集合有关概念.doc

集合知识 （一）集合的有关概念定义：一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集。2.表示方法：集合通常用大括号 或大写的拉丁字母A,B,C表示， 而元素用小写的拉丁字母a,b,c表示。3.集合相等：构成两个集合的元素完全一样。4.常用的数集及记法：非负整数集（或自然数集），记作N；正整数集，记作N*或N+；N内排除0的集.整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R；5.关于集合的元素的特征 确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。 如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）。“中国古代四大发明” （造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大 的数”，“平面点P周围的点”一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的. 互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。. 如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为1,-2,而不是1,1,-2 无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。6.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于”及“不属于”两种)若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作aA；若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作aA。 例如，我们A表示“120以内的所有质数”组成的集合，则有3A，4A，等等。（二）集合的表示方法列举法：把集合中的元素一一列举出来, 并用花括号“”括起来表示集合的方法叫列举法。如：1，2，3，4，5，x2，3x+2，5y3-x，x2+y2，；说明：（1）书写时，元素与元素之间用逗号分开； （2）一般不必考虑元素之间的顺序； （3）在表示数列之类的特殊集合时,通常仍按惯用的次序； （4）集合中的元素可以为数，点，代数式等； （5）列举法可表示有限集，也可以表示无限集。当元素个数比较少时用列举法比较简 单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示。 （6）对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号，象自然数集用列举法表示为描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法。方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。一般格式：如：x|x-32，(x,y)|y=x2+1，x|直角三角形，；说明:描述法表示集合应注意集合的代表元素，如(x,y)|y= x2+3x+2与 y|y= x2+3x+2是不同的两个集合，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：整数，即代表整数集Z。辨析：这里的 已包含“所有”的意思，所以不必写全体整数。写法实数集，R也是错误的。用符号描述法表示集合时应注意：、弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么）是数还是点、还是集合、还是其他形式？、元素具有怎么的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑。说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意， 一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。集合的分类：观察下列三个集合的元素个数1. 4.8, 7.3, 3.1, -9; 2. xR0x3; 3. xRx2+1=0由此可以得到集合的分类3、文氏图法集合的表示除了上述两种方法以外，还有文氏图法，即3,9,27A画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合，如下图所示： 表示3，9，27表示任意一个集合A （三）集合间的基本关系比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系： （1），；（2），；（3），观察可得：子集：对于两个集合A，B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这 两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集（subset）。 记作： 读作：A包含于B，或B包含AB A表示： 当集合A不包含于集合B时，记作AB(或BA) 用Venn图表示两个集合间的“包含”关系： 集合相等定义：如果A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，则集合A与集合B 中的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，即若，则。 如：A=x|x=2m+1，mZ，B=x|x=2n-1，nZ，此时有A=B。真子集定义：若集合，但存在元素，则称集合A是集合B的真子集。 记作：A B（或B A） 读作：A真包含于B（或B真包含A）4.空集定义：不含有任何元素的集合称为空集。记作：5.几个重要的结论： 空集是任何集合的子集；对于任意一个集合A都有A。 空集是任何非空集合的真子集； 任何一个集合是它本身的子集； 对于集合A，B，C，如果，且，那么。说明：注意集合与元素是“属于”“不属于”的关系，集合与集合是“包含于”“不包含于”的关系；在分析有关集合问题时，要注意空集的地位。结论：一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为2n个，其真子集数为2n -1个， 特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0。（四）集合间的基本运算1考察下列集合，说出集合C与集合A，B之间的关系：（1），；（2），；1.并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与集合B 的并集，即A与B的所有部分， 记作AB， 读作：A并B 即AB=x|xA或xB。 Venn图表示： 说明：定义中要注意“所有”和“或”这两个条件。 讨论：AB与集合A、B有什么特殊的关系？AA , A , AB BAABA , ABB .2. 交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，叫作集合A、B的交集（intersection set），记作：AB 读作：A交B 即：ABx|xA，且xB（阴影部分即为A与B的交集）Venn图表示： 常见的五种交集的情况：ABA(B)B AA B BA说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集讨论：AB与A、B、BA的关系？AA A AB BAABA ABB 3.一些特殊结论 若A,则AB=A； 若B,则AB=A；若A，B两集合中，B=，,则A=, A=A。（五）集合的基本运算2思考1 U=全班同学、A=全班参加足球队的同学、B=全班没有参加足球队的同学，则U、A、B有何关系？ 集合B是集合U中除去集合A之后余下来的集合。 （一）. 全集、补集概念及性质：全集的定义：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么 就称这个集合为全集,记作U，是相对于所研究问题而言的一个相对概念。补集的定义：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合，叫作集 合A相对于全集U的补集, 记作：，读作：A在U中的补集，即 Venn图表示：（阴影部分即为A在全集U中的补集） 说明：补集的概念必须要有全集的限制讨论：集合A与之间有什么关系？借助Venn图分析 （六）集合中元素的个数在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个数问题。我们把含有有限个元素的集合A叫做有限集，用card(A)表示集合A中元素的个数。例如：集合A=a,b,c中有三个元素，我们记作card(A)=3. 结论:已知两个有限集合A，B，有：card(AB)=card(A)+card(B) - card(AB). 考点一：集合的元素特征例1 (1)集合2a,a2+a中元素应满足的条件? （2）实数-a, a, ,2, -5为元素组成的集合中,最多有几个元素?分别为什么?考点二：集合的表示方法例2.已知集合Ax|-3x3，xZ，B(x,y)|yx+1，xA，则集合B用列举法表示是 变式.已知集合Ax|-3x3，xZ，B(x,y)|yx+1，xA，则集合B用列举法表示是 考点三：元素与集合的关系例3设集合A，a,b,B=a,a,ab,且A=B，求实数a，b.考点四:集合的子集问题例4.写出集合a,b,c的所有子集，并指出其中哪些是真子集，哪些是非空的真子集。例5.已知集合M满足2,3M1,2,3,4,5求满足条件的集合M变式1：知集合Ax|x2-2x-3=0,B=x|ax=1若BA，则实数a的值构成的集合是（）A. -1,0, B.-1,0 C.-1, D.,0变式2:集合A=，aB=2,a2-3a+4且BA，求a的值。考点5：集合的运算例6设A=x|-1x2,B=x|1x-2，B=x|x3,求AB。变式1：已知集合Ay|y=x2-2x-3,xR,B=y|y=-x2+2x+13,xR求AB、AB变式2：设集合Aa+1,3,5,B=2a+1,a2+2a,a2+2a-1，当AB=，时，求AB变式3设全集，求，例8.已知全集为R，集合P=x|xa2+4a+1,aR,Q=y|y-b2+2b+3,bR求PQ和P。强化练习 1.下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数2.集合a，b，c 的真子集共有 个 3.若集合M=y|y=x2-2x+1,xR,N=x|x0，则M与N的关系是 .4.设集合A=，B=，若AB，则的取值范围是 .5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的人数是 6. 用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M= . 7.已知集合A=x| x2+2x-8=0, B=x| x2-5x+6=0, C=x| x2-mx+m2-19=0, 若 BC，AC=，求m的值课后作业1已知集合，且，则的值为（ ）A1B1 C1或1 D1或1或02设集合，若，则k的取值范围（ ）（A） （B） （C） (D) 3如图，U是全集，M、P、S是U的3个子集，则阴影部分所表示的集合是 （ ）A、 B、 C、 D、 4设，若，则（ ）（A） （B） （C） (D)5函数的定义域为（ ）A、 B、 C、 D、6. 设，若，则a=_。7已知集合1，2，A，则集合B= . 8已知集合那么集合= 950名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做的正确得有40人，化学实验做的正确的有31人，两种实验都做错的有4人，则这两种实验都做对的有 人.10 已知集合，其中a，d，若A=B，求q的值。11 已知全集U=，若A=，求实数的a ,b值12 若集合S=，且ST=，P=ST,求集合P的所有子集13已知集合A=，B=x|2x10，C=x | xa，全集为实数集R.(1) 求AB，(CRA)B；(2) 如果AC，求a的取值范围。14已知方程的两个不相等实根为。集合，2，4，5，6，1，2，3，4，ACA，AB，求的值？15已知集合的元素全为实数，且满足：若，则。（1）若，求出中其它所有元素；（2）0是不是集合中的元素？请你设计一个实数，再求出中的所有元素？（3）根据（1）（2），你能得出什么结论。