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课 题： 2.1二次函数所描述的关系【温故】1. 函数的定义是怎样下的？ 2.大家还记得我们学过哪些函数吗？我们学过那些关于函数的生活实际问题呢？【互助】 1. 某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子(1)问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？(2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？(3)如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式 （4）大家根据刚才的分析，判断一下上式中的y是否是x的函数？若是函数，与原来学过的函数相同吗？Y/个1413121110987654321X/棵如果你是果园的负责人，你最关心的问题是什么?（在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？）你能根据表格中的数据作出猜测吗？2.设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)在这个关系式中，y是x的函数吗？一般地，形如 (a，b，c是常数，a0)的函数叫做x的二次函数(quadratic function)例题解析：例1下列函数中，哪些是二次函数？（1） (2) (3) (4) (5) 例2、用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m)与矩形一边长a(m)之间的关系是什么？是函数关系吗？是哪一种函数？【达标】 1.下列函数中,哪些是二次函数？ (1）v=10r (3) s=3+t (5) y=(x+3)-x (6) y=2(x-1); 2.如果函数y= +kx+1是二次函数,求k的值. 4.如果函数y=(k-3) +kx+1是二次函数,求k的值. 5.圆的半径是4cm,假设半径增加xcm时,圆的面积增加ycm. （1）写出y与x之间的函数关系表达式； （2）当圆的半径分别增加1cm, 2cm时,圆的面积增加多少？课 题： 2.2结识抛物线 【温故】1. 二次函数的概念. 2.画函数的图象的主要步骤，3.根据函数y=x2列表 x y 【互助】1. 用描点法画二次函数y=x2的图象，并与同桌交流。2. 观察图象，探索二次函数y=x2的性质，提出问题：(1) 你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.(2) 图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么? 请你找出几对对称点,并与同伴交流. (3)图象与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么? (4)当x0呢？ (5)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？ 你是如何知道的？3. 二次函数y=x2的图象是什么形状？4. 它与二次函数y =x2的图象有什么关系？与同伴进行交流. 5.说说二次函数y =x2的图象有哪些性质？与同伴交流.小结：二次函数y= x2的性质抛物线y =x2y=x2顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值【达标】1.已知函数 是关于x 的二次函数。求： （1）满足条件的m 的值； （2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？ （3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？oyxA2.已知点A(1，a)在抛物线y=x2 上。 （1）求A的坐标； （2）在x 轴上是否存在点P，使得OAP是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.课 题： 2.3刹车距离与二次函数 【温故】1.二次函数yx2与y=-x2的图象一样吗？它们有什么相同点？不同点？2.二次函数是否只有yx2与y-x2这两种呢?有没有其他形式的二次函数？ 【互助】1. 给出sv2的图象，在同一直角坐标系内作出函数s=v2的图象；2. 比较s=v2和sv2的图象.相同点：不同点：做一做在同一坐标系中作二次函数y=x2和y=2x2的图象 (1)完成下表：x32101233y=x29410149y=2x2188202818 (2)分别作出二次函数y=x2和y=2x2的图象(3)二次函数y2x2的图象是什么形状?它与二次函数y=x2的图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?议一议1.在同一直角坐标系内作出函数y2x2与y2x2+1的图象，并比较它们的性质2.在同一直角坐标系内作出函数y3x2与y3x2-1的图象，并比较它们的性质【达标】1在同一坐标系中作出yx2，y2x2，y3x2的图象，根据图象填空：抛物线yx2的顶点坐标是 ，对称轴是 ，开口向 ； 抛物线y2x2的顶点坐标是 ，对称轴是 ，开口向 ； 抛物线y3x2的顶点坐标是 ，对称轴是 ，开口向 ； 抛物线yx2，y2x2，y3x2的开口大小由二次项系数决定，二次项系数的绝对值越大，抛物线的开口越 2在同一坐标系中作出yx2，y2x2，y3x2的图象，根据图象填空：抛物线yx2的顶点坐标是 ，对称轴是 ，开口向 ； 抛物线y2x2的顶点坐标是 ，对称轴是 ，开口向 ； 抛物线y3x2的顶点坐标是 ，对称轴是 ，开口向 ； 可见，抛物线yx2，y2x2，y3x2的开口大小由二次项系数决定，二次项系数的绝对值越大，抛物线的开口越 3在同一坐标系中作出yx2，yx22，yx23的图象，根据图象填空：抛物线yx2的顶点坐标是 ，对称轴是 ，开口向 ； 抛物线yx22的顶点坐标是 ，对称轴是 ，开口向 ； 抛物线yx23的顶点坐标是 ，对称轴是 ，开口向 ； 抛物线yx22，yx23与yx2的形状、开口大小相同，只是抛物线的顶点位置发生了变化，把抛物线yx2沿y轴向 平移 个单位就可得到抛物线yx22；把抛物线yx2沿y轴向 平移 个单位就可得到抛物线yx234把抛物线yx2沿y轴向上平移3个单位能得到抛物线y3x2吗？把抛物线yx2沿y轴向下平移3个单位能得到抛物线y3x2吗？课 题：2.4二次函数y=ax2+bx+c的图象（一） 课 题： 2.4二次函数y=ax2+bx+c的图象（二）课 题： 2.5用三种方式表示二次函数 【温故】问题一：已知矩形周长20cm,并设它的一边长为xcm,面积为ycm2. y随x的而变化的规律是什么？你能分别用函数表达式，表格和图象表示出来吗？【互助】 议一议： (1）在上述问题中,自变量x的取值范围是什么？（2）当x取何值时,长方形的面积最大？它的最大面积是多少?（3）请你描述一下y随x的变化而变化的情况.问题二：两个数相差2,设其中较大的一个数为x,那么它们的积y是如何随x的变化而变化的? （1）你能分别用函数表达式,表格和图象表示这种变化吗?（2）自变量x的取值范围是什么?（3）图象的对称轴和顶点坐标分别是什么?（4）如何描述y随x的变化而变化的情况?（5）你是分别通过哪种表示方式回答上面三个问题的？【达标】1.两个数的和为6，这两个数的积最大可以达到多少？利用图象描述乘积与因数之间的关系2.把一根长120cm的铁丝分为两部分，每一部分均弯曲成一个正方形，它们的面积是多少？它们的面积和最小是多少3.如图，在三角形ABC中,AB=AC=10cm，BC=12cm，矩形DEFG的顶点位于ABC的边上。设EF=x，矩形DEFG的面积为y，写出y关于x的二次函数的表达式，列成表格，并画出函数图像 ，根据三种表达式回答问题（1）自变量x的取值范围（2）图像的对称轴和顶点坐标是什么（3）如何描述y随x的变化而变化的情况课 题： 2.6何时获得最大利润【温故】1复习二次函数yax2+bx+c的相关性质：顶点坐标、对称轴、最值等。2复习这节课所要用的其他相关知识：利润=售价进价，总利润=每件利润销售额 【互助】1.某商店经营T恤衫，已知成批购进时单价是2.5元。根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.5元时，销售量是500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件。请你帮助分析，销售单价是多少时，可以获利最多?设销售单价为x(x13.5)元，那么(1)销售量可以表示为 ；(2)销售额可以表示为 ；(3)所获利润可以表示为 ；(4)当销售单价是 元时，可以获得最大利润，最大利润是 2.本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题，我们得到了表示增种橙子树的数量x(棵)与橙子总产量y(个)的函数关系是：二次函数表达式y(600-5x)(100+x)-5x2+100x+60000。当时曾经利用列表的方法得到一个猜测，现在可以验证当初的猜测是否正确？你是怎么做的？与同伴进行交流。(1)利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系。 (2)增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60400个以上？练一练：某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件。根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件。如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润？【达标】1某瓜果基地市场部为指导该基地某种蔬菜的生产和销售，在对历年市场行情和生产情况进行了调查的基础上，对今年这种蔬菜上市后的市场售价和生产成本进行了预测，提供了两方面的信息，如图所示（甲、乙两图中的实心黑点所对应的纵坐标分别指相应月份的售价和成本，生产成本6月份最低；甲图的图象是线段，乙图的图象是抛物线段） （1）在3月份出售这种蔬菜，每千克的收益是多少元？ （2）哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？说明理由2某化工材料经销公司购进了一批化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元，市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克，在这次销售过程中，每天还要支出其它费用500元（不足1天时，按1天计算）设销售单价为x元，日获利为y元 （1）求y关于x的二次函数关系式，并注明x的取值范围 （2）将（1）中所求出的二次函数配方成ya(xh)2k的形式，写出顶点坐标；在坐标系中画出草图；观察图象，指出单价为多少元时，日均获利最多，是多少？ （3）若将这种化工原料全部售出，比较日均获利最多和销售单价最高这两种销售方式，哪一种总获利较多，多多少？课 题： 2.7最大面积是多少 【温故】1问题一：如下图，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上(1)设长方形的一边ABx m，那么AD边的长度如何表示？(2)设长方形的面积为y m2，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？ 【互助】问题二：将问题一变式：“设AD边的长为x m，则问题会怎样呢？”问题三：对问题一再变式如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中点A和点D分别在两直角边上,BC在斜边上.(1).设矩形的一边BC=xm,那么AB边的长度如何表示？(2).设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少?问题四：某建筑物的窗户如下图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m当x等于多少时，窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)？此时，窗户的面积是多少？【达标】1. 用48米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场,养鸡场一面用砖砌成,另三面用竹篱笆围成,并且在与砖墙相对的一面开2米宽的门(不用篱笆),问养鸡场的边长为多少米时,养鸡场占地面积最大?最大面积是多少?MABCDPQR2. 正方形ABCD边长5cm,等腰三角形PQR,PQ=PR=5cm,QR=8cm,点B、C、Q、R在同一直线l上，当C、Q两点重合时，等腰PQR以1cm/s的速度沿直线l向左方向开始匀速运动，ts后正方形与等腰三角形重合部分面积为Scm2，解答下列问题： (1)当t=3s时，求S的值； (2)当t=3s时，求S的值； (3)当5st8s时，求S与t的函数关系式，并求S的最大值。课 题： 2.8二次函数与一元二次方程（一） 【温故】1. y=ax2+bx+c (a,b,c是常数，a0)，y叫做x的_。它的图象是一条抛物线。它的对称轴是直线x=_, 顶点坐标是（ ， ）。2. 二次函数的解析式中的一般式是: y = ax2 + bx +c (a0)顶点式：y = a(x-h)2 + k 交点式：y = a(x-x1)(x-x2)3. 抛物线y = x2+2x- 4的对称轴是_, 开口方向是_, 顶点坐标是_.4. 抛物线y=2(x-2)(x-3) 与x轴的交点为_,与y轴的交点为_.5. 已知抛物线与轴交于A(-1, 0) 和(1, 0) ，并经过点M(0,1), 则此抛物线的解析式为_ 。 【互助】1我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式h=-5t2+v0t+h0表示, 其中h0(m) 是抛出时的高度, v0(m/s)是抛出时的速度. 一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动时间t (s)的关系如图所示,那么(1) 图象上每个点的横、纵坐标含义是什么？ (2) h和t的关系式是什么？（3）小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流.2分别求出二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象与x轴的交点的坐标,并快速作出草图.（1）观察下列二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象，每个图象与x 轴有几个交点？(2) 一元二次方程x2+2x=0, x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程 x2-2x+2=0 有根吗?(3)说说二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?【达标】1 抛物线y=-3（x2）（x5）与x轴的交点坐标为_2 抛物线y=x22x3与两坐标轴交点的个数为 个3 抛物线y=2x28xm与x轴只有一个交点，则m= _4 二次函数y=kx23x4的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围5若a0，b0，c0，0，那么抛物线y=ax2bxc 经过象限6.个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h（m）可以用公式h=4.9t219.6t 来表示其中t（s）表示足球被踢出后经过的时间（1）当t=1时，足球的高度是多少？（2）t为何值时，h最大？（3）经过多长时间球落地？（4）方程4.9t219.6t =0的根的实际意义是什么？你能在图上表示吗?（5）方程14.7=4.9t219.6t 的根的实际意义是什么？你能在图上表示吗?7.已知二次函数y=kx27x7的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为什么?课 题： 2.8二次函数与一元二次方程（二） 【温故】1. 抛物线y=ax2bxc经过点（0，0）与（12，0），最高点纵坐标是3，求这条抛物线的表达式_ . 2若a0，b0，c0，0，那么抛物线y=ax2bxc经过象限3. 在平原上，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y（m）与飞行时间x（s）的关系满足y=x210x（1）经过_时间，炮弹达到它的最高点？最高点的高度是_？（2）经过_秒，炮弹落在地上爆炸？4.一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是二次函数y=ax2+bx+c的图象与直线_交点的_坐标.5.一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c的图象与直线_交点的_坐标 .问题：函数y = ax2 +bx +c的图象如下图所示，x= 为该图象的对称轴，根据图象 信息你能得到关于系数a，b，c的一些 -1 1什么结论？ 【互助】你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x-10=0的根吗？分析解答：(1) 用描点法作二次函数y=x2+2x-10的图象(2) 观察估计二次函数y=x2+2x-10的图象与x轴的交点的横坐标.【达标】1.利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根.分析解答：2二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程的两个根 （2）写出不等式的解集 （3）写出随的增大而减小的自变量的取值范围 （4）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围 3如图，已知二次函数的图象经过点A和点B（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；xyO3911AB（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图象上（其中m0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到x轴的距离
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