第十单元 无穷级数.doc

第十单元 无穷级数一、无穷级数的概念与性质 1、无穷级数：，简称级数。其中un称为通项，也叫一般项。为级数的前n项的部分和。收敛：存在，且称为级数的和。发散：不存在。数项级数：中的每项un均为常数。函数项级数：中的项un不全为常数。 2、基本性质 性质1、若收敛于S，则收敛于kS； 若发散，k0，则也发散。 性质2、若与皆收敛，则也收敛。 性质3、在前面部分去掉或添上有限项，不改变级数的收敛性。 性质4、收敛级数加括号后所得的级数仍收敛于原级数的和。 性质5、（收敛的必要条件）若收敛，则必有。 说明：并不能保证一定收敛。 推论：，则必定发散。 三个标准级数：（1） 等比级数：（2） p级数：（3） 调和级数： 例1 若级数收敛，记，则（ B ） 例2 若级数收敛，则下列级数不收敛的是（ B ） 例3 判定的收敛性。 解：因 所以，收敛，且收敛于。二、正项级数 1、定义：若中的每一项un0，（n=1，2，）则称为正项级数。 2、比较判别法（审敛法） 若与皆为正项级数，且0unvn(n=1,2,),则（1） 当收敛时，必收敛； （大敛小必敛）（2） 当发散时，必发散； （小散大必散） 3、比值判别法设为正项级数，且，则（1） 当1时，发散；（3） 当=1时，此法失效。说明：（1）un中含n!时，用比值法较为方便；（2）利用比较法时，要先有个初步估计，然后选择一个标准级数与之比较。4、极限形式的比较判别法 设与皆为正项级数，且，则与的收敛性相同。例1 设与都是非功过正项级数，且unvn(n=1,2,),则下列命题正确的是 （ D ） 例2 判定级数的收敛性。解：因 所以级数发散。 （推论）例3 判定的收敛性。解：因 所以收敛。例4判定级数（a0,ae）的收敛性。解： 故当ae时，收敛； 0a0)的级数称为交错级数。 （2）莱布尼兹定理：若交错级数（其中un0，n=1,2）满足 un un+1，n=k,k+1, 则必定收敛，且其和Su1,余项的绝对值。（3）莱布尼兹级数 ，该级数为收敛级数。（可作为公式使用）四、绝对收敛与条件收敛 1、绝对收敛：若收敛，则必收敛，此时称绝对收敛。 2、条件收敛：若收敛，而发散，此时称条件收敛。 3、交错级数判敛的一般步骤： 先判定的收敛，若收敛，则绝对收敛。 若发散，再考察的收敛性，如果收敛，则为条件收敛。 例1 当满足下列条件（ D ）时，收敛。 收敛 例2 下列级数中条件收敛的级数是（ C ） 说明：A、B的通项的极限不为零；D绝对收敛。 例3 级数是（ A ） A、绝对收敛 B、条件收敛 C、发散 D、收敛性不能判定 说明：取绝对值后为的正项p级数，故绝对收敛。 例4 判定级数的敛散性。 解：所给级数为交错级数，且满足， 所以，由莱布尼兹定理可知：收敛。 例5 研究级数的收敛性，其中常数a0。 解：记,则,从而知为p级数，且 当a1时，收敛，故绝对收敛； 当01时，绝对收敛； 当0a1时，条件收敛。 例6 设有正项级数，则下列说法正确的是（ C ） A、若(1)发散，则(2)必发散 B、若(2)收敛，则(1)必收敛 C、若(1)发散，则(2)可能发散也可能收敛 D、(1)、(2)敛散性一致 （以为例） （05、06） 例7下列级数收敛的是（ C ） （05B、6） 例8 设为正项级数，如下说法正确的是（ C） （06、5）A、 如果，则必定收敛；B、 如果，则必定收敛；C、 如果收敛，则必定收敛；D、 如果交错级数收敛，则必定收敛。例下列级数收敛的是（）（、）五、幂级数、定义：形如的级数，称为x（或x-x0）的幂级数。、收敛半径、收敛区间当x=0时收敛；如果不是仅在x=0处收敛，也不是（，）内收敛，则必定存在一个正数：当xR时, 发散; 当x=R时, 可能收敛也可能发散.。 则称R为的收敛半径，（-R，+R）为的收敛区间。 说明：在收敛区间（-R，+R）内，绝对收敛，两端点处需另外讨论，不作要求。六、收敛半径的求法 1、对于不缺项的幂级数 设幂级数的系数有，则（1） 当0+时，有；（2） 当=0时，定义R=+；（3） 当=+时，定义R=0。 2、对于缺项的幂级数，例如 令，考察 则当x21，即时，级数收敛，可知（1） 当0+时，；（2） 当=0时，定义R=+；（3） 当=+时，定义R=0。 例1 设幂级数在x=2处收敛，则该级数在x=-1处必定（ C ）A、 发散 B、条件收敛 C、绝对收敛 D、敛散性不能确定 例2幂级数的收敛半径为（ 1 ） 解：该级数为不缺项的幂级数，故 所以收敛半径： 例3 求的收敛半径、收敛区间。 解：该级数为不缺项的幂级数，故 所以收敛半径：，收敛区间为（-，+）。 例4求的收敛半径、收敛区间。 解：该级数为不缺项的幂级数，故 所以收敛半径：，收敛区间为（-3，3。 例5 求的收敛半径、收敛区间。 解：该级数为不缺项的幂级数，故 所以收敛半径：，所以仅在x=0处收敛。 例6 求幂级数的收敛半径与收敛区间。 解：该级数为不缺项的幂级数，故 所以收敛半径：，收敛区间为（-1，1）。 例7求的收敛区间。 （x-x0）型 解：令t=x-1,级数变为 因 所以R=2，即-2t2,也就是-2x-12,解得-1x-13 故的收敛区间为（-1，3）。 例8、求的收敛区间。 解：该级数为缺项的幂级数，故 当时级数收敛，故的收敛区间为。 例9求的收敛区间。 解：该级数为缺项的幂级数，故 ，即R= 即对于任意的x，所给级数皆收敛，故收敛区间为（-，+）。七、幂级数的运算 设幂级数与的收敛半径分别为R1与R2（R1与R2均不为零），它们的和函数分别为S1(x)与S2(x)，记R=min(R1,R2),则1、加法运算 =，收敛半径为R。 2、乘法运算 =a0b0+(a0b1+a1b0)x+(a0b2+a1b1+a2b0)x2+(a0bn+anbn-1+anb0)xn+ 3、逐项求导数 若幂级数的收敛半径分别为R，则在(-R,R)内和函数S(x)可导，且有，收敛半径不变。 4、逐项积分 若幂级数的和函数S(x)的收敛半径分别为R，则和函数S(x)在(-R,R)内可积，且有：，半径为R，端点处的收敛性可能改变。 例：求幂级数和和函数。 解：收敛半径R=1，收敛区间为（-1，1），而在收敛区间（-1，1）内，故说明：因为公比的等比级数。八、函数的幂级数展开 1、泰勒（台劳）级数 如果f(x)在x=x0的某一邻域内，有直到n+1阶导数，则在这个邻域内有：（泰勒（台劳）级数）当x0=0时，（麦克劳林级数） 2、直接展开法 把函数f(x)展开成x的幂级数的步骤： 求出f(x)的各阶导数 求也函数及其各阶导数在x=0处的值，即 f(0),f/(0),f/(0),f(n)(0), 写出幂级数，并求出其收敛半径。2、间接展开法运用几个已知的展开式，通过幂级数的运算，可以求得所给函数的幂级数的展开式的方法，称为间接展开法。几个常用的标准展开式： （-1x1 （-1x1 (-,+) (-,+) (-,+) (-1x1) (-1x0）（1）展开为x的幂级数；（2）展开为x-b的幂级数 (ba)。 （与相近） 解：（1） 收敛区间为：，即-axa （2） 收敛区间为： 例2 将函数展开成x+1的幂给数，并指出收敛区间。 解： 收敛区间：，即-4x+14,解得-5x3. 例3 设函数，（1）将f(x)展开成x的幂级数；（2）利用（1）的结果，求数项级数的和。 （与ex相近） 解：（1）（2）在上等式中，取x=1，即得。 例4 将展开为幂级数。 解：由于 (-,+) (-,+)所以收敛区间为（-，+）说明：n为奇数时，故仅有偶数次项。 例5 将在x=0处展开为幂级数。 （与ex相近） 解： 说明：“将f(x)展开为x的幂级数”， “将f(x)展开为麦克劳林级数”， “将f(x)在x=0处展开为幂级数”，三种说法等价。 例6 将展开为x的幂级数。 （化为的形式） 解：因而 所以收敛区间（-1x1）(取R中较小的) 例7 将展开为x的幂级数。 （通过运算得到） 解：因 而 所以 （或， 说明：n=0时为常量，导数为零，故n从1开始取值。 例8 将f(x)=arctan2x展开为幂级数。 （标准形式中没有此类型） 解：因 （与相近） 而 所以 故f(x)=arctan2x= 例9 幂级数的收敛域为（-1，1） （05、12） 例10 将函数展开为x的幂级数，并指出收敛区间。 （05，19） 解： 收敛区间：取中较小者为（-1，1）。 例11 幂级数的收敛区间为（-1，1） （05B、12） 例12将函数展开为x的幂级数，并指出收敛区间。 （05B，19） 解： 收敛区间：取中较小者为。 例13 将函数展开为x的幂级数（要求指出收敛区间）。 （06、18） 解： 收敛区间为。 例14 级数的收敛域是 （-2，2）。 （08、12） 解：