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修文县第一中学高一数学数列导学案 梅应奎数列导学案2.1 数列的概念及简单表示（一）【学习要求】1理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型2探索并掌握数列的几种简单表示法3能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式【学法指导】1在理解数列概念时，应区分数列与集合两个不同的概念2类比函数的表示方法来理解数列的几种表示方法3由数列的前几项，写出数列的一个通项公式是本节的难点之一，突破难点的方法：把序号标在项的旁边，观察项与序号的关系，从而写出通项公式【知识要点】1按照一定顺序排列的一列数称为 ，数列中的每一个数叫做这个数列的 数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做_项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项，排在第n位的数称为这个数列的第 项2数列的一般形式可以写成a1,a2,an,简记为 3项数有限的数列叫做 数列，项数无限的数列叫做_数列4如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的 公式【问题探究】探究点一数列的概念问题先看下面的几组例子：（1）全体自然数按从小到大排成一列数：0,1,2,3,4，；（2）正整数1,2,3,4,5的倒数排成一列数：1，；（3）精确到1,0.1,0.01,0.001，的不足近似值排成一列数：3,3.1,3.14,3.141，；（4）无穷多个1排成一列数：1,1,1,1,1，；（5）当n分别取1,2,3,4,5，时，(1)n的值排成一列数：1,1，1,1，1，.请你根据上面的例子尝试给数列下个定义探究数列中的项与数集中的元素进行对比，数列中的项具有怎样的性质？探究点二数列的几种表示方法问题数列的一般形式是什么？回忆一下函数的表示方法，想一想除了列举法外，数列还有哪些表示方法？探究下面是用列举法给出的数列，请你根据题目要求补充完整（1）数列：1,3,5,7,9，用公式法表示：an ；用列表法表示：（2）数列：1，用公式法表示：an .用列表法表示：用图象法表示为(在下面坐标系中绘出)：探究点三数列的通项公式问题什么叫做数列的通项公式？谈谈你对数列通项公式的理解？探究根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察数列的特征，并进行联想、转化、归纳，同时要熟悉一些常见数列的通项公式下表中的一些基本数列，你能准确快速地写出它们的通项公式吗？数列通项公式1,1，1,1，an 1,2,3,4，an 1,3,5,7，an 2,4,6,8，an 1,2,4,8，an 1,4,9,16，an 1，an 【典型例题】例1根据数列的通项公式，分别写出数列的前5项与第2 012项（1）ancos ；（2）bn.小结由数列的通项公式可以求出数列的指定项，要注意n1,2,3，.如果数列的通项公式较为复杂，应考虑运算化简后再求值跟踪训练1根据下面数列的通项公式，写出它的前4项（1）an2n1；（2）bn例2根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：（1）1，3,5，7,9，；（2），2，8，；（3）9,99,999,9 999，；（4）0,1,0,1，.小结据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；各项的符号特征和绝对值特征并对此进行联想、转化、归纳跟踪训练2写出下列数列的一个通项公式：（1）2，4，6，8，；（2）0.9,0.99,0.999,0.999 9，；（3），.例3已知数列an的通项公式an.（1）写出它的第10项；（2）判断是不是该数列中的项小结判断某数列是否为数列中的项，只需将它代入通项公式中求n的值，若存在正整数n，则说明该数是数列中的项，否则就不是该数列中的项跟踪训练3已知数列an的通项公式为an(nN*)，那么是这个数列的第_项【当堂检测】1下列叙述正确的是 ()A数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列 B数列0,1,2,3，可以表示为nC数列0,1,0,1，是常数列 D数列是递增数列2观察下列数列的特点，用适当的一个数填空：1，_，.3已知下列数列：（1）2 000,2 004,2 008,2 012； （2）0，；（3）1，； （4）1，；（5）1,0，1，sin ，； （6）6,6,6,6,6,6.其中，有穷数列是_，无穷数列是_，递增数列是_，递减数列是_，常数列是_，摆动数列是_，周期数列是_(将合理的序号填在横线上)【拓展提高】4写出下列数列的一个通项公式：（1）a，b，a，b，；（2）1，.【课堂小结】1an与an是不同的两种表示，an表示数列a1，a2，an，是数列的一种简记形式而an只表示数列an的第n项，an与an是“个体”与“整体”的从属关系2数列的表示方法：图象法；列表法；通项公式法；递推公式法3由数列的前几项归纳其通项公式的关键是观察、归纳各项与对应的项数之间的联系同时，要善于利用我们熟知的一些基本数列，通过合理的联想、转化而达到问题的解决2.1 数列的概念及简单表示（二）【学习要求】1理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项2能从函数的观点研究数列，掌握数列的一些简单性质【学法指导】1数列的递推公式是给出数列的另一重要形式一般只要给出数列的首项或前几项以及数列的相邻两项或几项之间的运算关系，就可以依次求出数列的各项2由于数列可以看作是一类特殊的函数，因此许多函数的性质可以应用到数列中例如，数列的单调性、数列的最值、数列的周期性都可以类比函数的性质【知识要点】1如果数列an的第1项或前几项已知，并且数列an的任一项an与它的前一项an1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的 公式2数列可以看作是一个定义域为 (或它的有限子集1,2,3，n)的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列 3一般地，一个数列an，如果从 起，每一项都大于它的前一项，那么这个数列叫做 数列如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，那么这个数列叫做 数列如果数列an的各项都 ，那么这个数列叫做常数列4已知数列an满足：a11，an1an1，则an ，从单调性来看，数列是单调 数列【问题探究】公元前13世纪意大利数学家斐波那契的名著算盘全书中，记载了一个著名的问题，某人有一对新生的兔子饲养在围墙中，如果它们每个月生一对兔子，且新生的兔子从第三个月开始也是每个月生一对兔子，问一年后围墙中共有多少对兔子？该问题在原书中作了分析：第一个月和第二个月都是最初的一对兔子，第三个月生下一对兔子，围墙内共有两对兔子，第四个月仍是最初的一对兔子生下一对兔子，共有3对兔子到第五个月除最初的兔子新生一对兔子外，第一个月生的兔子也开始生兔子，因此共有5对兔子继续推下去，第12个月时最终共有144对兔子书中还提出，每个月的兔子总数可由前两个月的兔子数相加而得据载首先是由19世纪法国数学家吕卡将级数an：1,1,2,3,5,8,13,21,34，an1anan1命名为斐波那契数列，它在数学的许多分支中有广泛应用数列的这种表达形式，是用前面的项来表达后面的项，我们称之为数列的递推公式，数列的递推公式有什么应用呢？这一节我们就来学习数列的递推公式探究点一数列的函数特性问题数列是一种特殊的函数，与函数相比，数列的特殊性表现在哪些方面？谈谈你的认识探究1数列的单调性下面给出了一些数列的图象： an2n1anan(1)n观察上述数列项的取值的变化规律，请类比单调函数的定义，把下列单调数列的定义补充完整一般地，一个数列an，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即 ，那么这个数列叫做递增数列；如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项，即 ，那么这个数列叫做递减数列；如果数列an的各项都相等，那么这个数列叫做常数列因此，要证明数列an是单调递增数列，只需证明an1an 0；要证明数列an是单调递减数列，只需证明an1an 0.探究2数列的周期性已知数列an中，a11，a22，an2an1an，试写出a3，a4，a5，a6，a7，a8，你发现数列an具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第2 012项是多少？探究点二由简单的递推公式求通项公式问题递推公式与通项公式，都可以用来写出数列中的任意项，都是给出数列的一种方法，那么它们究竟有什么不同呢？探究1对于任意数列an，等式：a1(a2a1)(a3a2)(anan1)an都成立试根据这一结论，求解下列问题已知数列an满足：a11，an1an2，试求通项an.探究2若数列an中各项均不为零，则有：a1an成立试根据这一结论求解下列问题已知数列an满足：a11，(n2)，试求通项an.【典型例题】例1在数列an中，已知a12，a23，an23an12an(n1)，写出此数列的前6项小结已知数列递推公式求数列通项时，依次将项数n的值代入即可跟踪训练1已知数列an中，a11，a2，(nN*，n3)，求a3，a4.例2已知数列an的通项公式为an.求证：数列an为递增数列小结数列是一种特殊的函数，因此可用函数单调性的方法来研究数列的单调性跟踪训练2已知数列an的通项公式是an，其中a、b均为正常数，那么an与an1的大小关系是 ()Aanan1 Banan1)，则图象呈上升趋势，即数列递增，即an递增an1an对任意的n (nN*)都成立类似地，有an递减an10，则数列an为 数列；若公差d0an为 数列d0an为 数列d0，d0，时，Sn取得最大值； 当a10，时，Sn取得最小值3求等差数列an前n项的绝对值之和，关键是找到数列an的正负项的分界点【拓展提高】等差数列习题课【学习要求】1熟练掌握等差数列的概念、通项公式、前n项和公式，并能综合运用这些知识解决一些问题2熟练掌握等差数列的性质、等差数列前n项和的性质，并能综合运用这些性质解决相关问题3熟练掌握等差数列的五个量a1，d，an，n，Sn的关系，能够用其中三个求另外两个【学法指导】a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题，一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解这种方法是解决数列运算的最基本方法，对此类问题，注意利用等差数列的性质以简化计算过程，同时在具体求解过程中还应注意已知与未知的联系及整体思想的运用【知识要点】1等差数列的通项公式an ，其中a1为首项，d为公差2等差数列的前n项和：一般地，若已知首项a1及公差d，用公式Sn 较好，若已知首项a1及末项an，用公式Sn 较好3若数列an是公差为d的等差数列，则有下列性质：若mnpq，则 (m，n，p，qN)；若Sk表示an的前k项和，则Sk，S2kSk，S3kS2k，是_数列若an有2k1项，kN，则中间一项是 ，S2k1_， 4对于数列an，一般地，我们称a1a2a3an为数列an的前n项和，用Sn表示，即Sna1a2a3an，若已知Sn，则an 【基础自测】1设Sn为等差数列an的前n项和，若S510，S105，则公差d为 ()A1 B1 C1 D22已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为()A1 B2 C3 D43在等差数列an中，若a1a4a8a12a152，则S15等于 ()A28 B30 C31 D324在等差数列an中，已知前三项和为15，最后三项和为78，所有项和为155，则项数n_【题型解法】题型一等差数列中基本量的运算例1等差数列an的前n项和记为Sn，已知a1030，a2050.（1）求通项an；（2）若Sn242，求n；小结在等差数列中，五个基本的量，只要已知三个量，就可以求出其他两个量，其中a1和d是两个最基本量，利用通项公式与前n项和公式，先求出a1和d，再求解跟踪训练1设an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知S77，S1575，Tn为数列的前n项和，求Tn.题型二等差数列前n项和的基本性质例2一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和小结解数列问题时，要注意数列性质的灵活应用，可以运用等差数列前n项和SnAn2Bn这一整体形式，避免繁琐复杂的计算跟踪训练2设等差数列an的前n项和为Sn，若SpSq(p，qN*且pq)，则Spq_题型三等差数列中的创新型问题例3下表给出一个“等差数阵”：47()()()a1j712()()()a2j()()()()()a3j()()()()()a4jai1ai2ai3ai4ai5aij其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数（1）写出a45的值；（2）写出aij的计算公式小结关于等差数列的创新型试题，常以图表、数阵、新定义等形式出现解决此类问题时通过对图表的观察、分析、提炼，挖掘出题目蕴含的有用信息，利用所学等差数列的有关知识加以解决跟踪训练3把自然数1,2,3,4，按下列方式排成一个数阵123456789101112131415根据以上排列规律，数阵中第n (n3)行从左至右的第3个数是_【当堂检测】1已知等差数列an中，a7a916，a41，则a12的值是()A15 B30 C31 D642在等差数列an中，a13a8a15120，则2a9a10的值为 ()A24 B22 C20 D83等差数列an中，S104S5，则等于 ()A B2 C D44已知等差数列an的公差d不等于0，Sn是其前n项和，给出下列命题：给定n(n2，且nN*)，对于一切kN*(k0，且S3S8，则S5与S6都是数列Sn中的最小项；点，(nN*)，在同一条直线上其中正确命题的序号是_(把你认为正确的命题序号都填上)【课堂小结】1等差数列是最基本、最常见的数列，等差数列的定义是研究解决等差数列的判定和性质，推导通项公式、前n项和公式的出发点2a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量表示，五个量a1，d，n，an和Sn中知三可求二通常的做法是利用公式联立方程(组)求解这是解决数列运算的最基本方法，具体求解时应注意已知与未知的联系及整体思想的运用2.4 等比数列（一）【学习要求】1通过实例，理解等比数列的概念并会应用2掌握等比中项的概念并会应用3理解等比数列的通项公式及推导【学法指导】1要善于通过实例的观察、分析、归纳，提炼等比数列的概念2学习等比数列时，要注意与等差数列进行类比，掌握两个数列的联系与区别3由等差中项类比得到等比中项时，要注意等比中项的存在前提是a，b必须同号，而且同号的两个数的等比中项有两个，它们互为相反数，这点与等差中项不同【知识要点】1如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的 都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，公比通常用字母 表示(q0)2an成等比数列q(nN*，q0)3等比中项的定义如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的 ，且G .4等比数列的通项公式： .【问题探究】探究点一等比数列的概念观察下面几个数列：1,2,4,8,16，1，1，1,1，1,1，1,2，4,8，上面这几组数列的共同点是： _像这样的数列，就叫做等比数列这个非零常数叫做等比数列的 问题下列所给数列中，等比数列的序号是_1,1,1,1,1，.0,1,2,4,8，.2，1,2，.，2,4,8,16，.探究点二等比中项问题请你类比等差中项的概念，给出等比中项的概念探究下表是等差中项与等比中项概念的对比，请填充完整.对比项等差中项等比中项定义若a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项若a，G，b成 数列，则G叫做a与b的等比中项定义式AabA公式AG 个数a与b的等差中项唯一a与b的等比中项有 个，且互为 备注任意两个数a与b都有等差中项只有当 时，a与b才有等比中项探究点三等比数列的通项公式问题如果等比数列an的首项为a1，公比为q，你能用归纳的方法给出数列an的通项公式吗？探究除了利用归纳法，你还有其它的方法推导等比数列
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