第十单元 无穷级数.doc

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第十单元 无穷级数一、无穷级数的概念与性质 1、无穷级数:,简称级数。其中un称为通项,也叫一般项。为级数的前n项的部分和。收敛:存在,且称为级数的和。发散:不存在。数项级数:中的每项un均为常数。函数项级数:中的项un不全为常数。 2、基本性质 性质1、若收敛于S,则收敛于kS; 若发散,k0,则也发散。 性质2、若与皆收敛,则也收敛。 性质3、在前面部分去掉或添上有限项,不改变级数的收敛性。 性质4、收敛级数加括号后所得的级数仍收敛于原级数的和。 性质5、(收敛的必要条件)若收敛,则必有。 说明:并不能保证一定收敛。 推论:,则必定发散。 三个标准级数:(1) 等比级数:(2) p级数:(3) 调和级数: 例1 若级数收敛,记,则( B ) 例2 若级数收敛,则下列级数不收敛的是( B ) 例3 判定的收敛性。 解:因 所以,收敛,且收敛于。二、正项级数 1、定义:若中的每一项un0,(n=1,2,)则称为正项级数。 2、比较判别法(审敛法) 若与皆为正项级数,且0unvn(n=1,2,),则(1) 当收敛时,必收敛; (大敛小必敛)(2) 当发散时,必发散; (小散大必散) 3、比值判别法设为正项级数,且,则(1) 当1时,发散;(3) 当=1时,此法失效。说明:(1)un中含n!时,用比值法较为方便;(2)利用比较法时,要先有个初步估计,然后选择一个标准级数与之比较。4、极限形式的比较判别法 设与皆为正项级数,且,则与的收敛性相同。例1 设与都是非功过正项级数,且unvn(n=1,2,),则下列命题正确的是 ( D ) 例2 判定级数的收敛性。解:因 所以级数发散。 (推论)例3 判定的收敛性。解:因 所以收敛。例4判定级数(a0,ae)的收敛性。解: 故当ae时,收敛; 0a0)的级数称为交错级数。 (2)莱布尼兹定理:若交错级数(其中un0,n=1,2)满足 un un+1,n=k,k+1, 则必定收敛,且其和Su1,余项的绝对值。(3)莱布尼兹级数 ,该级数为收敛级数。(可作为公式使用)四、绝对收敛与条件收敛 1、绝对收敛:若收敛,则必收敛,此时称绝对收敛。 2、条件收敛:若收敛,而发散,此时称条件收敛。 3、交错级数判敛的一般步骤: 先判定的收敛,若收敛,则绝对收敛。 若发散,再考察的收敛性,如果收敛,则为条件收敛。 例1 当满足下列条件( D )时,收敛。 收敛 例2 下列级数中条件收敛的级数是( C ) 说明:A、B的通项的极限不为零;D绝对收敛。 例3 级数是( A ) A、绝对收敛 B、条件收敛 C、发散 D、收敛性不能判定 说明:取绝对值后为的正项p级数,故绝对收敛。 例4 判定级数的敛散性。 解:所给级数为交错级数,且满足, 所以,由莱布尼兹定理可知:收敛。 例5 研究级数的收敛性,其中常数a0。 解:记,则,从而知为p级数,且 当a1时,收敛,故绝对收敛; 当01时,绝对收敛; 当0a1时,条件收敛。 例6 设有正项级数,则下列说法正确的是( C ) A、若(1)发散,则(2)必发散 B、若(2)收敛,则(1)必收敛 C、若(1)发散,则(2)可能发散也可能收敛 D、(1)、(2)敛散性一致 (以为例) (05、06) 例7下列级数收敛的是( C ) (05B、6) 例8 设为正项级数,如下说法正确的是( C) (06、5)A、 如果,则必定收敛;B、 如果,则必定收敛;C、 如果收敛,则必定收敛;D、 如果交错级数收敛,则必定收敛。例下列级数收敛的是()(、)五、幂级数、定义:形如的级数,称为x(或x-x0)的幂级数。、收敛半径、收敛区间当x=0时收敛;如果不是仅在x=0处收敛,也不是(,)内收敛,则必定存在一个正数:当xR时, 发散; 当x=R时, 可能收敛也可能发散.。 则称R为的收敛半径,(-R,+R)为的收敛区间。 说明:在收敛区间(-R,+R)内,绝对收敛,两端点处需另外讨论,不作要求。六、收敛半径的求法 1、对于不缺项的幂级数 设幂级数的系数有,则(1) 当0+时,有;(2) 当=0时,定义R=+;(3) 当=+时,定义R=0。 2、对于缺项的幂级数,例如 令,考察 则当x21,即时,级数收敛,可知(1) 当0+时,;(2) 当=0时,定义R=+;(3) 当=+时,定义R=0。 例1 设幂级数在x=2处收敛,则该级数在x=-1处必定( C )A、 发散 B、条件收敛 C、绝对收敛 D、敛散性不能确定 例2幂级数的收敛半径为( 1 ) 解:该级数为不缺项的幂级数,故 所以收敛半径: 例3 求的收敛半径、收敛区间。 解:该级数为不缺项的幂级数,故 所以收敛半径:,收敛区间为(-,+)。 例4求的收敛半径、收敛区间。 解:该级数为不缺项的幂级数,故 所以收敛半径:,收敛区间为(-3,3。 例5 求的收敛半径、收敛区间。 解:该级数为不缺项的幂级数,故 所以收敛半径:,所以仅在x=0处收敛。 例6 求幂级数的收敛半径与收敛区间。 解:该级数为不缺项的幂级数,故 所以收敛半径:,收敛区间为(-1,1)。 例7求的收敛区间。 (x-x0)型 解:令t=x-1,级数变为 因 所以R=2,即-2t2,也就是-2x-12,解得-1x-13 故的收敛区间为(-1,3)。 例8、求的收敛区间。 解:该级数为缺项的幂级数,故 当时级数收敛,故的收敛区间为。 例9求的收敛区间。 解:该级数为缺项的幂级数,故 ,即R= 即对于任意的x,所给级数皆收敛,故收敛区间为(-,+)。七、幂级数的运算 设幂级数与的收敛半径分别为R1与R2(R1与R2均不为零),它们的和函数分别为S1(x)与S2(x),记R=min(R1,R2),则1、加法运算 =,收敛半径为R。 2、乘法运算 =a0b0+(a0b1+a1b0)x+(a0b2+a1b1+a2b0)x2+(a0bn+anbn-1+anb0)xn+ 3、逐项求导数 若幂级数的收敛半径分别为R,则在(-R,R)内和函数S(x)可导,且有,收敛半径不变。 4、逐项积分 若幂级数的和函数S(x)的收敛半径分别为R,则和函数S(x)在(-R,R)内可积,且有:,半径为R,端点处的收敛性可能改变。 例:求幂级数和和函数。 解:收敛半径R=1,收敛区间为(-1,1),而在收敛区间(-1,1)内,故说明:因为公比的等比级数。八、函数的幂级数展开 1、泰勒(台劳)级数 如果f(x)在x=x0的某一邻域内,有直到n+1阶导数,则在这个邻域内有:(泰勒(台劳)级数)当x0=0时,(麦克劳林级数) 2、直接展开法 把函数f(x)展开成x的幂级数的步骤: 求出f(x)的各阶导数 求也函数及其各阶导数在x=0处的值,即 f(0),f/(0),f/(0),f(n)(0), 写出幂级数,并求出其收敛半径。2、间接展开法运用几个已知的展开式,通过幂级数的运算,可以求得所给函数的幂级数的展开式的方法,称为间接展开法。几个常用的标准展开式: (-1x1 (-1x1 (-,+) (-,+) (-,+) (-1x1) (-1x0)(1)展开为x的幂级数;(2)展开为x-b的幂级数 (ba)。 (与相近) 解:(1) 收敛区间为:,即-axa (2) 收敛区间为: 例2 将函数展开成x+1的幂给数,并指出收敛区间。 解: 收敛区间:,即-4x+14,解得-5x3. 例3 设函数,(1)将f(x)展开成x的幂级数;(2)利用(1)的结果,求数项级数的和。 (与ex相近) 解:(1)(2)在上等式中,取x=1,即得。 例4 将展开为幂级数。 解:由于 (-,+) (-,+)所以收敛区间为(-,+)说明:n为奇数时,故仅有偶数次项。 例5 将在x=0处展开为幂级数。 (与ex相近) 解: 说明:“将f(x)展开为x的幂级数”, “将f(x)展开为麦克劳林级数”, “将f(x)在x=0处展开为幂级数”,三种说法等价。 例6 将展开为x的幂级数。 (化为的形式) 解:因而 所以收敛区间(-1x1)(取R中较小的) 例7 将展开为x的幂级数。 (通过运算得到) 解:因 而 所以 (或, 说明:n=0时为常量,导数为零,故n从1开始取值。 例8 将f(x)=arctan2x展开为幂级数。 (标准形式中没有此类型) 解:因 (与相近) 而 所以 故f(x)=arctan2x= 例9 幂级数的收敛域为(-1,1) (05、12) 例10 将函数展开为x的幂级数,并指出收敛区间。 (05,19) 解: 收敛区间:取中较小者为(-1,1)。 例11 幂级数的收敛区间为(-1,1) (05B、12) 例12将函数展开为x的幂级数,并指出收敛区间。 (05B,19) 解: 收敛区间:取中较小者为。 例13 将函数展开为x的幂级数(要求指出收敛区间)。 (06、18) 解: 收敛区间为。 例14 级数的收敛域是 (-2,2)。 (08、12) 解:
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