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第二节 估计量的评价标准,一、问题的提出,二、无偏性,三、有效性,四、相合性,第六章,一、问题的提出,从前一节可以看到, 对于同一个参数, 用不同的估计方法求出的估计量可能不同.然而, 原则上任何统计量都可以作为未知参数的估计量.,问题,(1) 对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好?,(2) 评价估计量优劣的标准是什么?,下面介绍几个常用标准.,下面介绍几个常用标准：,1）无偏性； 2）有效性； 3）最小方差无偏估计 4） 相合性.,二、无偏性,定义6.2,证,例1,特别地,不论总体 X 服从什么分布,只要它的数学期望存在,证,例2,分析,例3,设总体X的方差D(X)存在，且 D(X) 0, (X1, X2 , , Xn ) 为来自总体X的样本，试选择适当的常数C，使得,为D(X)的无偏估计.,需选择C，使,而X1, X2 , , Xn 相互独立，且与X 同分布,解,依题意，要求：,注,一般地，一个参数 的无偏估计量不唯一.,如：设样本(X1, X2 , , Xn ) 来自总体X，E(X)=,也均是的无偏估计.,问题：,对于同一个参数的多个无偏估计量，如何评价它们的优劣？,三、有效性,换句话说，,的波动越小，即方差,越小越好.,定义6.3,例4,来自总体X的样本，问：下列三个对 的无偏估计量哪一个最有效？,解,注,一般地，在 的,无偏估计量,可用求条件极值的拉格朗日乘数法证明,(1) 证,例5,解,背景,随机抄n个自行车的号码，由这n个号码来估计某市市区的自行车总数N.,如：样本值 100, 1000, 10000, 100000, 1000000.,可算得：,四、 最小方差无偏估计量,定义,注,最小方差无偏估计是一种最优估计.,问题：,无偏估计的方差是否可以任意小?如果不能任意小,那么它的下界是什么?,定理*6.1(Rao-Cramer不等式),设是实数轴上的一个开区间,总体X的分布密度为p(x;), 是来自总体X的一个样本, 是参数的一个无偏估计量,且满足条件:,上不等式的右端称为罗-克拉美下界, I()称为 Fisher信息量.,注,(1) I()的另一表达式为,(2) 定理6.1对离散型总体也适用.,3. 有效估计,定义6.4,定义6.5,说明,(2) 求有效估计的方法和求MVUE的方法完全一样.,所以,五、相合性,例如,定义6.6,相合估计量(或一致,估计量).,证,(1) 由大数定律知,例6,由大数定律知,通过此例题,我们看到,要证明一个估计量具有相 合性,必须证明它依概率收敛,这有时很麻烦.因此,我们 下面我们不加证明的给出一个相合性的判定定理.,所以 是 的相合估计,六、小结,估计量的评选的四个标准，但要求一下三个标准,无偏性,有效性,相合性,相合性是对估计量的一个基本要求, 不具备相合性的估计量是不予以考虑的.,由最大似然估计法得到的估计量, 在一定条件下也具有相合性.估计量的相合性只有当样本容量相当大时,才能显示出优越性, 这在实际中往往难以做到,因此,在工程中往往使用无偏性和有效性这两个标准.,本 节 结 束！,证,例5,由以上两例可知,一个参数可以有不同的无偏估计量.,证明,例6 (续例5),
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