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第一章 行列式,1 二阶与三阶行列式,1. 二阶行列式,二元线性方程组,当,时，方程组有唯一解,用消元法,得,记,则有,于是,二阶行列式，记作,也称为方程组的系数行列式。,行标,列标,(1,2) 元素,对角线法则:,例. 解方程组,解：,2. 三阶行列式,类似地，讨论三元线性方程组,为三阶行列式, 记作,称,对角线法则：,例：,2 全排列与逆序数,定义1：把 n 个不同的元素排成的一列, 称为这 n 个元素的一个全排列, 简称排列。,把 n 个不同的元素排成一列, 共有 Pn个排列。,P3 = 321 = 6,例如：1, 2, 3 的全排列,123，231，312，132，213，321,共有321 = 6种，即,一般地，Pn= n(n-1)321= n!,P3 = 321 = 6,标准次序：标号由小到大的排列。,定义2：,在n个 元素的一个排列中，若某两个元素 排列的次序与标准次序不同，就称这两个 数构成一个逆序，一个排列中所有逆序的 总和称为这个排列的逆序数。,一个排列的逆序数的计算方法：,设 p1 p2 pn 是 1，2，n 的一个排列，,用 ti 表示元素 pi 的逆序数，即排在 pi 前面并比,t = t1 + t2 + + tn,pi 大的元素有 ti 个，则排列的逆序数为,例4：求排列 32514 的逆序数。,解：,逆序数为奇数的排列称为奇排列。,逆序数为偶数的排列称为偶排列。,例如：123 t = 0 为偶排列，,312 t = 2 为偶排列。,321 t = 3 为奇排列，,3 n 阶行列式的定义,观察二、三阶行列式，得出下面结论：,每项都是处于不同行不同列的n个元素的乘积。 2. n 阶行列式是 n！项的代数和。 3. 每项的符号都是由该项元素下标排列的奇偶性 所确定。,定义1： n! 项,的和,称为 n 阶行列式 (n1)，记作,例1：写出四阶行列式中含有因子,的项。,例2：,计算四阶行列式,D =,acfh,+ bdeg, adeh, bcfg,重要结论：,(1),上三角形行列式,(2),下三角形行列式,(3) 对角行列式,(4) 副对角行列式,行列式的等价定义,5 行列式的性质,称 DT 为 D 的转置行列式。,设,则,D 经过“行列互换”变为 DT,性质1：行列式与它的转置行列式相等。,证明：设,则,由行列式定义,性质2：互换行列式的两行 ( 列 )，行列式变号。,互换 s、t 两行：,互换 s、t 两列：,“运算性质”,推论：若行列式有两行（列）相同， 则行列式为 0 。,性质3：用非零数 k 乘行列式的某一行（列）中 所有元素，等于用数 k 乘此行列式。,“运算性质”,用 k 乘第 i 行：,用 k 乘第 i 列：,推论：行列式中某一行（列）的公因子可以提到 行列式符号外面。,性质4：若行列式有两行（列）的对应元素成比 例，则行列式等于0 。,性质5：若某一行是两组数的和，则此行列式就等 于如下两个行列式的和。,性质6：行列式的某一行（列）的所有元素乘以同 一数 k 后再加到另一行（列）对应的元素 上去，行列式的值不变。,用数 k 乘第 t 行加到第 s 行上： 用数 k 乘第 t 列加到第 s 列上：,“运算性质”,利用行列式性质计算：,（化为三角形行列式）,例1：计算,例2：计算,“行等和”行列式,例10：设,证明：,0,证明：利用行的运算性质 r 把,化成下三角形，,再利用列的运算性质 c 把,化成下三角形，,对 D 的前 k 行作运算 r，后 n 列作运算 c, 则有,例,6 行列式按行（列）展开,问题：一个 n 阶行列式是否可以转化为若干个 n1 阶行列式来计算？,对于三阶行列式，容易验证：,定义1：在 n 阶行列式中，把元素,所在的第 i 行,和第 j 列划去后，余下的 n1 阶行列式叫,的余子式, 记为,称为 (i, j)元素,的代数余子式。,做 (i, j) 元素, 同时,例如：,考虑( 2, 3) 元素,( 2, 3)元素的余子式,( 2, 3)元素的代数余子式,定理3：行列式等于它的任一行（列）的各元素与 其对应的代数余子式乘积之和，即,证明：分三种情况讨论，只对行来证明此定理。,(1),利用上一节例10的结论有,(2),设 D 的第 i 行除了,把 D 转化为 (1) 的情形,外都是 0 。,先把 D 的第 i 行依次与第 i 1行, 第 i 2行, , 第 1 行交换, 经过 i 1次行交换后得,再把 第 j 列依次与第 j1列, 第 j2列, , 第 1 列交换, 经过 j1次列交换后得,(3) 一般情形, 考虑第 i 行,例,或者,那么,推论：行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的 对应元素的代数余子式乘积之和等于零， 即,综上，得公式,例12: 证明范德蒙德( Vandermonde )行列式,证明：用数学归纳法,(1) 当 n = 2 时,(2) 设 n1 阶范德蒙德行列式成立, 则,=,有,个因子!,例：,例：,设,求,解:,例：,D,按第4列展开，然后各列的提出公因子,=,例：,D,例：,D,7 Cramer 法则,Cramer法则：,如果线性方程组,的系数行列式不等于零，,即,则线性方程组(11)有唯一解，,其中,证明：,再把 n 个方程依次相加，得,当 D0 时,方程组(1)也即(11)有唯一的解,于是,例1：用 Cramer 法则解线性方程组。,解：,定理4：,定理4：,如果线性方程组(11)的系数行列式 D0 则(11)一定有解, 且解是唯一的。,如果线性方程组(11)无解或有两个不同的 解，则它的系数行列式必为零。,Cramer 法则也可以叙述为,定理 4 的逆否命题是,线性方程组,非齐次与齐次线性方程组的概念:,不全为零，则称此方程,若常数项,组为非齐次线性方程组；若,全为零，,则称此方程组为齐次线性方程组。,齐次线性方程组,易知，,是(13)的解，称为零解。,若有一组不全为零的数是(13)的解，称为非零解。,定理5：,定理5：,如果齐次线性方程组的系数行列式 D0,则齐次线性方程组没有非零解。,对于齐次线性方程组有,如果齐次线性方程组有非零解，,则它的系数行列式必为0。,例：问 l 取何值时，齐次线性方程组,有非零解？,解：,因齐次方程组有非零解，则 D = 0,故 l = 0, 2, 3 时齐次方程组可能有非零解。,例: 求平面上两两不重合的三条直线,相交于一点的条件。,解：首先,由三条直线相交于一点，故线性方程组,有唯一解。,不妨设 ( x, y, 1) 是方程组(1)的解, 则它是方程组,的非零解。于是有,其次,由三条直线相交于一点，故其中任意二条直线相交于一点, 故非齐次线性方程组,都有惟一解。于是,
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