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22 三角分解法,2.2.1 杜里特尔分解法 求解线性代数议程组的三角分解法，起源于高斯消去法的矩阵形式。 高斯消去法消去过程中，将变换后增广矩阵的第k行-c倍加于第i行，相当于左乘初等矩陈,1,2,它们都是单位下三角矩阵，即对角元全为1、对角线上方元素全为零的矩阵。因此不选主元的高斯消去法消去过程，实质是增广矩陈 被左乘一系列倍加矩阵，变成上三角形矩阵 ，即,此式称为高斯消去法的矩阵形式。由此显然,这说明，高斯消去法的消去过程，实质上是把系数矩阵 分解为 单位下三角矩阵 与上三角矩阵 的乘积，并且求解议程组 的过程。回代过程就是求解上三角形方程组,3,矩阵 和 也可直接算出。事实上，比较等式 两 边等 行、第 列元素可知,注意 是单位下三角矩阵， 便知,从而,同样，因 为上三角阵， 知,4,可见,公式（2-2）和（2-3）就是计算 和 各元素的计算公式。 实际计算时 的对角元 不必存放， 和 中 肯定为零的元素也不必存放，因此 的 可共同存放在增广 矩阵 的位置：,此时公式（2-2）、（2-3）表明， 或 都是原始矩阵 对 应元素，减去同行左边 的元素与同列上边 的元素乘积；只是对 的元素，然后需除以 的对角元。计算顺序，通常先算 的第 行，再算 的第 列；也可先算 的第 列，再算 的第 行， 如图21所示：,5,图21 计算顺序,例21 分解 ，并解方程组 ，其中,解 按计算公式（2-2）和（2-3）,6,详细计算过程如下（下文不再写出）：,7,从而,回代（解方程组 ），得,分解 且 为单位下三角阵、 为上三角阵，称为杜里 特尔Dolittlse)分解。利用杜里特尔分解求解方程组 或 ， 相当于解两个三角形方程组,解下三角方程组 可以在分解 时同时完成（如例21）， 也可独立完成。这是因为，把 写成分量形式，就是,8,由此可见，,用杜里特尔分解求解方程组（2-1），所需乘除次数与高斯消 去法完全一样。其中分解 需 次，解 需 次，解 需 次，共计 次。,9,它们都是单位下三角矩阵，即对角全为1、对角线上方元素全为零的矩阵。因此不选主元的高斯消去过程，实质是增广矩阵 被左乘一系列倍加矩阵，变成上三角形矩阵 ,即 此式称为高斯消去法的矩阵形式。由此显然 注意 是将单位矩阵,三角分解法常用于求解系数矩阵都是 的若干方程式组,这是因为，一旦完成分解 ，只需再解 个三角形方程组,解这种三角形方程组每组只需 次乘除法，远比重复使用高斯消 去法节省工作量。,为保证三角分解顺序、稳定进行，与高斯消去法一样，也可选,主元。常用列主元法。,. 克洛特分解法,当矩阵 可作杜里特尔分解 时,令 为 对角元构,成的对角阵,则,10,再算第 行；或者先算第 行，再算第 列， 如图 22所示。克洛特分解法的用法及运算量与杜里特尔分解法相同。 例22 用克洛特分解法求解方程组,解,得,11,解 ，得解 。解毕。,为保证克洛特分解法顺利、稳定进行，也可采用列主元法。求解 步骤如下：,对 做,计算结束时 的第 列就是解 注意：例22中系数矩阵对称： ，此时 就是 各列除 以对角元所得矩阵的转置矩阵。一般来说 对称且可作克洛 特分解 ，记 的对角元构成的对角阵为 ， 各列除以对角元构成的单位下三角矩阵为 ，则,12,可见 ， ，说明 都是 各列除以对角元所得矩阵的 转置矩阵；说明对称矩阵 可分解为 或 。因此 可 由 直接求出，而不必再按公式（24）第二式重复计算。这样分解 可以节省 次乘法，即节约大约一半的运算量。 也可不存储。,2.2.3 追赶法 追赶法适于求解对角方程组 ,这里,13,其实质是高斯消去法、三角分解法的应用。事实上，将 作克特分解,则易知,回代得,。,按照这些公式次数求解 的方法就称追赶法，其中算 称追，回代称赶，共需乘除法次数为 ，远比一般方程组的高斯消去法或三角分解法节省运算量。实际问题提出的三对角方程组往往严格对角占优，因此不用选主元，就可保证顺利、稳定进行。,14,2.2.4 平方根法,平方根法适于求解 对称正定的方程组 。此时 的各 阶顺序主子式 ，保证了主元大于零，保证了 可作克特分解 而且 的对角元 （也就是主元）全为正数。所以令 ，则,再记 为 ，则上式表明。对称正定矩阵 可分解为 ， 即下三角矩阵及其转置矩阵的乘积，利用比较法可得 元素计算公式：,利用这种分解方程组 称为平方根法或乔列斯基(cholesky)分解法。 跟前种分解法一样，求解下三角方程组 可在分解 的同时进行。,15,例23 用平方根法求解例22方程组。,解,故知,解,解毕,平方根法求解方程组 ，需做 次乘除法和 次开方，比考虑到 对称的克洛特分解法节省 次乘除法但增加 次开方。为避免开主，有人提出了改进平方根法，不过它其实就是 考虑到 对称的克洛特分解法，如2.2.2节最后一段所述。,16,
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