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第十章排列、组合和二项定理,解排列组合问题的几种基本方法,1,要明确堆的顺序时，必须先分堆后再把堆数当作元素个数作全排列.,若干个不同的元素局部“等分”有 个均等堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m!,若干个不同的元素“等分”为 个堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m!,非均分堆问题，只要按比例取出分完再用乘法原理作积.,分组（堆）问题的六个模型：无序不等分；无序等分；无序局部等分；(有序不等分；有序等分；有序局部等分.),处理问题的原则：,1. 分组（堆）问题,2,例1.有四项不同的工程，要发包给三个工程队，要求每个工程队至少要得到一项工程. 共有多少种不同的发包方式？,解：要完成发包这件事，可以分为两个步骤：,先将四项工程分为三“堆”，有,种分法；,再将分好的三“堆”依次给三个工程队， 有3!6种给法.,共有6636种不同的发包方式.,1. 分组（堆）问题,3,例2 . 7人排成一排.甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？, ,解：分两步进行：, ,几个元素不能相邻时,先排一般元素，再让特殊元素插孔.,第1步，把除甲乙外的一般人排列：,第2步，将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中(插孔)：, ,解决一些不相邻问题时，可以先排“一般”元素然后插入“特殊”元素，使问题得以解决.,2.插空法：,4,相邻元素的排列，可以采用“局部到整体”的排法，即将相邻的元素局部排列当成“一个”元素，然后再进行整体排列.,3.捆绑法,例3 . 6人排成一排.甲、乙两人必须相邻,有多少种不的排法?, ,解：（1）分两步进行：,甲 乙,第一步，把甲乙排列(捆绑)：,第二步，甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队：, ,几个元素必须相邻时,先捆绑成一个元素，再与其它的进行排列.,5,例4. 5个人站成一排，甲总站在乙的右侧的有多少种站法？,几个元素顺序一定的排列问题，一般是先排列，再消去这几个元素的顺序.或者，先让其它元素选取位置排列，留下来的空位置自然就是顺序一定的了.,4.消序法(留空法),解法1：将5个人依次站成一排，有,解法2：先让甲乙之外的三人从5个位置选出3个站好，有,种站法，,然后再消去甲乙之间的顺序数,甲总站在乙的右侧的有站法总数为,种站法，留下的两个位置自然给甲乙有1种站法,甲总站在乙的右侧的有站法总数为,6,变式：如下图所示,有5横8竖构成的方格图,从A到B只能上行或右行共有多少条不同的路线?,解: 如图所示,将一条路经抽象为如下的一个排法(5-1)+(8-1)=11格:,其中必有四个和七个组成!,所以, 四个和七个一个排序就对应一条路经,所以从A到B共有,条不同的路径.,4.消序法(留空法),也可以看作是1,2,3,4,5,6,7,顺序一定的排列，有 种排法.,7,n个 相同小球放入m(mn)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段.,例5. 某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手名额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班至少一个名额,则不同的分配方案共有_种.,5.剪截法（隔板法）：,解： 问题等价于把16个相同小球放入4个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题.,将16个小球串成一串，截为4段有,种截断法，对应放到4个盒子里.,因此，不同的分配方案共有455种 .,8,n个 相同小球放入m(mn)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段.,变式： 某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手名额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班的名额不少于该班的序号数,则不同的分配方案共有_种.,5.剪截法：,解： 问题等价于先给2班1个，3班2个，4班3个，再把余下的10个相同小球放入4个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题.,将10个小球串成一串，截为4段有,种截断法，对应放到4个盒子里.,因此，不同的分配方案共有84种 .,9,编号为1至n的n个小球放入编号为1到 n的n个盒子里,每个盒子放一个小球.要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列.,6.错位法：,特别当n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44.,例6. 编号为1至6的6个小球放入编号为1至6的6个盒子里,每个盒子放一个小球,其中恰有2个小球与盒子的编号相同的放法有_种.,解： 选取编号相同的两组球和盒子的方法有,种,其余4组球与盒子需错位排列有9种放法.,故所求方法有159135种.,10,7.剔除法,从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法.,例7. 从集合0,1,2,3,5,7,11中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的经过坐标原点的直线有_条.,解：所有这样的直线共有 条，,其中不过原点的直线有 条，,所得的经过坐标原点的直线有210-18030条.,排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍.,11,B,B,巩固练习,12,A,4. 5个人排成一排，其中甲、乙不相邻的排法种数是（ ） A.6 B.12 C.72 D.144,C,巩固练习,13,分堆问题； 解决排列、组合问题的一些常用方法：错位法、剪截法（隔板法）、捆绑法、剔除法、插孔法、消序法(留空法).,小结,14,
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