小学数学知识手册.doc

班级_姓名_注意：带*的内容不属于“必会”的知识。【加减乘除各部分之间的关系】1、加数 + 加数 = 和； 和 一个加数 = 另一个加数 2、被减数-减数=差； 被减数-差=减数； 差+减数=被减数3、因数因数=积； 积 一个因数 = 另一个因数4、被除数除数=商 ； 被除数商=除数； 商除数=被除数【常用数量关系】1、每份数份数=总数； 总数每份数=份数 总数份数=每份数2、1倍数倍数=几倍数 几倍数1倍数=倍数 几倍数倍数=1倍数3、单位“1”的量比较量的分率=比较量 比较量比较量的分率=单位“1”的量 比较量单位“1 ”的量=比较量的分率4、总数总份数=平均数5、购物问题： 单价数量=总价 总价单价=数量 总价数量=单价6、工程问题： 工作效率工作时间=工作总量 工作总量工作效率=工作时间工作总量工作时间=工作效率7、行程问题： 速度时间=路程 路程速度=时间 路程时间=速度8、相遇问题： 相遇路程=速度和相遇时间； 相遇时间=路程速度和； 速度和=路程相遇时间9、利润与折扣问题： 原价折扣=现价现价折扣=原价 现价原价=折扣* 利润=售出价-成本 利润率=利润/成本100%涨跌金额=本金涨跌百分比10、纳税问题： 收入税率=应纳税额 11、储蓄问题： 利息=本金利率时间* 利息税=利息税率* 税后利息=利息-利息税=本金利率时间（1-利息税）* 12、浓度问题： 溶质的重量+溶剂的重量=溶液的重量 溶液的重量浓度=溶质的重量溶质的重量/溶液的重量100%=浓度 溶质的重量浓度=溶液的重量* 13、和差问题的公式： (和+差)2=大数 (和-差)2=小数* 14、和倍问题的公式： 和(倍数1)= 小数 小数倍数=大数( 和-小数=大数 )* 15、差倍问题的公式: 差(倍数1)= 小数； 小数倍数=大数（ 小数+差=大数 ）【小学数学图形计算公式】1、正方形（C: 周长， S：面积， a: 边长） 周长=边长4； C=4a 面积=边长边长； S=aa=a22、长方形（C:周长， S：面积， a: 长， b：宽 ）周长=（长+宽）2； C=2(a+b) 面积=长宽 ； S=ab3、平行四边形（S：面积， a:底， h:高） 面积=底高； S=ah4、三角形（S：面积， a: 底， h: 高） 面积=底高2 ； S=ah2=ah ( 三角形的底 a=2sh ； 三角形的高 h =2sa )5、梯形（S：面积， a:上底， b：下底， h:高）面积=(上底+下底)高2； S=(a+b)h2=(a+b)h ( 梯形的高 h =2s(a+b) ； 梯形的(上底+下底) a+b=2sh )6、圆形（S：面积，C：周长，：圆周率，d：直径，r：半径 ）周长=直径=半径2；C=d=2r面积=半径半径； S= r27、正方体（V：体积， a：棱长） 表面积=棱长棱长6； S=aa6=6a2 体积=棱长棱长棱长； V= aaa= a38、长方体（V：体积， S：面积， a:长， b：宽， h:高）表面积=（长宽+长高+宽高）2； S=2(ab+ah+bh)体积=长宽高； V=abh9、圆柱体（V：体积， S：底面积， C：底面周长，h：高， r：底面半径 ）侧面积=底面周长高 S侧=Ch=dh=2rh表面积=侧面积+底面积2 S表= S侧+2 S底体积=底面积高 V=Sh10、圆锥体（V：体积， S：底面积， h：高， r：底面半径 ）体积=底面积高3 V=Sh3=Sh ( 圆锥的底面积 S=3Vh ； 圆锥的高 h =3VS ) 【常用单位换算】（一）长度单位换算 1千米=1000米； 1米=10分米； 1分米=10厘米；1米=100厘米 ； 1厘米=10毫米（二）面积单位换算： 1平方千米=100公顷； 1公顷=10000平方米；1平方米=100平方分米； 1平方分米=100平方厘米； 1平方厘米=100平方毫米（三）体积（容积）单位换算：1立方米=1000立方分米； 1立方分米=1000立方厘米；1立方分米=1升； 1立方厘米=1毫升； 1升=1000毫升（四）质量单位换算： 1吨=1000千克； 1千克=1000克； （1千克=1公斤）（五）人民币单位换算： 1元=10角； 1角=10分； 1元=100分（六）时间单位换算： 1世纪=100年； 1年=12月；【大月（31天）有：1、3、5、7、8、10、12月】； 【小月（30天）有：4、6、9、11月】【平年：2月有28天；全年有365天】； 【闰年：2月有29天；全年有366天】1日=24小时； 1时=60分=3600秒； 1分=60秒； 【基 本 概 念】第一章 数和数的运算一、概念（一）十进制计数法：每相邻两个计数单位之间的进率都是十，这样的计数法叫做十进制计数法。 整数部分小数点小数部分亿级万级个级数位千亿位百亿位十亿位亿位千万位百万位十万位万位千位百位十位个位十分位百分位千分位计数单位千亿百亿十亿亿千万百位十万万千百十一十分之一百分之一千分之一数轴上，从左到右的顺序，就是数从小到大的顺序。（二）整 数1、自然数、负数和整数（1）自然数 ：我们在数物体的时候，用来表示物体个数的数，如0，1，2，3叫做自然数。一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。 自然数个数是无限的，最小的自然数是0，没有最大的自然数。（2）负数：像-16，-，-0.4，这样的数叫做负数。0既不是正数也不是负数。所有的负数都在0的左边,所有的正数都在0的右边；也就是负数都比0小,正数都比0大,负数都比正数小。（3）整 数：像-3，-2，-1，0，1，2，3这样的数统称为整数。整数的个数是无限的。自然数 正整数（1、2、3、4、） 整 数 零 (0既不是正数，也不是负数) 负整数（-1、-2、-3、-4）2、数的整除 ：整数a除以整数b(b 0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a 。 （1）因数和倍数：如果数ab=c（a,b,c都是不为0的整数），那么a和b就叫做c的因数，c就叫做a和b的倍数。注意：倍数和因数数是相互依存的。* 或者说，a能被b（b 0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数。如：因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的因数。 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。例如：10的因数有1、2、5、10，其中最小的因数是1，最大的因数是10。 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。如：3的倍数有：3、6、9、12其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。 （2）2、3、5倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数。例如：202、480、304，都能被2整除。 个位上是0或5的数，都是5的倍数。例如：5、30、405都能被5整除。 一个数的各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。例如：12、108、204都能被3整除。 * 一个数各位数上的和是9的倍数，这个数就是9的倍数。 能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。 * 一个数的末两位数是4（或25）的倍数，这个数就是4（或25）的倍数。例如： 404、1256都能被4整除，50、325、500、1675都能被25整除。 * 一个数的末三位数是8（或125）的倍数，这个数就是8（或125）的倍数。例如：1168、5000、12344都能被8整除，1125、5000都能被125整除。 （3）偶数和奇数：自然数按是否是2的倍数的特征可分为奇数和偶数。自然数中，能被2整除的数叫做偶数。（0也是偶数。）不能被2整除的数叫做奇数。 （4）质数与合数：非0自然数按其因数的个数的不同，可分为质数、合数和1。一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。 1不是质数也不是合数。* 每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数，例如15=35，3和5 叫做15的质因数。 * 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 例如：把28分解质因数 （5）最大公因数与最小公倍数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。例如：12的因数有（1、2、3、4、6、12）；18的因数有（1、2、3、6、9、18）。其中，（1、2、3、6）是12和1 8的公因数，（6）是它们的最大公因数。 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。如：2的倍数有（2、4、6 、8、10、12、14、16、18 ）；3的倍数有（3、6、9、12、15、18 ），其中（6、12、18）是2、3的公倍数，（6）是它们的最小公倍数。如果两个数是倍数关系，那么这两个数的最大公因数就是较小数；最小公倍数就是较大数。 如果两个数是互质数，那么它们的最大公因数就是1；最小公倍数就是这两个数的乘积。 几个数的公因数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。公因数=最大公因数的所有因数公倍数=最小公倍数1、2、3公因数只有1的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有下列几种情况： 1和任何自然数互质。 相邻的两个自然数互质。 两个不同的质数互质。 当合数不是质数的倍数时，这个合数与这个质数互质。 两个合数的公因数只有1时，这两个合数互质。如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质。 （三）小数 1 、小数的意义 （1）把整数1平均分成10份、100份、1000份 得到的十分之几、百分之几、千分之几 可以用小数表示。 （2）一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几 （3）一个小数由整数部分、小数部分和小数点部分组成。数中的圆点叫做小数点，小数点左边的数叫做整数部分，小数点右边的数叫做小数部分。 （4）在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都是10。小数部分的最高分数单位“十分之一”和整数部分的最低单位“一”之间的进率也是10。 2、小数的分类 * （1）纯小数：整数部分是零的小数，叫做纯小数。 例如： 0.25 、 0.368 都是纯小数。 * （2）带小数：整数部分不是零的小数，叫做带小数。 例如： 3.25 、 5.26 都是带小数。 （3）有限小数：小数部分的数位是有限的小数，叫做有限小数。 例如： 41.7 、 25.3 、 0.23 都是有限小数。 （4）无限小数：小数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数。 例如： 4.33 3.1415926 （5）无限不循环小数：一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限，这样的小数叫做无限不循环小数。 例如：（6）无限循环小数：一个数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫做循环小数。 例如： 3.555 0.0333 12.109109 一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。 例如： 3.99 的循环节是“ 9 ” ， 0.5454 的循环节是“ 54 ” 。 * （8）纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数。 例如： 3.111 0.5656 * （9）混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。 例如： 3.1222 0.03333 （10）写循环小数的时候，为了简便，小数的循环部分只需写出一个循环节，并在这个循环节的首、末位数字上各点一个圆点。如果循环节只有 一个数字，就只在它的上面点一个点。 例如： 3.777 简写作：3.； 0.5302302 简写作：0.50 。 （三）分数1、分数的意义 （1）把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。 （2）在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份；分数线下面的数叫做分子，表示有这样的多少份。 （3）把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数单位。 2、分数的分类 分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。 分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。假分数大于或等于1。 假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫带分数。 3、约分和通分 把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数 ，叫做约分。 分子分母是互质数的分数，叫做最简分数。 把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。4、倒数：乘积是1的两个数互为倒数。0没有倒数，1的倒数是1。 大于1的数的倒数都小于1，小于1的数的倒数都大于1。（四）百分数 ：表示一个数是另一个数的百分之几的数 叫做百分数,也叫做百分率或百分比。百分数通常用%来表示。 二 、方法 （一）数的读法和写法 1、整数的读法：从高位到低位，一级一级地读。读亿级、万级时，先按照个级的读法去读，再在后面加一个“亿”或“万”字。每一级末尾的0都不读出来，其它数位连续有几个0都只读一个零。 整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。 2、小数的读法：读小数的时候，整数部分按照整数的读法读，小数点读作“点”，小数部分从左向右顺次读出每一位数位上的数字。 小数的写法：写小数的时候，整数部分按照整数的写法来写，小数点写在个位右下角，小数部分顺次写出每一个数位上的数字。3、分数的读法：读分数时，先读分母再读“分之”然后读分子，分子和分母按照整数的读法来读。 分数的写法：先写分数线，再写分母，最后写分子，按照整数的写法来写。 4、百分数的读法：读百分数时，先读百分之，再读百分号前面的数，读数时按照整数的读法来读。 百分数的写法：百分数通常不写成分数形式，而在原来的分子后面加上百分号“%”来表示。 （二）数的改写 一个较大的多位数，为了读写方便，常常把它改写成用“万”或“亿”作单位的数。有时还可以根据需要，省略这个数某一位后面的数，写成近似数。 1、准确数：在实际生活中，为了计数的简便，可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数。改写后的数是原数的准确数。 例如把 1254300000 改写成以万做单位的数是 125430 万；改写成 以亿做单位 的数 12.543 亿。 2、近似数：根据实际需要，我们还可以把一个较大的数，省略某一位后面的尾数，用一个近似数来表示。 例如： 1302490015 省略亿后面的尾数是 13 亿。 3、四舍五入法：要省略的尾数的最高位上的数是4 或者比4小，就把尾数去掉；如果尾数的最高位上的数是5或者比5大，就把尾数舍去，并向它的前一位进1。例如：省略 345900 万后面的尾数约是 35 万。省略 4725097420 亿后面的尾数约是 47 亿。 （三）大小比较 1、比较整数大小：比较整数的大小，位数多的那个数就大，如果位数相同，就看最高位，最高位上的数大，那个数就大；最高位上的数相同，就看下一位，哪一位上的数大那个数就大。 2、比较小数的大小：先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大 3、比较分数的大小:分母相同的分数，分子大的分数比较大；分子相同的数，分母小的分数大。分数的分母和分子都不相同的，先通分，再比较两个数的大小。 （四）数的互化 1、小数化成分数：原来有几位小数，就在1的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分。 2、分数化成小数：用分子除以分母。除不尽时，要根据需要按“四舍五入”法保留几位小数。 注意：一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2和5 以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。 4、小数化成百分数：只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。 5、百分数化成小数：把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。 6、分数化成百分数：通常先把分数化成小数，再把小数化成百分数。除不尽时，通常保留三位小数。 7、百分数化成分数：先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。 （五）数的整除：整数a除以整数b(b 0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a 。 * 1、把一个合数分解质因数，通常用短除法。先用能整除这个合数的质数去除，一直除到商是质数为止，再把除数和商写成连乘的形式。 2、用短除法求几个数的最大公因数的方法：先用这几个数的公因数连续去除，一直除到所得的商互质（或两两互质），然后把所有的除数连乘，所得的积就是这几个数的的最大公因数 。3、用短除法求几个数的最小公倍数的方法：先用这几个数（或其中的部分数）的公因数去除，一直除到互质（或两两互质）为止，然后把所有的除数和商连乘求积，这个积就是这几个数的最小公倍数。 （六）约分和通分 1、约分的方法：用分子和分母的公因数（1除外）去除分子、分母；通常要除到得出最简分数为止。 2、通分的方法：先求出原来的几个分数分母的最小公倍数，然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。（七）求一个数的倒数的方法分子分母调换位置，如果是小数要把小数化成分数，带分数化成假分数，再调换位置。三、性质和规律 （一）商不变的性质 在除法里，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（零除外），商不变。余数也随着扩大或缩小相同的倍数。 （二）小数的性质 在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变。 （三）小数点位置的移动引起小数大小的变化 1、小数点向右移动一位，原来的数就扩大10倍；小数点向右移动两位，原来的数就扩大100倍；小数点向右移动三位，原来的数就扩大1000倍 2、小数点向左移动一位，原来的数就缩小10倍；小数点向左移动两位，原来的数就缩小100倍；小数点向左移动三位，原来的数就缩小1000倍 3、小数点向左移或者向右移位数不够时，要用“0补足。 （四）分数的基本性质 分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数（零除外），分数的大小不变。 （五）分数与除法的关系 1、被除数除数= 2、因为零不能作除数，所以分数的分母不能为零。 四、运算（一）四则运算的意义 1、加法：把两个数合并成一个数的运算叫做加法。 2、减法：已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算叫做减法。 加法和减法互为逆运算。 3、乘法：求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。 0和任何数相乘都得0； 1和任何数相乘都得任何数。 4、除法：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做除法。 乘法和除法互为逆运算。 注意： 0不能做除数。（因为0和任何数相乘都得0，若被除数为0，则商不确定；若被除数不为0，则商不存在。 ） * 乘方: 求几个相同因数的积的运算叫做乘方。 例如 3 3 =3 2 ； 5 5 5 =5 3 ）（二）运算定律 1、加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。即a+b=b+a 。 2、加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一个数相加，和不变。即 （a+b)+c=a+(b+c) 。 3、乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变，即 ab=ba。 4、乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再和第三个数相乘；或者先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，积不变。，即 (ab)c=a(bc) 。5、乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加。即 (a+b)c=ac+bc 。 6、减法的性质：从一个数里连续减去几个数，等于从这个数里减去所有减数的和，差不变。即 a-b-c=a-(b+c) 。（三）运算法则 1、整数加法计算法则：相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进一。 2、整数减法计算法则：相同数位对齐，从低位减起，哪一位上的数不够减，就从前一位退一作十，和本位上的数合并再减。 3、整数乘法计算法则：先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数，用因数哪一位上的数去乘，乘得的数的末尾就对齐哪一位，然后把各次乘得的数加起来。 4、整数除法计算法则：先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位； 如果不够除，就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面。如果哪一位上不够商1，要补“0”占位。每次除得的余数要小于除数。 5、小数乘法计算法则：先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果位数不够，就用“0”补足。 6、小数除法计算法则：除数是整数的：先按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添“0”，再继续除。 除数是小数的：先移动除数的小数点，使它变成整数，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法法则进行计算。 7、同分母分数加减法计算方法:同分母分数相加减，分母不变，只把分子相加减。 8、异分母分数加减法计算方法:先通分，然后按照同分母分数加减法的的法则进行计算。 9、带分数加减法计算方法:整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的数合并起来。 10、分数乘法计算法则:分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变；分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。 11、分数除法计算法则:除以一个数（0除外），等于乘这个数的倒数。 （五）运算顺序 没有括号的混合运算:同级运算从左往右依次运算；两级运算 先算二级运算（乘、除法），后算一级运算（加、减法）。 有括号的混合运算:先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。 第一级运算：加法和减法叫做第一级运算。 第二级运算：乘法和除法叫做第二级运算。五、应用 （一）整数和小数的应用 1、简单应用题 （一步运算解答）(1)解题步骤： A、 审题理解题意：了解应用题的内容，知道应用题的条件和问题。读题时，不丢字不添字边读边思考，弄明白题中每句话的意思。也可以复述条件和问题，帮助理解题意。 B、选择算法和列式计算：这是解答应用题的中心工作。从题目中告诉什么，要求什么着手，逐步根据所给的条件和问题，联系四则运算的含义，分析数量关系，确定算法，进行解答并标明正确的单位名称。 C、检验：根据应用题的条件和问题进行检查看所列算式和计算过程是否正确，是否符合题意。如果发现错误，马上改正。 （2）简单应用题基本类型：A、加法应用题：a.求总数b.求比一个数多几的数 （求大数） B、减法应用题： a.求剩余b.求两个数相差多少 （求相差数）c.求比一个数少几的数 （求小数） C、乘法应用题： a求相同加数和（求几个几是多少）b求一个数的几倍是多少 （求多倍数）D、除法应用题： a.把一个数平均分成若干份，求一份是多少（ 求每份数）b.求一个数里包含几个另一个数的应用题 （求份数）c.求一个数是另一个数的的几倍的应用题 （求倍数）d.已知一个数的几倍是多少，求这个数 （求一倍数）2 复合应用题 （两步或两步以上运算解答）3、典型应用题 ： 具有独特的结构特征的和特定的解题规律的复合应用题，通常叫做典型应用题。 （1）平均数问题：平均数是等分除法的发展。 解题关键：在于确定总数量和与之相对应的总份数。 例：一辆车以每小时 100 千米的速度从甲地开往乙地，又以每小时 60千米的速度从乙地开往甲地。求这辆车的平均速度。 分析：求汽车的平均速度同样可以利用公式：总路程 总时间=平均速度。此题可以把甲地到乙地的路程设为“ 1 ”，则汽车行驶的总路程为“ 2 ”，从甲地到乙地的速度为 100千米，所用的时间为；汽车从乙地到甲地速度为 60 千米 ，所用的时间是 ，汽车共行的时间为：+= , 汽车的平均速度为：2 =75（千米） （2）归一问题： 数量关系式：单一量份数=总数量 （正归一） 总数量单一量=份数 （反归一） 例 ： 一个织布工人，在七月份织布 4774 米 ，照这样计算，织布6930米，需要多少天？ 分析：必须先求出平均每天织布多少米，就是单一量。 6930（477 431）=45（天） （3）归总问题： 特点：两种相关联的量，其中一种量变化，另一种量也跟着变化，不过变化的规律相反，和反比例算法彼此相通。 例： 修一条水渠，原计划每天修 800 米，6 天修完。实际 4 天修完，每天修了多少米？ 分析：因为要求出每天修的长度，就必须先求出水渠的长度。所以也把这类应用题叫做“归总问题”。不同之处是“归一”先求出单一量，再求总量，归总问题是先求出总量，再求单一量。 800 6 4=1200 （米） （4）行程问题： 同时同地相背而行：路程=速度和时间。 同时相向而行：相遇路程=速度和时间 同时同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及时间=追击路程速度差。同时同地同向而行（速度慢的在后，快的在前）：相差路程=速度差时间。 例： 甲在乙的后面 28 千米 ，两人同时同向而行，甲每小时行 16 千米 ，乙每小时行 9 千米 ，甲几小时追上乙？ 分析：甲每小时比乙多行（ 16-9 ）千米，也就是甲每小时可以追近乙（ 16-9 ）千米，这是速度差。已知甲在乙的后面 28 千米 （追击路程）， 28 千米 里包含着几个（ 16-9 ）千米，也就是追击所需要的时间。列式： 2 8 （16-9）=4 （小时） （二）分数和百分数的应用 1、分数乘法应用题：已知一个数，求它的几分之几是多少。 特征：已知单位“1”的量和分率，求与分率所对应的实际数量。 解题关键：准确判断单位“1”的量。找准要求问题所对应的分率，然后根据一个数乘分数的意义正确列式。 2、分数除法应用题：（1）求一个数是另一个数的几分之几（或百分之几）。 特征：已知一个数和另一个数，求一个数是另一个数的几分之几或百分之几。“一个数”是比较量，“另一个数”是标准量（单位“1”）。求分率或百分率，也就是求他们的倍数关系。 解题关键：从问题入手，搞清把谁看作标准的数也就是把谁看作了“单位1”，谁和单位一的量作比较，谁就作被除数。 例：甲是乙的几分之几（百分之几）:甲是比较量，乙是标准量，用甲除以乙。 甲比乙多几分之几（百分之几）： （甲-乙）乙甲比乙少几分之几（百分之几）： （乙-甲）乙 。 （2）已知一个数的几分之几（或百分之几 ) 是多少,求这个数。 特征：已知一个实际数量和它相对应的分率，求单位“1”的量。 解题关键：准确判断单位“1”的量把单位“1”的量看成x根据分数乘法的意义列方程，或者根据分数除法的意义列算式，但必须找准和分率相对应的已知实际数量。 3、百分率：与“求一个数是另一个数的百分之几”做法相同，注意：除法写成份数样，100%乘后面。 发芽率=发芽种子数/试验种子数100% 小麦的出粉率= 面粉的重量/小麦的重量100% 产品的合格率=合格的产品数/产品总数100% 职工的出勤率=实际出勤人数/应出勤人数100% 4、工程问题： 解题关键：把工作总量看作单位“1”，工作效率就是工作时间的倒数，然后根据题目的具体情况，灵活运用公式。 5、纳税：收入税率=应纳税额 缴纳的税款叫应纳税款。应纳税额与各种收入的（销售额、营业额、应纳税所得额 ）的比率叫做税率。6、折扣：原价折扣=现价 7、利息：利息=本金利率时间 存入银行的钱叫做本金。取款时银行多支付的钱叫做利息。利息与本金的比值叫做利率。 第二章 量与计量 一、名数单名数：只带有一个计量单位的名数叫做单名数。如：8.7吨，17.3升等都是单名数。 复名数：带有两个或两个以上同类计量单位的名数叫做复名数。如1元5角； 9小时30分39秒等都是复名数。二、转换高级单位低级单位的方法：高级单位的数进率低级单位高级单位的方法：低级单位的数进率第三章 代数初步知识 一、用字母表示数 1、用字母表示数的写法 （1）数字和字母、字母和字母相乘时，乘号可以记作“.”，或者省略不写，数字要写在字母的前面。 （2）当“1”与任何字母相乘时，“1”省略不写。 （3）在一个问题中，同一个字母表示同一个量，不同的量用不同的字母表示。 （4）用含有字母的式子表示问题的答案时，除数一般写成分母，如果式子中有加号或者减号，要先用括号把含字母的式子括起来，再在括号后面写上单位的名称。 2、将数值代入式子求值 （1）书写格式：先写出字母等于几，然后写出原式，再把数代入式子求值。字母表示的是数，后面不写单位名称。 如：当a=15时，3a+5=315+5=45+5=50（2）同一个式子，式子中所含字母取不同的数值，那么所求出的式子的值也不相同。 二、简易方程 1、方程：含有未知数的等式叫做方程。 （1）方程是等式，又含有未知数，两者缺一不可。 （2）方程和算术式不同。算术式是一个式子，它由运算符号和已知数组成，它表示未知数。方程是一个等式，在方程里的未知数可以参加运算，并且只有当未知数为特定的数值时，方程才成立 。 2、方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 3、解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 4、列方程解应用题 （1）列方程解答应用题的步骤： A、弄清题意，确定未知数并用x表示； B、找出题中的数量之间的相等关系； C、列方程，解方程； D、检查或验算，写出答案。 （2）小学范围内常用方程解的应用题： A、一般应用题； B、和倍、差倍问题； C、几何形体的周长、面积、体积计算；D、 分数、百分数应用题； E、比和比例应用题。 三、比和比例 （一）比的意义和性质 1、比的意义： 两个数相除又叫做两个数的比。 A、 “：”是比号，读作“比”。比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。 B、同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商。 同分数比较，比的前项相当于分子,后项相当于分母,比值相当于分数值。 C、比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可能是整数。 D、比的后项不能是零。 2、比的性质: 比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数（0除外），比值不变，这叫做比的基本性质。 3、求比值和化简比 A、 求比值的方法：用比的前项除以后项，它的结果是一个数值可以是整数，也可以是小数或分数。 B、根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。它的结果必须是一个最简比，即前、后项是互质的数。 4、比例尺: 图上距离：实际距离=比例尺 A、要求会求比例尺:已知图上距离和比例尺求实际距离；已知实际距离和比例尺求图上距离。 B、线段比例尺：在图上附有一条注有数目的线段，用来表示和地面上相对应的实际距离。 5、按比例分配:在农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种分配的方法通常叫做按比例分配。 方法：首先求出各部分占总量的几分之几，然后求出总数的几分之几是多少。或：先求出一份数，再求几份数是多少例如，长方形：周长2再按比例分长方体：棱长总和4再按比例分（二）比例的意义和性质 1、比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。 组成比例的四个数，叫做比例的项。 两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。 2、比例的性质：在比例里，两个外项的积等于两个两个内向的积。这叫做比例的基本性质。 3、解比例: 根据比例的基本性质，求比例中的未知项。 4、正比例和反比例 （1）成正比例的量: 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。 用字母表示: y/x=k(一定） （2）成反比例的量: 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。 用字母表示: xy=k(一定) 第四章 空间与图形一、线和角 1、线 （1）直线：直线没有端点；长度无限；过一点可以画无数条，过两点只能画一条直线。 （2）射线：射线只有一个端点；长度无限。 （3）线段：线段有两个端点，它是直线的一部分；长度有限；两点的连线中，线段最短。 （4）同一平面内，两直线之间的位置关系：A、平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 两条平行线之间的距离处处相等。 B、相交垂线：两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线,相交的点叫做垂足。 从直线外一点到这条直线所画的垂线的长叫做这点到直线的距离。（直线外一点到这条直线的连线中，垂线段最短。） 2、角：从一点引出两条射线，所组成的图形叫做角。（1）名称：这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。 （2）角的分类 锐角：小于90 直角：=90 钝角：大于90而小于180平角：角的两边成一条直线，平角=180。 周角：角的一边旋转一周，与另一边重合。周角=360。二、平面图形 1、长方形特征：对边相等，4个角都是直角的四边形。有两条对称轴。 2、正方形特征：四边相等，四个角都是直角的四边形。有4条对称轴。3、三角形：由三条线段围成的图形。（1）特征： 内角和是180度。两边之和大于第三边。三角形具有稳定性。三角形有三条高。（锐角三条高交于三角形内的一点。） （2）分类： a.按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。 b.按边分：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形。（3）等腰三角形：两个锐角各为45度，它有一条对称轴。有两条边（腰）长度相等；两个底角相等；有一条对称轴。 等边三角形：三条边长度都相等；三个内角都是60度；有三条对称轴。 4、平行四边形：两组对边分别平行的四边形。 特征：相对的边平行且相等；对角相等，相邻的两个角的度数之和为180度。平行四边形容易变形。 5、梯形：只有一组对边平行的四边形。 6、圆 （1）圆的认识 平面上的一种曲线图形。 圆心：圆中心的一点叫做圆心。一般用字母o表示。 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。一般用r表示。 在同圆或等圆里，有无数条半径，且长度相等。 直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用d表示。 在同圆或等圆里，有无数条直径，且长度相等。 特征：同一个圆里，直径等于两个半径的长度，即d=2r。 圆的位置由圆心决定；圆的大小由半径决定。两端都在圆上的线段中，直径最长。圆有无数条对称轴。 画圆时，圆规两脚分开的距离即半径。 （2）圆周率：任意一个圆的周长和直径的比值是一个固定的数，叫做圆周率。用字母表示。（3）一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。例如：在同一个圆里，半径扩大3倍，那么直径和周长就都扩大3倍，而面积扩大9倍。两个圆： 半径比 = 直径比 = 周长比；而面积比（半径或直径或周长的）平方的比。例如：两个圆的半径比是23，那么这两个圆的直径比和周长比都是23，而面积比是49（4）任意一个正方形与它内切圆（正方形里最大的圆）的面积之比都是一个固定值，即：（4）。圆的面积占正方形面积的157/200，或78.5%。任意一个正方形与它内切圆周长之比也是：（4）。圆的周长占正方形周长的157/200，或78.5%。（5）当长方形、正方形、圆的周长相等时，圆面积最大，正方形居中，长方形面积最小。反之，面积相同时，长方形的周长最长，正方形居中，圆周长最短。7、圆环 特征：由两个半径不相等的同心圆相减而成，有无数条对称轴。 面积计算公式：s=R2-r2 s=(R2-r2） 三、立体图形 （一）长方体 1、特征：六个面都是长方形（有时有两个相对的面是正方形）。 相对的面面积相等，12条棱相对的4条棱长度相等。 有8个顶点。2、相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长、宽、高。3、把长方体放在桌面上，最多只能看到三个面。 （二）正方体：正方体可以看作特殊的长方体。 特征：六个面都是正方形，六个面的面积相等； 12条棱，棱长都相等； 有8个顶点。 （三）圆柱 1、特征：圆柱有2个圆形的底面；有一个曲面叫做侧面。侧面沿高展开是长方形，当底面周长与高相等时，展开是正方形。2、两个底面之间的距离叫做圆柱的高，圆柱有无数条高。（四）圆锥 1、特征：圆锥有1个底面是个圆，侧面是个曲面，沿母线展开是扇形。2、从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高，圆锥只有1条高。 3、测量圆锥的高：先把圆锥的底面放平，用一块平板水平地放在圆锥的顶点上面，竖直地量出平板和底面之间的距离。 四、图形的变换与位置1、图形的变换（1）平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。平移不改变图形的形状和大小。（2）旋转：在平面内，将一个图形绕一定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。旋转不改变图形的形状和大小。（旋转中心、旋转方向、旋转角度。）（3）轴对称：两个图形，如果沿着某一条直线对折后，它们能完全重合，那么这两个图形成轴对称。如果某一个图形沿着某条直线对折后两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。1条对称轴：等腰三角形、等腰梯形、扇形、角、线段2条对称轴：长方形、菱形 3条对称轴：等边三角形4条对称轴：正方形 无数条对称轴：圆、圆环2、确定方位（1）用上、下、左、右、前、后来描述位置，主要用来确定现实空间中物体的位置。（2）用东、西、南、北等方向来表述位置或用方向和距离相结合的方法来描述位置，既可以用来确定现实空间中物体的位置，也可以用来确定平面上物体的位置。北东北东东南南西南西西北用方向来描述平面上物体位置时，图形中表示的方向通常是“上北下南、左西右东”，图中一般要标出 北 。 用方向和距离结合起来描述位置时，要注意三个要素：一是观测点（即参照物），二是方向，三是距离。（3）用数对表示位置，主要用来确定平面上物体的位置。 用数对来表示位置时，通常把竖排叫列，横排叫行。确定第几列时从左往右数，确定第几行时，从前往后数或从下往上。表示列的数在前，表示行的数在后，中间用“，”号相隔，数对加上小括号。数对：（列数，行数）。第五章 简单的统计 一、统计表 1、单式统计表：只含有一个项目的统计表。 2、复式统计表：含有两个或两个以上统计项目的统计表。 * 3、百分数统计表：不仅表明各统计项目的具体数量，而且表明比较量相当于标准量的百分比的统计表。 二、统计图 1、条形统计图：用一个单位长度表示一定的数量，用直条的长短表示数量的多少。 A、优点：很容易看出各种数量的多少。 B、注意：画条形统计图时，直条的宽窄必须相同。并注明数量。 复式条形统计图中表示不同项目的直条，要用不同的线条或颜色区别开，并在制图日期下面注明图例。 2、折线统计图：用一个单位长度表示一定的数量，用折线的起伏表示数量的增减变化。A、优点：不但可以表示数量的多少，而且能够清楚地表示出数量增减变化的情况。 B、注意：折线统计图的横轴表示不同的年份、月份等时间时，不同时间之间的距离要根据年份或月份的间隔来确定。 纵轴要注意波浪线的含意。 3、扇形统计图：用整个圆的面积表示总数，用圆内扇形面积表示各部分占总数的百分比A、优点：很清楚地表示出各部分同总数之间的关系。 B、注意：在每个扇形中标明所表示的各部分数量名称和所占的百分数，并用不同颜色或条纹把各个扇形区别开。三、统计量1、平均数：一组数据的总和除以这组数据的个数所得到的商。与这组数据中的每个数都有关系，易受极端数据的影响。A、总数量总份数=平均数B、优点：反映了一组数据的平均大小，常用来表示数据总体的“平均水平”。2、中位数：将一组数据按大小顺序排列，最中间位置的一个数或最中间的两个数的平均数。不易受极端数据的影响。A、最中间一个数=中位数中间两数之和2=中位数B、优点：像一条分界线，将数据分成前半部分和后半部分，因此用来代表一组数据的“中等水平”。3、众数：在一组数据中出现次数最多的数。不易受极端数据的影响。A、出现次数最多的数=众数B、优点：反映了出现次数最多的数据，用来代表一组数据的“多数水平”。4、相同点：这三个统计量： 都是来描述数据集中趋势的统计量；都可以用来反映数据的一般水平；都可以用来作为一组数据的代表。四、可能性1、确定现象与不确定现象：（1）确定现象：生活中有些事件的发生是确定的。一般用“一定发生”或“不可能发生”来描述。 （2）不确定现象：生活中有些事件的发生是不确定的，一般用“可能发生”来描述。2、可能性大小的表示：“不可能”可以用“0”来表示；“一定能”可以用“1”来表示；“可能”可以用分数或百分数来表示它的大小。在可能发生的事件中，如果出现该事件的情况较多，我们就说该事件发生的可能性较大；如果出现该事件的情况较少，我们就说该事件发生的可能性较小。3、可能性的应用：判断游戏规则的公平性。在游戏规则里，如果每种现象发生的可能性都相等，这个规则是公平的；如果各种现象发生的可能性不相等，规则是不公平的。公平性就是只参与游戏活动的每一个对象获胜的可能性是相等的。