不等式2x30的解；（6）直角三角形；2、集合的表示法（1）列举法：把集合中的元素列举在一个大括号里：（2）描述法：将集合的所有元素都具有的 性质（满足的条件）表示出来，写成x| P（x）的形式。如：xx为中国的直辖市（3）集合的分类：有限集与无限集有限集：含有有限个元素的集合。无限集：若一个集合不是有限集，就称此集合为无限集。空集：不含任何元素的集合。记作，如：二、子集、全集、补集1、子集的定义：如果集合A的任一个元素都在集合B中 则称集合A为集合B的子集，记作：AB 特别的：真子集的定义：如果AB并且，则称集合A为集合B的真子集。2、补集的定义：设A为S的子集，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记作：xx S且xA，如果集合S包含我们所要研究的各个集合，就把S称为全集。三、交集与并集的定义1、定义：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的交集；记作：AB；由所有属于集合A或属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的并集；记作：AB。性质：（1）（2）若，则（3）（4）若则（5）归纳：1）交集：两集合的公共元素构成集合。2）并集：把两个集合合在一起，但要注意元素的互异性。3）基本方法：抽象的集合关系可用文恩图表示，实数集中的运算可在数轴上表示。注意点：空集是任何集合的子集；空集与任何集合的交集仍为空集。四、基础练习：1 已知Ax|33x0，则下列各式正确的是()A3A B1AC0A D1A2高考资源网下列四个集合中，不同于另外三个的是()Ay|y2 Bx2C2 Dx|x24x403下列关系中，正确的个数为_R；Q；|3|N*；|Q.4已知集合A1，x，x2x，B1,2，x，若集合A与集合B相等，求x的值1、 选择题1下列命题中正确的()0与0表示同一个集合；由1,2,3组成的集合可表示为1,2,3或3,2,1；方程(x1)2(x2)0的所有解的集合可表示为1,1,2；集合x|4x0，Tx|3x50，则ST()A Bx|x Dx|x0x|x，Tx|3x50x|x，则STx|x0，Bx|1x2，则AB()Ax|x1 Bx|x2Cx|0x2 Dx|1x2【解析】集合A、B用数轴表示如图，ABx|x1故选A.【答案】A4满足Ma1，a2，a3，a4，且Ma1，a2，a3a1，a2的集合M的个数是()A1 B2C3 D4【解析】集合M必须含有元素a1，a2，并且不能含有元素a3，故Ma1，a2或Ma1，a2，a4故选B.【答案】B二、填空题(每小题5分，共10分)5已知集合Ax|x1，Bx|xa，且ABR，则实数a的取值范围是_【解析】A(，1，Ba，)，要使ABR，只需a1.【答案】a16满足1,3A1,3,5的所有集合A的个数是_【解析】由于1,3A1,3,5，则A1,3,5，且A中至少有一个元素为5，从而A中其余元素可以是集合1,3的子集的元素，而1,3有4个子集，因此满足条件的A的个数是4.它们分别是5，1,5，3,5，1,3,5【答案】4三、解答题(每小题10分，共20分)7已知集合A1,3,5，B1,2，x21，若AB1,2,3,5，求x及AB.【解析】由AB1,2,3,5，B1,2，x21得x213或x215.若x213则x2；若x215，则x；综上，x2或.当x2时，B1,2,3，此时AB1,3；当x时，B1,2,5，此时AB1,58已知Ax|2axa3，Bx|x5，若AB，求a的取值范围【解析】由AB，(1)若A，有2aa3，a3.(2)若A，如图：，解得-a2.综上所述，a的取值范围是a|-a2或a39(10分)某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有多少人？【解析】设单独参加数学的同学为x人，参加数学化学的为y人，单独参加化学的为z人依题意解得同时参加数学化学的同学有8人，答：同时参加数学和化学小组的有8人1集合a，b的子集有()A1个 B2个C3个 D4个【解析】集合a，b的子集有，a，b，a，b共4个，故选D.【答案】D2下列各式中，正确的是()A高考资源网2x|x3 B2x|x3C2x|x3 D2x|x3【解析】2表示一个元素，x|x3表示一个集合，但2不在集合中，故2x|x3，A、C不正确，又集合2x|x3，故D不正确【答案】B3集合Ba，b，c，Ca，b，d，集合A满足AB，AC.则集合A的个数是_【解析】若A，则满足AB，AC；若A，由AB，AC知A是由属于B且属于C的元素构成，此时集合A可能为a，b，a，b【答案】44已知集合Ax|1x4，Bx|xa，若AB，求实数a的取值集合【解析】将数集A表示在数轴上(如图所示)，要满足AB，表示数a的点必须在表示4的点处或在表示4的点的右边，所以所求a的集合为a|a4一、选择题(每小题5分，共20分)1集合Ax|0x3且xZ的真子集的个数是()A5 B6C7 D8【解析】由题意知A0,1,2，其真子集的个数为2317个，故选C.【答案】C2在下列各式中错误的个数是()10,1,2；10,1,2；0,1,20,1,2；0,1,22,0,1A1 B2￥资%源网C3 D4【解析】正确；错因为集合与集合之间是包含关系而非属于关系；正确；正确两个集合的元素完全一样故选A.【答案】A3已知集合Ax|1x2，Bx|0xB BABCBA DAB【解析】如图所示，由图可知，BA.故选C.【答案】C4下列说法：空集没有子集；任何集合至少有两个子集；空集是任何集合的真子集；若A，则A.其中正确的有()A0个 B1个C2个 D3个【解析】空集是它自身的子集；当集合为空集时说法错误；空集不是它自身的真子集；空集是任何非空集合的真子集因此，错，正确故选B.【答案】B二、填空题(每小题5分，共10分)5已知x|x2xa0，则实数a的取值范围是_【解析】x|x2xa0，方程x2xa0有实根，(1)24a0，a.【答案】a6已知集合A1,3,2m1，集合B3，m2，若BA，则实数m_.【解析】BA，m22m1，即(m1)20m1，当m1时，A1,3,1，B3,1满足BA.【答案】1三、解答题(每小题10分，共20分)7设集合Ax，y，B0，x2，若AB，求实数x，y.【解析】从集合相等的概念入手，寻找元素的关系，必须注意集合中元素的互异性因为AB，则x0或y0.(1)当x0时，x20，则B0,0，不满足集合中元素的互异性，故舍去(2)当y0时，xx2，解得x0或x1.由(1)知x0应舍去综上知：x1，y0.8若集合Mx|x2x60，Nx|(x2)(xa)0，且NM，求实数a的值【解析】由x2x60，得x2或x3.因此，M2，3若a2，则N2，此时NM；若a3，则N2，3，此时NM；若a2且a3，则N2，a，此时N不是M的子集，故所求实数a的值为2或3.9(10分)已知集合Mx|xm，mZ，Nx|x，nZ，Px|x，pZ，请探求集合M、N、P之间的关系【解析】Mx|xm，mZx|x，mZNx|x，nZPx|x，pZx|x，pZ3n23(n1)1，nZ.3n2,3p1都是3的整数倍加1，从而NP.而6m132m1是3的偶数倍加1，MNP.12
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