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知能梳理【椭圆】一、椭圆的定义1、椭圆的第一定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数 ，这个动点的轨迹叫椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。注意：若，则动点的轨迹为线段；若，则动点的轨迹无图形。二、椭圆的方程1、椭圆的标准方程（端点为a、b，焦点为c）（1）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；（2）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；2、两种标准方程可用一般形式表示： 或者 mx2+ny2=1三、椭圆的性质（以为例）1、对称性：对于椭圆标准方程：是以轴、轴为对称轴的轴对称图形；并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。2、范围：椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足，。3、顶点：椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为，。 线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，。和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。4、离心率： 椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用表示，记作。 因为，所以的取值范围是。越接近1，则就越接近，从而越小，因此椭圆越扁；反之，越接近于0，就越接近0，从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆。 当且仅当时，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为。 离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。注意：椭圆的图像中线段的几何特征（如下图）： 5、椭圆的第二定义：平面内与一个定点（焦点）和一条定直线（准线）的距离的比为常数e，（0e1）的点的轨迹为椭圆（）。即：到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率的点所构成的图形，也即上图中有。焦点在x轴上：（ab0）准线方程：焦点在y轴上：（ab0）准线方程：6、椭圆的内外部需要更多的高考数学复习资料，请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答)” 或者搜.店.铺.“龙奇迹【学习资料网】”（1）点在椭圆的内部（2）点在椭圆的外部四、椭圆的两个标准方程的区别和联系标准方程 图形性质焦点，焦距范围，对称性关于轴、轴和原点对称顶点，轴长长轴长=，短轴长=离心率准线方程焦半径，五、其他结论需要更多的高考数学复习资料，请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答)” 或者搜.店.铺.“龙奇迹【学习资料网】”1、若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是2、若在椭圆外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是3、椭圆 (ab0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为4、椭圆（ab0）的焦半径公式：,( , )5、设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MFNF。6、过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MFNF。7、AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。8、若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是9、若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是【双曲线】一、双曲线的定义1、第一定义：到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长（|F1F2|）的点的轨迹（为常数）。这两个定点叫双曲线的焦点。 要注意两点：（1）距离之差的绝对值。（2）2a|F1F2|。 当|MF1|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支； 当|MF1|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支； 当2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；当2a|F1F2|时，动点轨迹不存在。2、第二定义：动点到一定点F的距离与它到一条定直线l的距离之比是常数e(e1)时，这个动点的轨迹是双曲线。这定点叫做双曲线的焦点，定直线l叫做双曲线的准线。二、双曲线的标准方程（，其中|=2c）需要更多的高考数学复习资料，请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答)” 或者搜.店.铺.“龙奇迹【学习资料网】”三、点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系1、点与双曲线2、直线与双曲线四、双曲线与渐近线的关系五、双曲线与切线方程六、双曲线的性质七、 弦长公式1、若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则，若分别为A、B的纵坐标，则。2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A、B两点，则弦长。3、若弦AB所在直线方程设为，则。4、特别地，焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解八、焦半径公式九、等轴双曲线十、共轭双曲线需要双曲线的详细资料，请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答)” 或者搜.店.铺.“龙奇迹【学习资料网】”【抛物线】一、抛物线的概念平面内与一定点F和一条定直线l (l不经过点F) 距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。二、抛物线的性质三、相关定义1、通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦H1H2称为通径；通径：|H1H2|=2P2、弦长公式：3、焦点弦：过抛物线焦点的弦，若，则(1) x0+， (2)，p2(3) 弦长,，即当x1=x2时,通径最短为2p(4) 若AB的倾斜角为，则=（5）+=四、点、直线与抛物线的位置关系需要详细的抛物线的资料，请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答)” 或者搜.店.铺.“龙奇迹【学习资料网】”【圆锥曲线与方程】一、圆锥曲线的统一定义平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线的距离之比是一个常数e(e0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点F(c,0)称为焦点，定直线称为准线，正常数e称为离心率。当0e1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e1时，轨迹为双曲线。 特别注意：当时，轨迹为圆（，当时）。二、椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质三、曲线与方程四、坐标变换1、坐标变换： 2、坐标轴的平移：3、中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程需要更多的高考数学复习资料，请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答)” 或者搜.店.铺.“龙奇迹【学习资料网】”精讲精练【例】以抛物线的焦点为右焦点,且两条渐近线是的双曲线方程为_.解： 抛物线的焦点为，设双曲线方程为，双曲线方程为【例】双曲线=1(bN)的两个焦点F1、F2，P为双曲线上一点，|OP|5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列，则b2=_。解：设F1(c,0）、F2(c,0)、P(x,y)，则|PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)2(52+c2)，即|PF1|2+|PF2|250+2c2，又|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|PF2|)2+2|PF1|PF2|，依双曲线定义，有|PF1|PF2|=4，依已知条件有|PF1|PF2|=|F1F2|2=4c2 16+8c250+2c2，c2,又c2=4+b2，b2，b2=1。【例】当取何值时，直线：与椭圆相切，相交，相离？解： 代入得化简得当即时，直线与椭圆相切；当，即时，直线与椭圆相交；当，即或时，直线与椭圆相离。【例】已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个焦点为F，M是椭圆上的任意点，|MF|的最大值和最小值的几何平均数为2，椭圆上存在着以y=x为轴的对称点M1和M2，且|M1M2|=，试求椭圆的方程。解：|MF|max=a+c，|MF|min=ac，则(a+c)(ac)=a2c2=b2，b2=4，设椭圆方程为设过M1和M2的直线方程为y=x+m将代入得：(4+a2)x22a2mx+a2m24a2=0设M1(x1，y1)、M2(x2，y2)，M1M2的中点为(x0，y0)，则x0= (x1+x2)=，y0=x0+m=。代入y=x，得，由于a24，m=0，由知x1+x2=0，x1x2=，又|M1M2|=，代入x1+x2，x1x2可解a2=5，故所求椭圆方程为： =1。【例】某抛物线形拱桥跨度是20米，拱高4米，在建桥时每隔4米需用一支柱支撑，求其中最长的支柱的长。需要更多的高考数学复习资料，请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答)” 或者搜.店.铺.“龙奇迹【学习资料网】” 解：以拱顶为原点，水平线为x轴，建立坐标系，如图，由题意知，|AB|=20，|OM|=4，A、B坐标分别为(10，4）、(10，4）设抛物线方程为x2=2py，将A点坐标代入，得100=2p(4)，解得p=12。5，于是抛物线方程为x2=25y。由题意知E点坐标为(2，4)，E点横坐标也为2，将2代入得y=0。16，从而|EE|=(0.16)(4)=3.84。故最长支柱长应为3.84米。【例】已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭圆交于P和Q，且OPOQ，|PQ|=，求椭圆方程。解：设椭圆方程为mx2+ny2=1(m0，n0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)由 得(m+n)x2+2nx+n1=0，=4n24(m+n)(n1)0，即m+nmn0，由OPOQ，所以x1x2+y1y2=0，即2x1x2+(x1+x2)+1=0，+1=0，m+n=2又22，将m+n=2，代入得mn=由、式得m=，n=或m=，n=故椭圆方程为+y2=1或x2+y2=1。【例】已知圆C1的方程为，椭圆C2的方程为，C2的离心率为，如果C1与C2相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C1的直径，求直线AB的方程和椭圆C2的方程。解：由设椭圆方程为设 又 两式相减，得 又即将需要更多的高考数学复习资料，请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答)” 或者搜.店.铺.“龙奇迹【学习资料网】”由得解得 故所有椭圆方程【例】过点(1，0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点，直线y=x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程。解法一：由e=，得，从而a2=2b2，c=b。设椭圆方程为x2+2y2=2b2，A(x1，y1)，B(x2，y2)在椭圆上。则x12+2y12=2b2，x22+2y22=2b2，两式相减得，(x12x22)+2(y12y22)=0，设AB中点为(x0，y0)，则kAB=，又(x0，y0)在直线y=x上，y0=x0，于是=1，kAB=1，设l的方程为y=x+1。右焦点(b，0)关于l的对称点设为(x，y)，由点(1，1b)在椭圆上，得1+2(1b)2=2b2，b2=。所求椭圆C的方程为 =1，l的方程为y=x+1。解法二：需要更多的高考数学复习资料，请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答)” 或者搜.店.铺.“龙奇迹【学习资料网】”由e=，从而a2=2b2，c=b。设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2，l的方程为y=k(x1)，将l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x24k2x+2k22b2=0，则x1+x2=，y1+y2=k(x11)+k(x21)=k(x1+x2)2k=。直线l：y=x过AB的中点()，则，解得k=0，或k=1。若k=0，则l的方程为y=0，焦点F(c，0)关于直线l的对称点就是F点本身，不能在椭圆C上，所以k=0舍去，从而k=1，直线l的方程为y=(x1)，即y=x+1，以下同解法一。解法三：设椭圆方程为直线不平行于y轴，否则AB中点在x轴上与直线中点矛盾。故可设直线， ，则， 所以所求的椭圆方程为：【例】如图，已知P1OP2的面积为，P为线段P1P2的一个三等分点，求以直线OP1、OP2为渐近线且过点P的离心率为的双曲线方程。解：以O为原点，P1OP2的角平分线为x轴建立如图所示的直角坐标系。设双曲线方程为=1(a0，b0)，由e2=，得。两渐近线OP1、OP2方程分别为y=x和y=x设点P1(x1， x1)，P2(x2，x2)(x10，x20)，则由点P分所成的比=2，得P点坐标为()，又点P在双曲线=1上，所以=1，即(x1+2x2)2(x12x2)2=9a2，整理得8x1x2=9a2 即x1x2= 由、得a2=4，b2=9。 故双曲线方程为=1。【例】需要更多的高考数学复习资料，请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答)” 或者搜.店.铺.“龙奇迹【学习资料网】”过椭圆C：上一动点P引圆O：x2 +y2 =b2的两条切线PA、PB，A、B为切点，直线AB与x轴，y轴分别交于M、N两点。(1) 已知P点坐标为(x0，y0 )并且x0y00，试求直线AB方程；(2) 若椭圆的短轴长为8，并且，求椭圆C的方程；(3) 椭圆C上是否存在点P，由P向圆O所引两条切线互相垂直？若存在，请求出存在的条件；若不存在，请说明理由。解：(1)设A(x1，y1)，B(x2， y2) 切线PA：，PB：P点在切线PA、PB上，直线AB的方程为(2)在直线AB方程中，令y=0，则M(，0)；令x=0，则N(0，) 2b=8 b=4 代入得a2 =25， b2 =16椭圆C方程： (3) 假设存在点P(x0，y0)满足PAPB，连接OA、OB由|PA|=|PB|知，四边形PAOB为正方形，|OP|=|OA| 又P点在椭圆C上 由知x ab0 a2 b20(1)当a22b20，即ab时，椭圆C上存在点，由P点向圆所引两切线互相垂直；(2)当a22b20，即ba0）过M（2，） ，N(,1)两点，O为坐标原点，（I）求椭圆E的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。考点：本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系。解：（1）因为椭圆E: （a,b0）过M（2，） ，N(,1)两点,所以解得所以椭圆E的方程为（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为。解方程组得,即,则=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且。因为,所以, 当时。 因为所以,所以, 所以当且仅当时取”=”。 当时,。 当AB的斜率不存在时, 两个交点为或,所以此时,综上, |AB |的取值范围为即: 需要更多的高考数学复习资料，请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答)” 或者搜.店.铺.“龙奇迹【学习资料网】”学习感悟通过本课程的学习：一、“知能梳理”模块里的知识点你都掌握了吗？1、需要巩固的知识点：2、尚未掌握的知识点：二、“精讲精练”模块里的例题你都掌握了吗？1、完全掌握的例题：2、需要再次复习得例题：3、尚未掌握的例题：三、其他备注需要更多的高考数学复习资料，请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答)” 或者搜.店.铺.“龙奇迹【学习资料网】”- 25 -
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