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等比数列一知识点梳理：1、等比数列的概念、有关公式和性质:（1）定义： (2)通项公式: (3)求和公式: (4)中项公式: 推广： (5)性 质： a、若m+n=p+q则 ; b、若成等差数列 （其中），则成等比数列。c、成等比数列。 d、 ， 2. 判断和证明数列是等比数列常有三种方法：(1)定义法:对于n2的任意自然数,验证为同一常数；(2)通项公式法；(3)中项公式法:验证都成立；(4) 若an为等差数列，则为等比数列（a0且a1）；若an为正数等比数列，则logaan为等差数列（a0且a1）。 二. 典型例题：【例1】若数列中，（n是正整数），则数列的通项 练习:1.若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设是公比为q的无穷等比数列,下列的四组量中,一定能成为该数列“基本量”的是第 组.(写出所有符合要求的组号) S1与S2; a2与S3; a1与an; q与an. 其中n为大于1的整数, Sn为的前n项和.2若等比数列的首项为，末项为，公比为，则这个数列的项数为()A3B4C5D63已知等比数列an满足a1a23，a2a36，则a7()A64 B81 C128 D2434等比数列an中，若a11，a48，则a5()A16 B16或16C32 D32或325已知an是公比为q(q1)的等比数列，an0，ma5a6，ka4a7，则m与k的大小关系是()Amk BmkCmk Dm与k的大小随q的值而变化6已知等比数列an的公比为正数，且a3a92a，a21，则a1()A. B. C. D27如果1，a，b，c，9成等比数列，那么()Ab3，ac9 Bb3，ac9Cb3，ac9 Db3，ac98. 数列的前n项和_9. 已知a + b + c , b + c a , c + a b , a + b c 成等比数列, 公比为q , 求证： (1) q3 + q2 + q = 1 ; (2) q = . 【例2】 已知数列,写出数列的通项公式练习：1、各项都是正数的等比数列an的公比q1，且a2，a3，a1成等差数列，则的值为()A. B.C. D.或2、若a，b，c成等比数列，则关于x的方程ax2bxc0()A必有两个不等实根 B必有两个相等实根C必无实根 D以上三种情况均有可能3. 设数列的各项为正数，若对任意的正整数与2的等差中项等于其前项和与2的等比中项，求的通项公式.【例3】(错位相减)求和：(1) 练习：1. 在等比数列中，S4=4，S8=20，那么S12= 2在等比数列an中，a1a21，a3a49，那么a4a5()A27 B27或27C81 D81或813设an是由正数组成的等比数列，公比q2，且a1a2a3a30230，那么a3a6a9a30等于()A210 B220C216 D2154如果数列an是等比数列，那么()A数列a是等比数列 B数列2an是等比数列C数列lgan是等比数列 D数列nan是等比数列5在等比数列an中，a5a76，a2a105.则等于()A或 B.C. D.或6若互不相等的实数a、b、c成等差数列，c、a、b成等比数列，且a3bc10，则a()A4B2C2D47一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有()A13项 B12项 C11项 D10项8 等比数列an中，a10，an是递增数列，则满足条件的公比q的取值范围是_9已知等差数列an的公差d0，且a1，a3，a9成等比数列，则的值为_10在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6则成等比数列，则此未知数是_11有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是8，后三个数依次成等差数列，它们的积为80，求出这四个数能力拓展提升一、选择题12已知2a3,2b6,2c12，则a，b，c()A成等差数列不成等比数列B成等比数列不成等差数列C成等差数列又成等比数列D既不成等差数列又不成等比数列13在数列an中，a12，当n为奇数时，an1an2；当n为偶数时，an12an1，则a12等于()A32 B34 C66 D6414已知公差不为零的等差数列的第k、n、p项构成等比数列的连续三项，则等比数列的公比为()A.B.C. D.15若方程x25xm0与x210xn0的四个根适当排列后，恰好组成一个首项为1的等比数列，则的值是()A4B2C.D.二、填空题16a、b、c成等比数列，公比q3，又a，b8，c成等差数列，则三数为_17现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是_三、解答题18某工厂三年的生产计划中，从第二年起每一年比上一年增长的产值都相同，三年的总产值为300万元如果第一年、第二年、第三年分别比原计划产值多10万元、10万元、11万元，那么每一年比上一年的产值的增长率都相同，求原计划中每年的产值19.(20102011山东临清实验高中高二期中)已知数列an的前n项和为Sn，点(n，Sn)在函数f(x)2x1的图象上，数列bn满足bnlog2an12(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)设数列bn的前n项和为Tn，当Tn最小时，求n的值；(3)求不等式Tnbn的解集参考答案例题1、 9n-1 练习1、1、4 2、B 解析()n1，()n1()3n4. 3、A 解析an是等比数列，a1a23，a2a36，设等比数列的公比为q，则a2a3(a1a2)q3q6，q2. a1a2a1a1q3a13，a11，a7a1q62664. 4、A 解析a4a1q3q38，q2，a5a4q16. 5、C 解析mk(a5a6)(a4a7)(a5a4)(a7a6) a4(q1)a6(q1)(q1)(a4a6) (q1)a4(1q2) a4(1q)(1q)20，q1)6、B 解析设公比为q，由已知得a1q2a1q82(a1q4)2，即q22，因为等比数列an的公比为正数，所以q，故a1，故选B.7、 B 解析由条件知，a20，b0，q. . 2、C 解析a，b，c成等比数列， b2ac0. 又b24ac3ac0，方程无实数根3、（an+2）/2=(2Sn) Sn=（an+2）2/8 Sn+1=（an+1+2）2/8 an+1=Sn+1-Sn=an+12/8+a(n+1)/2-an2/8-an/2 an+12/8-a(n+1)/2-an2/8-an/2=0 an+12-4an+1-an2-4an=0 a(n+1)=an+4 an=-2+4n例题3、 xSn=x+3x2+5x3+7x4+.+(2n-3)x(n-1)+(2n-1)xn 因为 Sn=1+3x+5x2+7x3+9x4+.+(2n-1)x(n-1) -得,(1-x)Sn=1+2x+x2+x3+x4+.+xn-1-(2n-1)xn (1-x)Sn=1+2(x-xn)/(1-x)-(2n-1)xn (1-x)Sn=1+(2x-2xn)/(1-x)-2nxn+xn (1-x)Sn=1+2x/(1-x)-2xn/(1-x)-2nxn+xn (1-x)Sn=1+2x/(1-x)+1-2n-2/(1-x)xn Sn=1+(2x)/(1-x)+1-2n-2/(1-x)xn/(1-x) 练习1、在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。(S12-S8)/(S8-S4)=(S8-S4)/S4 S12-S8=(S8-S4)2/S4=(20-4)2/4=64 S12=64+20=84 2、B 解析q29，q3，因此a4a5(a3a4)q27或27 3、B 解析设Aa1a4a7a28，Ba2a5a8a29，Ca3a6a9a30，则A、B、C成等比数列，公比为q10210，由条件得ABC230，B210，CB210220. 4、A 解析设bna，则()2q2，bn成等比数列； 2an1an常数；当an0时lgan无意义；设cnnan，则常数 5、D 解析a2a10a5a76. 由，得或.或.故选D. 6、D 解析消去a得：4b25bcc20，bc，c4b，a2b，代入a3bc10中得b2，a4. 7、 B解析设前三项分别为a1，a1q，a1q2，后三项分别为a1qn3，a1qn2，a1qn1.所以前三项之积aq32，后三项之积aq3n64.两式相乘得，aq3(n1)8，即aqn12.又a1a1qa1q2a1qn1aq64，即(aqn1)n642，即2n642.所以n12. 8、0q0，由三年总产值为300万元，得a100万元，又a10d，a10，a11d成等比数列，得(a10)2(a10d)(a11d)，(110d)(111d)1102d2d1100d10，或d11(舍)原计划三年的产值依次为90万元，100万元，110万元19、(1)依题意：Sn2n1(nN*)，当n2时，anSnSn12n2n12n1. 当n1，S1a11，an2n1(nN*) (2)因为bnlog2an12n13，所以数列bn是等差数列Tn(n)2. 故当n12或13时，数列bn的前n项和最小 (3)Tnbn(n13)0， 1n26，且nN*，所以不等式的解集为n|1n26，nN*
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