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离散数学笔记第一章 命题逻辑合取析取定义 1. 1.3 否定：当某个命题为真时，其否定为假，当某个命题为假时，其否定为真定义 1. 1.4 条件联结词，表示“如果 那么”形式的语句定义 1. 1.5 双条件联结词，表示“当且仅当”形式的语句定义 1.2.1 合式公式(1)单个命题变元、命题常元为合式公式，称为原子公式。(2)若某个字符串 A 是合式公式，则A、(A)也是合式公式。(3)若 A、B 是合式公式，则 A B、AB、A B、AB 是合式公式。(4)有限次使用(2)(3)形成的字符串均为合式公式。1.3等值式1.4析取范式与合取范式将一个普通公式转换为范式的基本步骤1.6推理定义 1.6.1 设 A 与 C 是两个命题公式， 若 A C 为永真式、 重言式，则称 C 是 A 的有效结论，或称 A 可以逻辑推出 C，记为 A = C。（用等值演算或真值表）第二章 谓词逻辑2.1、基本概念：全称量词 ：存在量词一般情况下， 如果个体变元的取值范围不做任何限制即为全总个体域时， 带 “全称量词”的谓词公式形如x(H(x)B(x)，即量词的后面为条件式，带“存在量词”的谓词公式形如x(H(x)WL(x)，即量词的后面为合取式例题R(x)表示对象 x 是兔子，T(x)表示对象 x 是乌龟， H(x,y)表示 x 比 y 跑得快，L(x,y)表示x 与 y 一样快，则兔子比乌龟跑得快表示为： xy(R(x)T(y)H(x,y)有的兔子比所有的乌龟跑得快表示为：xy(R(x)T(y)H(x,y)2.2、谓词公式及其解释定义 2.2.1、 非逻辑符号： 个体常元(如 a,b,c)、 函数常元(如表示的 f(x,y)、 谓词常元(如表示人类的 H(x)。定义 2.2.2、逻辑符号：个体变元、量词()、联结词()、逗号、括号。定义 2.2.3、项的定义：个体常元、变元及其函数式的表达式称为项(item)。定义 2.2.4、原子公式：设 R()是 n 元谓词，是项，则 R(t)是原子公式。原子公式中的个体变元，可以换成个体变元的表达式(项)，但不能出现任何联结词与量词，只能为单个的谓词公式。定义 2.2.5 合式公式：(1)原子公式是合式公式；(2)若 A 是合式公式，则(A)也是合式公式；(3)若 A,B 合式，则 AB, AB, AB , AB 合式(4)若 A 合式，则xA、xA 合式(5)有限次使用(2)(4)得到的式子是合式。定义 2.2.6 量词辖域：xA 和xA 中的量词x/x 的作用范围，A 就是作用范围。定义 2.2.7 约束变元：在x 和x 的辖域 A 中出现的个体变元 x，称为约束变元，这是与量词相关的变元，约束变元的所有出现都称为约束出现。定义 2.2.8 自由变元：谓词公式中与任何量词都无关的量词，称为自由变元，它的每次出现称为自由出现。一个公式的个体变元不是约束变元，就是自由变元。注意：为了避免约束变元和自由变元同名出现，一般要对“约束变元”改名，而不对自由变元改名。定义 2.2.9 闭公式是指不含自由变元的谓词公式从本例(已省)可知， 不同的公式在同一个解释下， 其真值可能存在， 也可能不存在， 但是对于没有自由变元的公式(闭公式)，不论做何种解释，其真值肯定存在谓词公式的类型：重言式(永真式)、矛盾式(永假式)、可满足公式三种类型定义 2.2.10 在任何解释下，公式的真值总存在并为真，则为重言式或永真式。定义 2.2.11 在任何解释下，公式的真值总存在并为假，则为矛盾式或永假式。定义 2.2.12 存在个体域并存在一个解释使得公式的真值存在并为真，则为可满足式。定义 2.2.13 代换实例 设 是命题公式 中的命题变元， 是 n 个谓词公式，用代替公式 中的后得到公式 A，则称 A 为 的代换实例。如 A(x)A(x)，xA(x) xA(x)可看成 p p 的代换实例，A(x) A(x)，xA(x) x A(x)可看成 p p 的代换实例。定理 2.2.1 命题逻辑的永真公式之代换实例是谓词逻辑的永真公式， 命题逻辑的永假公式之代换实例是谓词逻辑的永假式。（代换前后是同类型的公式）2.3、谓词公式的等值演算定义 2.3.1 设 A、B 是两个合法的谓词公式，如果在任何解释下，这两个公式的真值都相等，则称 A 与 B 等值，记为 A B。当 AB 时，根据定义可知，在任何解释下，公式 A 与公式 B 的真值都相同，故 AB 为永真式，故得到如下的定义。定义 2.3.2 设 A、B 是两个合法谓词公式，如果在任何解释下， A B 为永真式， 则 A与 B 等值，记为 A B。一、利用代换实例可证明的等值式(pp 永真，代换实例 xF(x) xF(x)永真)二、个体域有限时，带全称量词、存在量词公式的等值式如：若D= ，则 xA(x) A()A()A()三、量词的德摩律1、xA(x) xA(x) 2、xA(x) xA(x)四、量词分配律1、x(A(x)B(x) xA(x)xB(x) 2、x(A(x)B(x) xA(x)xB(x)记忆方法：与，一个尖角朝下、一个尖角朝上，相反可才分配。2 式可看成 1 式的对偶式五、量词作用域的收缩与扩张律A(x)含自由出现的个体变元 x，B 不含有自由出现的 x，则有：1、/(A(x)B) /A(x)B 2、/(A(x)B) /A(x)B对于条件式 A(x) B， 利用 “基本等值一” 将其转换为析取式， 再使用德摩律进行演算六、置换规则若 B 是公式 A 的子公式，且B C，将 B 在 A 中的每次出现，都换成 C 得到的公式记为 D，则 A D七、约束变元改名规则将公式 A 中某量词的指导变元及辖域中约束变元每次约束出现，全部换成公式中未出现的字母，所得到的公式记为 B，则 A B例证明步骤：2.4、谓词公式的范式从定理证明过程，可得到获取前束范式的步骤：(1)剔除不起作用的量词；(2)如果约束变元与自由变元同名，则约束变元改名；(3)如果后面的约束变元与前面的约束变元同名，则后的约束变元改名；(4)利用代换实例，将、转换表示；(5)利用德摩律，将否定深入到原子公式或命题的前面；(6)利用量词辖域的扩张与收缩规律或利用量词的分配律，将量词移到最左边2.5、谓词推理定义 2.5.1 若在各种解释下 只能为真即为永真，则称为前提可推出结论 B。定义 2.5.2 在所有使 为真的解释下，B 为真，则称为前提 可推出结论 B。谓词逻辑的推理方法分为以下几类：一、 谓词逻辑的等值演算原则、 规律： 代换实例、 量词的德摩律、 量词的分配律、 量词辖域的扩张与收缩、约束变元改名。二、 命题逻辑的推理规则的代换实例， 如假言推理规则、 传递律、 合取与析取的性质律、CP 规则、反证法等。三、谓词逻辑的推理公理第三章 集合与关系3.1、基本概念在离散数学称 “不产生歧义的对象的汇集一块” 便构成集合。常用大写字母表示集合， 如 R 表示实数， N 表示自然数， Z 表示整数， Q 表示有理数，C 表示复数。描述一个集合一般有 “枚举法” 与 “描述法” ， “枚举法”。元素与集合之间有“属于”或“不属于”二种关系。定义 3.1.1 设 A，B 是两个集合，如果 A 中的任何元素都是 B 中的元素，则称 A 是 B的子集，也称 B 包含于 A，记为 BA，也称 A 包含 B，记为 AB。3.2集合运算性质定义 3.2.1 设 A、B 为集合，A 与 B 的并集 AB、A 与 B 的的交集 AB、A-B 的定义：AB=x|xAxB，AB=x|xAxB，A-B=x|xAxB定 义 3.2.2 设 A、 B 为 集 合 ， A 与 B 的 对 称 差 ， 记 为 AB=x|(xAxB)( xAxB)= AB - AB。定义 3.2.3 设 A、B 是两个集合，若 AB、BA 则 A=B，即两个集合相等。幂等律 AA=A、AA=A结合律 ABC= A(BC)= (AB)CABC= A(BC)= (AB)C交换律 AB=BA、AB=BA分配律 A(BC)=(AB)(AC)A(BC)=(AB)(AC)同一/零律 A = A、A= 排中/矛盾律 AA=E、AA= 吸收律(大吃小) A(BA)=A、 A(BA)=A德摩律 (AB)= A B 、 (AB)= AB双重否定 A=A3.3、有穷集的计数定理 3.3.1 二个集合的包含排斥原理 | | = | + | - |3.4、序偶定义 3.4.2 令与是二个序偶，如果 x=u、y=v，那么=即二个序偶相等。定义 3.4.3 如果是序偶，且,z也是一个序偶，则称为三元组。3.5、直积或笛卡尔积定义 3.5.1 令 A、B 是两个集合， 称序偶的集合|xA, yB为A与B的直积或笛卡尔积，记为 AB。如：A=1,2,3，B=a,b,c则AB=1,2,3a,b,c=,直积的性质1、A(BC)= A B A C2、A (BC)= A B A C3、(B C) A = B A C A4、(B C) A = B A C A5、ABA C B C C A C B6、AB,CDA C B D定义 3.5.2 令 是 n 个集合，称n元组的集合|，为的直积或笛卡尔积，记为。3.6、关系定义 3.6.1 称直积中部分感兴趣的序偶所组成的集合为“关系” ，记为 R。如在直积1,2,3,4,5,6,7,81,2,3,4,5,6,7,8中， 只对第 1 个元素是第 2 个元素的因数的序偶感兴趣，即只对R=, , , , , ,，RAA（A=1,2,3,4,5,6,7,8）定义 3.6.2 如果序偶或元组属于某个关系 R，则称序偶或元组具有关系 R。关系图，关系矩阵 3.7、关系的复合定义 3.7.1 若关系 FAA，关系 GAA，称集合|t 使得F，G为 F 与 G 的复合，记为 FG。例题 3.7.1 令 A=1,2,3，F=, G=,则解： FG= , ，GF=,， 因此关系的复合不满足交换律。采用复合的定义去计算，只适合于人工计算，为了编程实现，故采用矩阵表示关系。说明：的第 i 行与的第 j 列相乘时，乘法是合取，加法是析取，如 MF 的 1 行与 MG的第 3 列相乘是：(11)(10)(00)，结果为 1。定义 3.7.2 若关系 FAA，称集合|F 为 F 的逆，记为例题 3.7.2 令 A=1,2,3，F=,，则= ,。3.8、关系的分类定义 3.8.1 若都有R，则R是自反关系。(自己到自己的关系全属于R)定义 3.8.2 若都有R,则 R 是反自反的。(自己到自己的关系全不属于R)定义 3.8.4 如果所有形如的序偶都在关系 R 中， R 也只有这种形式的序偶， 则称 R为恒等关系，记为。对于恒等关系而言，其关系矩阵是单位矩阵，即其主对角线全是 1，其他位置全是 0，对关系图是每个点都有自旋，仅只有自旋，没有其他边。定义 3.8.5 令关系RAA，如果当R 时R，则称 R 为对称关系。定义 3.8.6 令关系RAA，如果当R 且xy时R， 则称 R 为反对称关系。定义 3.8.8 令关系RAA，若当R,R时有R，则称R为可传递关系。从RR 的关系矩阵可知，其非0元素在R的关系矩阵都出现，即，凡满足这个不等式的关系，肯定为可传递关系。所以不可传递。从RR的关系矩阵可知，其非0元素出现在(1,1)，(1,3)，(2,2)，(2,4)，在 R 的关系矩阵都没出现，不满足，不可传递关系。3.9、关系的闭包将关系矩阵的主角线上全部变成 1， 即得到其自反闭包的关系矩阵， 从而可得到其自反闭包。3.10、等价关系与集合的划分定义 3.10.1 设R AA，如果 R 是自反、对称、可传递的关系则称为等价关系。定义 3.10.2 设R AA，如果 R 是等价关系， BA， B 中任意二个元素之间都有关系R，则 B 是一个等价类。定义 3.10.3 设R AA，R是等价关系，是基于 R 得到的等价类，则称集合为 A 关于 R 的商集，记为 A/R。定义 3.10.3 若是 A 的子集，若时，并且，则称是A的一个划分。定理 3.10.1 设R AA，R 是等价关系，是利用 R 得到的 k 个不同的等价类，则 为集合 A 的划分。定理 3.10.2 设是A 的划分， R=， 则 R 是等价关系。3.11、偏序关系定义 3.1 1.1 设R AA，如果 R 是自反、反对称、可传递的关系则称为偏序关系。如：R 是实数中小于等于关系，则R是偏序关系。定义 3.1 1.2 设R AA，R 偏序关系，x 与 y 是 A 中的元素，若序偶与至少有一个在 R 中，则称 x 与 y 可比。定义 3.1 1.3 设R AA，R 偏序关系，若 A 中任意二个元素都可比，则称 A 为全序关系或线序关系。定义 3.1 1.4 设R AA，R 偏序关系，将关系图绘制成所有箭头都朝上，然后去掉所有箭头、去掉自旋边、去掉复合边，得到关系图的简化形式，称为哈斯图。定义 3.1 1.5 在哈斯图中，如果某个元素 y 在元素 x 的直接上方，则称 y 盖住了 x。记COVA=定义 3.1 1.6 设R AA，R 偏序关系，将偏序关系与集合 A 一块称为偏序集，记为，表示是 A 上的偏序关系。以后说偏序关系时，可简单地说偏序集。定义 3.1 1.7 在偏序集中，BA，yB，若都有R，则称 y 是最大元。即最大元与 B 中每个元素都可比，并且都比其大。定义 3.1 1.8 在偏序集中，BA，yB，若都有R，则称 y 是最小元。即最小元与 B 中每个元素都可比，并且都比其小。一个子集中没有最大元或最小元时，可能存在极大元或极小元。定义 3.1 1.9 在偏序集中，BA，yB，若不存在 xB 使得R，则称 y是极大元， 即B中不存在比y“大”的元素。 即极大元与 B 中有些元素是否可比不做要求。定义 3.1 1.10 在偏序集中，BA，yB，若不存在xB 都有R，则称 y是极小元，不存在比 y 小的元素。即极小元与 B中元素是否可比不做要求。定义 3.1 1.1 1 在偏序集中，BA，yB，若任意xB都有R，则称y是B 的上界。与 B 中每个元素都可比，并且都 B 中的元素大。3.12、其它关系定义3.6.1 给定集合A上的关系，若是自反的、对称的，则称是A上的相容关系。定义3.6.3 给定非空集合A，设有集合S=，其中且，i=1,2,m,且，则称集合S称作A的覆盖。定理3.6.1 给定集合A的覆盖，由它确定的关系：是相容关系。定义3.7.1 设R为定义在集合A上的一个关系，若R是自反的，对称的，传递的，则R称为等价关系。(显然等价关系一定是相容关系)。定义3.7.2 设给定非空集合A，若有集合S=，其中且(i=1,2,m)，且有，同时有，则称S为A的一个划分。(所有子集的并为A，且子集的交为空，则这些子集组成的集合为A的一个划分，覆盖中，子集的交集可不为空)等价类商集偏序关系(自反性，反对称性，传递性)，哈斯图，可比的，元素y盖住元素x，全序关系，极大元，极小元，最大元，最小元拟序关系(反自反的，传递的)第四章 代数系统定义 4.3.1 设是集合 S 上的二元运算，若都有 xy=yx，则称在 S 上是可交换的，或者说运算在 S 上满足交换律。定义 4.3.2 设是集合 S 上的二元运算，若都有(xy)z=x(yz)，则称在 S上是可结合的,或者说运算在 S 上满足结合律。定义 4.3.3 设是集合 S 上的二元运算，若都有 xx=x， 则称在 S 上是幂等的,或说运算在 S 上满足幂等律。定义 4.3.4 设与*是集合 S 上的二种运算，若都有 x*(yz)=(x*y)(x*z)与(yz)*x=(y*x)(z*x)，则称*对是可分配的。定义 4.3.5 设与*是集合 S 上的二种可交换的二元运算，若都有 x*(xy)=x 与x(x*y)=x 则称*与是满足吸收律，内外二种运算不一样，运算符内外各出现一次，以多吃少。广群：半群：群：子群：xiv