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11.3 多边形及其内角和,1,知识回顾：,什么是三角形、三角形的边、顶点、内角和外角？,2,在平面内，由三条不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的图形叫做三角形。,记作：ABC,在平面内，由四条不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的图形叫做四边形。,记作：四边形ABCD,3,在平面内，由五条不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的图形叫做五边形。,在平面内，由六条不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的图形叫做六边形。,记作：六边形ABCDEF,记作：五边形ABCDE,4,多（n）边形的定义：,在平面内，由n条不在同一直线上的线段 首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。,多边形的内角和外角：,一个四边形有几个外角？,多边形相邻两边组成的角叫做它的内角； 多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.,5,多边形的对角线：,连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形 的对角线。,如图是四边形ABCD，求作它的所有对角线.,多边形的对角线,6,在图（1）中，画出四边形的任何一条边所在的直线，这个图形都在这条之间的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形； 而图（2）的四边形中，画出一边所在的直线后，图形在直线的两侧，我们就称其为凹四边形.,凸多边形与凹多边形,（通常所说的多边形都是指凸多边形）,7,问题 1 五边形、六边形分别有多少个内角？多少个外角？,答：五边形有5个内角，10个（5对）外角； 六边形有6个内角，12个（6对）外角.,问题：n边形有多少个内角？多少个外角？,答：n边形有n个内角，2n个（n对）外角.,8,如果多边形的各个角都相等，各条边都相等，那么就称它为正多边形.,如：正三角形、正四边形（正方形）、正五边形、正六边形等.,正多边形,9,议一议：,（1）一个多边形的边都相等，它的内角一定都相等吗？,（2）一个多边形的内角都相等，它的边一定都相等吗？,10,课时思考,11.3 多边形及其内角和,1.画出下列多边形的全部对角线.,11,课时思考,11.3 多边形及其内角和,2.四边形的一条对角线将四边形分成几个三角形？从五边形的一个顶点出发，可以画出几条对角线？它们将五边形分成几个三角形？,答：四边形的一条对角线将四边形分成2个三角形；从五边形的一个顶点出发，可以画出2条对角线？它们将五边形分成3个三角形.,12,问题2：你知道长方形和正方形的内角和是多少？ 任意一个四边形的内角和是多少？,问题1：你还记得三角形内角和是多少度？,（三角形的内角和等于180）,（都是360）,想一想,13,A,B,C,D,问题3：在探究四边形的内角和时，有的同学不是用量角器度量、计算得到，而是 按照如图所示，利用辅助线将四边形分割成两个三角形的方法，利用三角形内角和等于180，得到四边形内角和等于360。你能说明它的合理性吗？并且启发你能否借助辅助线找到不同的分割方法呢？,想一想,14,P,A,B,C,D,图 1,如图1，在四边形内任取一点P,连接PA、PB、PC、PD将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形，四边形内角和等于1804 360= 360,学一学,15,P,A,B,D,C,图 2,如图2，在四边形的一边上任取一点P,连接PB、PC，将四边形变成有一个公共顶点的三个三角形，四边形内角和等于180 3 180 = 360,16,P,A,B,C,D,图 3,如图3，在四边形外任取一点P,连接PA、PB、PC、PD将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形，四边形内角和等于180 3 180 = 360,17,你知道五边形的内角和吗？六边形呢？七边形呢？你能证明吗？,请你选择喜欢的一种方法解答上述问题。,想一想,18,n2,(n2)180,1,2,3,4,180,360,540,720,探究,19,你知道 n 边形的内角和吗？,1、利用在探究上述多边形内角何时得到的规律，可得 n边形的内角和等于（n2） 180.,想一想,20,2、我们也可以利用下列不同的方法分割多边形，得到 n 边形的内角和公式,试一试,21,解：如图，在四边形ABCD中， AC180 ABCD 180（42）360 BD 360（AC） 360180180,例1：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组 对角有什么关系？,如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补.,22,例2：如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和.求六边形的内角和.,解：六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角，都等于180.因此六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和等于6180. 这个总和就是六边形的外角和加上内角和，所以外角和等于总和减去内角和. 即外角和等于 6180（62）180 2180360,23,课时思考,天生我才,11.3 多边形及其内角和,3.如果将例2中的六边形换为n边形（n的值是不小于3的任意正整数），可以得到同样的结果吗？你能得出什么结论？,结论：,任何多边形的外角和都等于360.,24,4、（抢答） 八边形的内角和等于多少度？十边形呢？,（82) ,180= 1080,(102) ,180=,1440,25,5.求下列图形中x的值：,做一做,65,60,95,75,26,课后思考,11.3 多边形及其内角和,6.已知一个多边形每个内角都等于 108 ，求这个多边形的边数？,解法1：设这个多边形的边数为n. 180（n2）108n 解得 n5 解法2：设这个多边形的边数为n. （180108）n360 解得 n5 答：这个多边形的边数为5.,27,课后思考,11.3 多边形及其内角和,7.如图：ADAB，BCCD，则B与D是什么关系？为什么？,答：BD180 证明：ADAB，BCCD AC90 AC9090 180 BD180,28,8.在下面每个多边形中，从一个顶点出发，画出它所有的对角线，观察图形找规律填表：,天生我才,课后思考,11.3 多边形及其内角和,1,2,3,n3,29,天生我才,11.3 多边形及其内角和,拓广探索,9.以五边形为例，探索多边形的对角线与边数的关系. （1）从顶点A出发做对角线，可以作出 条.分别是 .从顶点B出发做对角线，可以作出 条.分别是 .同理：分别从C、D、E出发均可作出 条对角线.,2,AC、AD,2,BD、BE,2,30,11.3 多边形及其内角和,拓广探索,天生我才,9.以五边形为例，探索多边形的对角线与边数的关系. （2）分析：五边形有 个顶点，从每个顶点出发都可以作出 条对角线，按这样计算，五边形的对角线共有 条；不难发现，对每一条对角线都重复算了两次，事实上，五边形总共只有 条对角线，因此，五边形的对角线应表示为 . （只用算式表示）,5,（53）,5（53）,5,1/25（53）,31,天生我才,拓广探索,11.3 多边形及其内角和,9.以五边形为例，探索多边形的对角线与边数的关系. （3）猜想：六边形的对角线总共有 条（只用算式表示）；n边形对角线总共有 条. （4）应用：十边形的对角线共有 条.,1/26（63）,1/2n（n3）,35,32,再见!,33,
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