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概率论与数理统计,二、无偏估计,第二节 估计量的评价标准,三、最小方差无偏估计,四、有效估计,五、相合估计(一致估计),一、问题的提出,一、问题的提出,究竟采用哪一个估计量更好呢？这就,个数字特征出发，引入无偏性，有效性，,对于总体分布中的同一个未知参数,若采用不同的估计方法，可能得到不同的,产生了如何评价与比较估计量的好坏的问,题，我们从估计量的数学期望及方差这两,最小方差无偏估计和相合性等概念。,二、无偏性,设 是参数 的一个,估计量，如果,，满足关系式,则称 是 的渐近无偏估计量.,估计量 如果不是无偏估计量, 就称这个估,计量是有偏的，称 为估计量 的偏差 .,例1,证,故 是 的渐近无偏估计.,例2,设总体 服从区间 上的均匀分布,是总体 的一个样本 .,试证：参数 的矩估计量 是 的无偏,的渐近无偏估计.,证,故 的矩估计 是无偏估计量.,所以,但是,即 是 的渐近无偏估计量.,但只要修正为,那么 也是 的无偏估计量.,1一个未知参数可能有不止一个无偏估计量 .,都是无偏估计量.,2有时一个参数的无偏估计可能不存在.,例如，设总体 则 | | 就没有无偏,估计. 其中 .,注,3有时无偏估计可能明显不合理.,数值时，估计值为负数. 用一个负数估计 ，,明显不合理 .,三、最小方差无偏估计,定义6.4,如果存在 一个无偏估计量 ,使对 的任意无偏,估计量 ,都有,则称 是 的最小方差无偏估计(量).,缩写为MVUE.,最小方差无偏估计是一种最优估计.,例3,设总体 服从区间 上的均匀分布,解,显然当 时,即 比 有效.,例4,量哪一个最有效?,解,注,可用求条件极值的拉格朗日乘数法证明,的估计序列，如果 依概率收敛于 ，即对,任意 , 有：,或,则称 是 的相合估计(或一致估计).,四、相合估计(一致估计),证明,由于,定理6.2,令 , 由定理的假设得,即 是 的相合估计,均值 的相合估计.,若总体 的 和 都存在 , 证明 是总体,证,因为,故 是总体均值 的相合估计.,一般样本的 阶原点矩 是总体 阶,原点矩的相合估计. 矩估计往往是相合估计.,例9,估计量的评选的四个标准，但要求一下三个标准,无偏性,有效性,相合性,相合性是对估计量的一个基本要求, 不具备,由最大似然估计法得到的估计量, 在一定条,相合性的估计量是不予以考虑的.,有效性这两个标准.,件下也具有相合性.估计量的相合性只有当样本,容量相当大时,才能显示出优越性, 这在实际中,往往难以做到,因此,在工程中往往使用无偏性和,内容小结,再见,为D(X)的无偏估计.,备用题 例2-1,解,依题意，,解,例5-1,设总体 的二阶矩存在，,是来自总体 X 的一个样本 ， .,试证 是总体均值 的相合估计.,证,因为,例9-1,故 是 总体均值 的相合估计.,
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