函数与导数二轮专用.doc

2011年数学周计划 函数和导数专项 二轮复习专用函数与导数第一轮 命题总结与思考【命题特点】函数的观点和方法既贯穿了高中代数的全过程，又是学习高等数学的基础，是高考数学中极为重要的内容，纵观全国及各自主命题省市近三年的高考试题，函数与导数在选择、填空、解答三种题型中每年都有试题，分值 26 分左右，函数的解答题在文、理两卷中往往分别命制，这不仅是由教学内容要求的差异所决定的，也与文理科考生的思维水平差异有关。文科卷中函数和导数的解答题，其解析式只能选用多项式函数；而理科卷则可在指数函数、对数函数以及三角函数中选取。高考对导数的考查主要以工具的方式进行命题，充分与函数相结合.其主要考点：（1）考查利用导数研究函数的性质（单调性、极值与最值）；（2）考查原函数与导函数之间的关系；（3）考查利用导数与函数相结合的实际应用题.从题型及考查难度上来看主要有以下几个特点：以填空题、选择题考查导数的概念、求函数的导数、求单调区间、求函数的极值与最值；与导数的几何意义相结合的函数综合题，利用导数求解函数的单调性或求单调区间、最值或极值，属于中档题；利用导数求实际应用问题中最值，为中档偏难题.复习建议：复习时，考生要“回归”课本，浓缩所学的知识，夯实基础，熟练掌握解题的通性、通法，提高解题速度。同时，许多高考试题在教材中都有原型，即由教材中的例题、习题引申变化而来。因此，考生必须利用好课本，夯实基础知识。【试题常见设计形式】函数和导数的内容在高考试卷中所占的比重较大，考查时有一定的综合性，并与数学思想方法紧密结合，对数学思想方法进行深入的考查，这种综合地统揽各种知识、方法和能力，在函数的考查中得到了充分的体现，函数与导数解答题在文、理两卷中往往分别命制，这既是由教学内容要求的差异所决定的，也与文、理科考生的思维水平差异有关，文科卷中的解答题，其解析式一般选用多项式函数；理科卷则常在指数函数、对数函数以及三角函数中选取。高考对导数的考查主要以工具的方式进行命题，充分与函数相结合.1利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题；2考查以函数为载体的实际应用题，主要是首先建立所求量的目标函数，再利用导数进行求解. 【突破方法技巧】1讨论函数的性质时，必须坚持定义域优先的原则.对于函数实际应用问题，注意挖掘隐含在实际中的条件，避免忽略实际意义对定义域的影响.2运用函数的性质解题时，注意数形结合，扬长避短.3对于含参数的函数，研究其性质时，一般要对参数进行分类讨论，全面考虑.如对二次项含参数的二次函数问题，应分a0和a0两种情况讨论，指、对数函数的底数含有字母参数a时，需按a1和0a1分两种情况讨论.4解答函数性质有关的综合问题时，注意等价转化思想的运用.5在理解极值概念时要注意以下几点：极值点是区间内部的点，不会是端点；若在（a，b）内有极值，那么在（a，b）绝不是单调函数；极大值与极小值没有必然的大小关系；一般的情况，当函数在a，b上连续且有有限个极值点时，函数在a，b内的极大值点和极小值点是交替出现的；导数为0的点是该点为极值点的必要条件，不是充分条件（对于可导函数而言）.而充分条件是导数值在极值点两侧异号.6求函数的最值可分为以下几步：求出可疑点，即0的解x0；用极值的方法确定极值；将（a，b）内的极值与，比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值；当在（a，b）内只有一个可疑点时，若在这一点处有极大（小）值，则可以确定在该点处了取到最大（小）值.7利用求导方法讨论函数的单调性，要注意以下几方面：0是递增的充分条件而非必要条件（0亦是如此）；求单调区间时，首先要确定定义域；然后再根据0（或0）解出在定义域内相应的x的范围；在证明不等式时，首先要构造函数和确定定义域，其次运用求导的方法来证明.8函数、导数的综合问题往往以压轴题的形式出现，解决这类问题要注意：(1)综合运用所学的数学思想方法来分析解决问题；(2)及时地进行思维的转换，将问题等价转化； (3)不等式证明的方法多，应注意恰当运用，特别要注意放缩法的灵活运用；(4)要利用导数这一工具来解决函数的单调性与最值问题.【典型例题分析】考点一、利用导数求解函数的单调性问题若f(x)在某区间上可导，则由f(x)0(f(x)0)可推出f(x)为增（减）函数，但反之则不一定，如：函数f(x)x3在R上递增，而f(x)0.f(x)在区间D内单调递增(减)的充要条件是f(x0)0(0)，且f(x)在(a，b)的任意子区间上都不恒为零.利用导数求解函数单调性的主要题型：(1)根据函数解析式，求函数的单调区间；(2)根据函数的单调性函数求解参数问题；(3)求解与函数单调性相关的其它问题，如函数图象的零点、不等式恒成立等问题.【例1】2010课标全国、设函数。（）若，求的单调区间；（II）若当时，求的取值范围于是当时，.由可得.从而当时，故当时，而，于是当时，.综合得的取值范围为.【例2】2010北京、已知函数()=In(1+)-+(0)。()当=2时，求曲线=()在点(1，(1)处的切线方程；()求()的单调区间。当时，得，.来源:学|科|网所以没在区间和上，；在区间上，故得单调递增区间是和，单调递减区间是【例3】2010天津、已知函数=xe-x（xR）.() 求函数的单调区间和极值；()已知函数y=的图象与函数y=的图象关于直线x=1对称，证明当x1时， ()如果且证明【解析】（）解： 令=0,解得x=1则=，所以,从而.因为，所以，又由（）可知函数在区间（-，1）内事增函数，所以,即2.【例4】2010山东已知函数.()当时，讨论的单调性；（）设当时，若对任意，存在，使，求实数取值范围.【解析】()原函数的定义域为（0，+，因为 =，所以当时，（）当时，在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意，有，又已知存在，使，所以，即存在，使，即，即，所以，解得，即实数取值范围是。考点二、求函数的极值问题极值点的导数一定为0，但导数为0的点不一定是极值点，同时不可导的点可能是极值点.因此函数的极值点只能在导数为0的点或不可导的点产生.利用导数求函数的极值主要题型：(1)根据函数解析式求极值；(2)根据函数的极值求解参数问题.解答时要注意准确应用利用导数求极值的原理求解.【例5】2010江西文17（本小题满分12分）设函数.（1）若的两个极值点为，且，求实数的值；（2）是否存在实数，使得是上的单调函数？若存在,求出的值；若不存在，说明理由.【解析】：（1）由已知有，从而，所以；（2）由，所以不存在实数，使得是上的单调函数.安徽文设函数，求函数的单调区间与极值.【例6】2010全国I文已知函数（I）当时，求的极值;（II）若在上是增函数，求的取值范围解：（）当时，在内单调减，在内单调增，在时，有极小值. 所以是的极小值.【例7】2010北京文设定函数，且方程的两个根分别为1，4。（）当a=3且曲线过原点时，求的解析式；（）若在无极值点，求a的取值范围。解：由 得 因为的两个根分别为1,4，所以 （*）（）当时，又由（*）式得解得又因为曲线过原点，所以故（）由于a0,所以“在（-，+）内无极值点”等价于“在（-，+）内恒成立”。由（*）式得。又解得即的取值范围考点三、求解函数的最值问题函数在闭区间上的最值是比较所有极值点与端点的函数值所得结果，因此函数在闭区间a，b上的端点函数值一定不是极值，但它可能是函数的最值.同时，函数的极值不一定是函数的最值，最值也不一定是极值.另外求解函数的最值问题，还可以直接结合函数的单调性来求解.利用导数求解函数最值问题的主要题型：(1)根据函数的解析式求函数的最大值；(2)根据函数在一个区间上的最值情况求解参数问题.【例8】2010福建文已知函数f（x）=的图像在点P（0,f(0)）处的切线方程为y=3x-2()求实数a,b的值；()设g（x）=f(x)+是上的增函数。 （i）求实数m的最大值； (ii)当m取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线若能与曲线y=g(x)围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由。解法一：（）由及题设得即。（）（）由得。中心对称。这也就表明，存在点，使得过点的直线若能与函数的图像围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等。解法二：（）同解法一。（）（）由得。是上的增函数， 在上恒成立，即在上恒成立。设。，即不等式在上恒成立。所以在上恒成立。令，可得，故，即的最大值为3.（）由（）得，将函数的图像向左平移1个长度单位，再向下平移个长度单位，所得图像相应的函数解析式为，。由于，所以为奇函数，故的图像关于坐标原点成中心对称。由此即得，函数的图像关于点成中心对称。这也表明，存在点，是得过点的直线若能与函数的图像围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等。【例9】2010江西设函数。（1）当a=1时，求的单调区间。（2）若在上的最大值为，求a的值。 解：对函数求导得：，定义域为（0，2）（1）当a=1时，令当为增区间；当为减函数。（2）区间上的最值问题，通过导数得到单调性，结合极值点和端点的比较得到，确定待定量a的值。当有最大值，则必不为减函数，且0，为单调递增区间。最大值在右端点取到。【例10】2010辽宁已知函数（I）讨论函数的单调性；（II）设.如果对任意，求的取值范围。故a的取值范围为（-，-2.12分【例11】2010广东省文、已知函数对任意实数均有，其中常数为负数，且在区间上有表达式（1） 求，的值；（2）写出在上的表达式，并讨论函数在上的单调性；（3）求出在上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值解：（1）（2）解法一：对任意实数， 解法二：当令即当令即当令即故在与上为增函数，在上为减函数（3）由函数在上的单调性可知，在或处取得最小值或，而在或处取得最大值或故有时，在处取得最小值，在处取得最大值时，在与处取得最小值在与处取得最大值时，在处取得最小值，在处取得最大值考点四、函数与导数综合问题导数是研究函数的工具，导数进入新教材之后，给函数问题注入了生机和活力，开辟了许多解题新途径，拓展了高考对函数问题的命题空间。所以把导数与函数综合在一起是顺理成章的事情，对函数的命题已不再拘泥于一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等，对研究函数的目标也不仅限于求定义域，值域，单调性，奇偶性，对称性，周期性等，而是把高次多项式函数，分式函数，指数型，对数型函数，以及初等基本函数的和、差、积、商都成为命题的对象，试题的命制往往融函数，导数，不等式，方程等知识于一体，通过演绎证明，运算推理等理性思维，解决单调性，极值，最值，切线，方程的根，参数的范围等问题，这类题难度很大，综合性强，内容新，背景新，方法新，是高考命题的丰富宝藏。解题中需用到函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与划归思想。【例12】2010全国I理 (20)(本小题满分12分)已知函数.（）若，求的取值范围；（）证明： .来源:Zxxk.Com【例13】2010陕西、已知函数f（x）=，g（x）=alnx，aR。()若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；()设函数h(x)=f(x)- g(x),当h(x)存在最小之时，求其最小值（a）的解析式；对()中的，证明：当a（0，+）时，1.解 （1）f(x)=,g(x)=(x0),由已知得 ，解德a=,x=e2,两条曲线交点的坐标为（e2,e）切线的斜率为k=f(e2)= ,切线的方程为y-e=(x- e2).（1） 当a.0时，令h (x)=0,解得x=,所以当0 x 时 h (x)时，h (x)0，h(x)在（0，）上递增。所以x是h(x)在（0， + ）上的唯一极致点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值点。所以=h()= 2a-aln=2（2）当a0时，h(x)=(1/2-2a) /2x0,h(x)在（0，+）递增，无最小值。故 h(x) 的最小值的解析式为2a(1-ln2a) (ao)（3）由（2）知=2a(1-ln2a)则=-2ln2a，令=0 解得 a =1/2当0a0，所以在(0,1/2) 上递增当a1/2时，0，所以在 (1/2, +)上递减。所以在(0, +)处取得极大值=1因为在(0, +)上有且只有一个极致点，所以=1也是的最大值所当a属于 (0, +)时，总有1考点五、导数与数学建模的问题此类试题主要是利用函数、不等式与导数相结合设计实际应用问题，旨在考查考生在数学应用方面阅读、理解陈述的材料，能综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，这是高考中的一个热点. 解答类似于本题的问题时，可从给定的数量关系中选取一个恰当的变量，建立函数模型，然后根据目标函数的结构特征(非常规函数)，确定运用导数最值理论去解决问题.【例14】2010湖北、为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度（单位：cm）满足关系：，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和（）求的值及的表达式；（）隔热层修建多厚对，总费用达到最小，并求最小值解：（）没隔热层厚度 cm，由题设每年能源消耗费用为，再由得，而建造费用为最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为（），令，即解得， （舍去）。当时，当时，故是的最小值点，对应的最小值为当隔热层修建5厚时，总费用达到最小值70万元【例15】某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD的中点P 处，已知AB=20km,CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A,B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为km（）按下列要求写出函数关系式：设BAO=(rad)，将表示成的函数关系式；设OP(km) ，将表示成x的函数关系式（）请你选用（）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短【解析】本小题主要考查函数最值的应用（）由条件知PQ 垂直平分AB，若BAO=(rad) ，则, 故，又OP1010ta，【突破训练】1、已知函数f(x)x3bx2axd的图象过点P（0，2），且在点M（1，f（1）处的切线方程为6x-y+7=0.（）求函数y=f(x)的解析式；（）求函数y=f(x)的单调区间.解：（）由f(x)的图象经过P（0，2），知d2，则f(x)x3bx2cx2，f(x)3x22bx+c，由在M(-1,f(-1)处的切线方程是6x-y+7=0，知-6-f(-1)+7=0，即f(-1)=1，且f(-1)=6，即，解得b=c=-3，故所求的解析式是f(x)x3-3x2-3x+2.（）f(x)3x2-6x-3，令3x2-6x-3=0，即x2-2x-1=0，解得x1=1-，x2=1+，当x1-或x1+时，f(x)0；当1-x1+时，f(x)0，故f(x)x3-3x2-3x+2在(-，1-)内是增函数，在(1-，1+)内是减函数，在(1+，+)内是增函数.2、已知定义在R上的函数f(x)x2(ax3)，其中a为常数.()若x1是函数f(x)的一个极值点，求a的值；()若函数f(x)在区间（1，0）上是增函数，求a的取值范围解： ()f(x)ax33x，f(x)3ax26x3x(ax2),x1是f(x)的一个极值点，f(1)0，a2；()当a0时，f(x)3x2在区间（1，0）上是增函数，a0符合题意；当a0时，f(x)3ax(x)，由f(x)0，得x0，x当a0时，对任意x(1，0)，f(x)0，a0符合题意；当a0时，当x(，0)时，由f(x)0，得1，2a0符合题意；综上所述，a2.3、设函数f(x)(x1)ln(x1)，若对所有的x0，都有f(x)ax成立，求实数a的取值范围（）解：f(x)=.令f(x)=0，解得x=0或x=.以下分两种情况讨论：（1） 若，当x变化时，f(x)，f（x）的变化情况如下表：X0f(x)+0-f(x)极大值当等价于，解不等式组得-5a2，则.当x变化时，f(x),f（x）的变化情况如下表：X0f(x)+0-0+f(x)极大值极小值当时，f（x）0等价于即，解不等式组得或.因此2a5.综合（1）和（2），可知a的取值范围为0a5.5、2010浙江文、已知函数（a）（ab）（a，bR，ab）.（）当a1，b2时，求曲线y在点（2，f（2）处的切线方程;（）设x1，x2是的两个极值点，x3是的一个零点，且x3x1，x3x2.证明：存在实数x4，使得x1，x2，x3，x4按某种顺序排列后构成等差数列，并求x4.解：()当a=1,b=2时，因为f(x)=(x-1)(3x-5).故f(2)=1.又0，所以在点（2，0）处的切线方程为yx2.（）证明：因为f（x）3（xa）（x），由于ab.故a0，使得，则称函数具有性质.(1)设函数，其中为实数.(i)求证：函数具有性质；(ii)求函数的单调区间.(2)已知函数具有性质，给定,设为实数, ，且，若|，不合题意。故，则有，解得，。当时，此时有0|成立。当时，故，同上有，则有，解得，。综上， 10、2010湖南文、已知函数，其中a0，且a1.（）讨论函数的单调性；（）设函数（e是自然对数的底数）.是否存在a，使在a,a上为减函数？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由.解：（）函数的定义域为.其导函数=.由（）知当a2时，在上为减函数.又.不难知道，.因=，令，则或.而a2，于是（1）当时，若，则；若，则.因而在上单调递增，在上单调递减.（2）当a=2时，在上单调递减.综合（1），（2）知，当a2时，在上的最大值为.所以，a2.又对，只有当a=2时在时取得，亦即只有当a=2时在时取得.因此，当a2时，在上为减函数.从而由，知，3a2.综上所述，存在a使在上为减函数，且a的取值范围为.11、甲方是一农场，乙方是一工厂 由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x（元）与年产量t（吨）满足函数关系若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元（以下称s为赔付价格），（）将乙方的年利润（元）表示为年产量（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；（）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少？来源:Z+xx+k.Com解析：（）因为赔付价格为s元/吨，所以乙方的实际年利润为：因为,所以当时,取得最大值所以乙方取得最大年利润的年产量 (吨)（）设甲方净收入为元，则将代入上式，得到甲方净收入与赔付价格之间的函数关系式又，令，得当时，；当时， ，所以时，取得最大值因此甲方向乙方要求赔付价格（元/吨）时，获最大净收入12、两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.（1）将y表示成x的函数；（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。当且仅当即时取”=”.下面证明函数在(0,160)上为减函数, 在(160,400)上为增函数.设01,则不恒成立.所以使恒成立的a的取值范围是14、已知函数,且(1) 试用含的代数式表示b,并求的单调区间；（2）令,设函数在处取得极值，记点M (,)，N(,)，P(), ,请仔细观察曲线在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势，并解释以下问题：（I）若对任意的m (, x)，线段MP与曲线f(x)均有异于M,P的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论；（II）若存在点Q(n ,f(n), x n m,使得线段PQ与曲线f(x)有异于P、Q的公共点，请直接写出m的取值范围（不必给出求解过程）（）依题意得由得从而故令得或当时当变化时，的变化情况如下表： 线段的斜率与曲线是否有异于的公共点与的正负有着密切的关联对应的位置可能是临界点,故推测:满足的就是所求的最小值.下面给出证明并确定的最小值注：以上三条观察不作为评分依据曲线在点(,)处切线的斜率线段的斜率当时解得或，直线的方程为令当时在上只有一个零点，可判断函数 在 上单调递增；在（0，2）单调递减，又，所以在 上没有零点，即线段与曲线 没有异于的公共点。当 时，所以存在 ，使得即当 时，与曲线有异于的公共点。综上， 的最小值为2。（ ii）类似于（i）中的观察，可得的取值范围为15、设函数有两个极值点。 （）求a的取值范围，并讨论的单调性；（）证明：。By J.