等差、等比数列以及数列求和专题.doc

6.2 等差数列一课程目标1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数的关系.二知识梳理1.定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.数学语言表达式：an1and(nN*，d为常数)，或anan1d(n2，d为常数).2. 通项公式 若等差数列an的首项是a1，公差是d，则其通项公式为ana1(n1)d.3.前项和公式 等差数列的前n项和公式：其中nN*，a1为首项，d为公差，an为第n项).3. 等差数列的常用性质 已知数列an是等差数列，Sn是an的前n项和. (1)通项公式的推广： (2)若mnpq(m，n，p，qN*)，则有。特别的，当时， (3)等差数列an的单调性：当d0时，an是递增数列；当d0时，an是递减数列；当d0时，an是常数列. (4)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为md的等差数列. (5)若是等差数列，则仍是等差数列.4. 与等差数列各项和相关的性质（1） 若是等差数列，则也是等差数列，其首项与的首项相同，公差为的公差的。（2） 数列也是等差数列.（3） 关于非零等差数列奇数项与偶数项的性质。 .若项数为，则。 .若项数为，则，。（4）若两个等差数列的前项和分别为，则5.等差数列的前n项和公式与函数的关系：（1），数列an是等差数列SnAn2Bn(A，B为常数).（2）在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最大值；若a10，d0，则Sn存在最小值.三考点梳理1.等差数列的概念及运算例1.(2016全国卷)已知等差数列an前9项的和为27，a108，则a100()A.100 B.99 C.98 D.97例2.设等差数列an的前n项和为Sn，S36，S412，则S6_.练习1.(2015全国卷)已知an是公差为1的等差数列，Sn为an的前n项和.若S84S4，则a10等于()A. B. C.10 D.122.等差数列的性质例1.(2015全国卷)设Sn是等差数列an的前n项和，若a1a3a53，则S5()A.5 B.7 C.9 D.11例2.设等差数列an的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9等于()A.63 B.45 C.36 D.27例3.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为()A.13 B.12 C.11 D.10例4.(2015广东卷)在等差数列an中，若a3a4a5a6a725，则a2a8_.例5.(2016武汉调研)已知数列an是等差数列，a1a78，a22，则数列an的公差d等于()A.1 B.2 C.3 D.4例6.设等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意自然数n都有，则的值为_.3.等差数列与函数例1.等差数列an的前n项和为Sn，已知a113，S3S11，当Sn最大时，n的值是()A.5 B.6 C.7 D.8例2.设等差数列an的前n项和为Sn，a10且，则当Sn取最大值时，n的值为()A.9 B.10 C.11 D.12例3.已知等差数列an满足a1a2a3a1010，则有()A.a1a1010 B.a2a1000 C.a3a990 D.a5151例4.已知正项等差数列an的前n项和为Sn，若S1224，则a6a7的最大值为()A.36 B.6 C.4 D.2例5.设是公差为d（）的无穷等差数列的前n项和，则下列命题错误的是（ ）A. 若d0，则数列有最大项B.若数列有最大项，则d0D.若对任意，均有0，则数列为递增数列例6.设等差数列an满足a27，a43，Sn是数列an的前n项和，则使得Sn0成立的最大的自然数n是()A9 B10 C11 D12方法总结：求等差数列前n项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；(3)将等差数列的前n项和SnAn2Bn(A，B为常数)看作二次函数，根据二次函数的性质求最值.6.3 等比数列1 课程目标1. 理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式；2. 能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；3. 了解等比数列与指数函数的关系.2 知识梳理1.等比数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q0)表示.数学语言表达式：q(n2，q为非零常数)，或q(nN*，q为非零常数).(2)如果三个数a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，其中G.2. 等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列an的首项为a1，公比是q，则其通项公式为ana1qn1；通项公式的推广：anamqnm.(2)等比数列的前n项和公式：当q1时，Snna1；当q1时，Sn.3.等比数列的性质已知an是等比数列，Sn是数列an的前n项和.(1)若klmn(k，l，m，nN*)，则有akalaman.(2)数列（是等比数列），等也是等比数列。(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，akm，ak2m，仍是等比数列，公比为qm.(4)当q1，或q1且n为奇数时，Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为qn.(5)等比数列an的单调性：当q1，a10或0q1，a10时，数列an是递增数列； 当q1，a10或0q1，a10时，数列an是递减数列；当q1时，数列an是常数列.(6) 当是偶数时，;当为奇数时，3 考点梳理1. 等比数列的概念及运算例1.在单调递减的等比数列中，若，则()A.2 B.4 C. D.2例2.公比不为1的等比数列满足，若，则的值为()A.8 B.9 C.10 D.11例3.(2015全国卷)在数列an中，a12，an12an，Sn为an的前n项和.若Sn126，则n_.2.等比数列的性质例1.(2016全国卷)设等比数列满足a1a310，a2a45，则a1a2an的最大值为_.例2.设等比数列an的前n项和为Sn，若3，则()A.2 B. C. D.3例3.(2015全国卷)已知等比数列an满足a13，a1a3a521，则a3a5a7()A.21 B.42 C.63 D.84例4.设各项都是正数的等比数列an，Sn为前n项和，且S1010，S3070，那么S40等于()A.150 B.200C.150或200 D.400或50例5.在正项等比数列an中，已知a1a2a34，a4a5a612，an1anan1324，则n等于()A.12 B.13 C.14 D.15例6.数列an中，已知对任意nN*，a1a2a3an3n1，则aaaa等于()A.(3n1)2 B.(9n1) C.9n1 D.(3n1)例7.在等比数列an中，a21，则其前3项的和S3的取值范围是_.例8.已知数列an满足log3an1log3an1(nN*)，且a2a4a69，则的值是()A 5 B C5 D例9.在各项均为正数的等比数列an中，则=（ ）A.8 B6 C4 D例10.若等比数列的前项均为正数，且，则_.6.3数列求和一课程目标：1. 熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式；2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法.二知识梳理1.求数列的前n项和的方法(1)公式法等差数列的前n项和公式Snna1d.等比数列的前n项和公式()当q1时，Snna1；()当q1时，Sn.(2)分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.(3)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项.(4)倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广.(5)错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广.2.常见的裂项公式(1)(2)(3)三考点梳理1.求数列的通项公式。例1.已知数列an满足，其中nN*设，求证：数列是等差数列，并求出的通项公式；例2.已知数列an满足a1=，an+1= ，nN+求证：数列2是等比数列，并且求出数列an的通项公式；例3.已知数列的前n项和为Sn，（nN*且n2），数列满足：，且（nN*且n2）（）求数列的通项公式；（）求证：数列为等比数列；例4.在数列中，已知证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；例5.数列满足，（）。设，求数列的通项公式。例6.数列an满足，且(nN*)。(1)求数列an的通项公式;(2)令=+ ，求数列bn的前n项和.例7.数列an中，且（1）求；（2）求数列的通项公式；求通项公式的方法：利用；根据目标数列构造等差、等比数列，然后通过等差、等比数列的通项公式反推出原数列的通项公式；如果递推公式是有数列的前后三项组成，可先构造等比或等差数列，然后按照2的步骤进行反推。2.数列求和（1）分组转化法若数列的通项公式为，且，为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列的前n项和.若数列的通项公式为其中数列，是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求的前n项和.例1.在数列中，已知，（）（1）求数列的通项公式；（2）求证：数列是等差数列；（3）设数列满足=，求的前n项和例2. 已知是等比数列，前n项和为Sn(nN*)，且，.(1)求的通项公式；(2)若对任意的nN*，是和的等差中项，求数列的前项和.例3.数列1，3，5，7，(2n1)，的前n项和Sn的值等于()A.n21 B.2n2n1C.n21 D.n2n1例4.数列an的通项公式，其前n项和为Sn，则S2 016等于()A.1 008 B.2 016 C.504 D.0（2） 裂项相消法：利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项.将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.例1.(2015全国卷)Sn为数列an的前n项和.已知an0，a2an4Sn3.(1)求an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和.例2.设Sn为等差数列an的前n项和，已知S3a7，a82a33.(1)求an；(2)设bn，求数列bn的前n项和为Tn.例3.已知数列an的前n项和Sn=an+2（nN*），数列bn满足bn=2nan（1）求证数列bn是等差数列，并求数列an的通项公式；（2）设cn=，数列的前n项和为Tn，求满足Tn（nN*）的n的最大值例4.已知数列an的前 n 项和为 Sn，a1=1，且 an+1=2Sn+1，nN（1）求数列an的通项公式；（2）令 c=log3a2n，bn=，记数列bn的前 n 项和为Tn，若对任意 nN，Tn 恒成立，求实数 的取值范围（3） 错位相减法： 一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列bn的公比，然后作差求解。在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式. 例1.已知等差数列an的前n项和Sn满足S36，S515(1)求an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和Tn例2.已知数列an的前n项和为Sn，（nN+）（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足anbn=log3a4n+1，记Tn=b1+b2+b3+bn，求证：（nN+）例3.(2016山东)已知数列an的前n项和Sn3n28n，bn是等差数列，且anbnbn1(1)求数列bn的通项公式；(2)令cn，求数列cn的前n项和Tn（4） 倒序相加法： 如果一个数列，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法例1.已知，求的值；例2.已知函数，当时，恒有（1）求的值；（2）已知数列满足，求；（3）若，求例3.已知函数，是函数图象上的任意两点，且线段的中点的横坐标为（1）求证：点的纵坐标为定值；（2）数列中，若，求数列的前项的和27