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_课题1 任意角一、教学目标（一） 知识与技能目标理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与象限角的概念.（二） 过程与能力目标会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合（三）情感与态度目标1 提高学生的推理能力；2培养学生应用意识 二、教学重点：任意角概念的理解；终边相同的角的集合的表示三、教学难点：终边相同角的集合的表示四、教学过程（一）引入 1、回顾角的定义（在初中我们学习过角，那么请同学们回忆一下角的概念）有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.2、讨论实际生活中出现一系列关于角的问题一只手表慢了5分钟，另外一只快了5分钟，你是怎么校准的？校准后，两种情况下分针旋转形成的角一样的吗？那么我们怎样才能准确的描述这些角呢？这就不仅需要我们知道角的形成结果，还要知道角的形成过程。（今天同学们就跟着老师一起来学习角的新知识）（二）新课讲解：1角的有关概念：(在原来初中学习的角的概念基础上，我们重新给了角一个定义)（1）角的定义：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。一条射线绕着它的端点0，从起始位置OA旋转到终止位置OB,形成一个角，点O是角的顶点，射线OA、OB是角的始边、终边始边终边顶点AOB（2）角的分类：负角：按顺时针方向旋转形成的角 正角：按逆时针方向旋转形成的角零角：射线没有任何旋转形成的角(3)注意：为了简单起见，在不引起混淆的情况下，“角 ”或“ ”可以简化成“ ”；零角的终边与始边重合，如果是零角 =0；角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角（4）练习：老师举一些例子让同学说出角、各是多少度?2象限角的概念：定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限。课堂练习，初步理解象限角在直角坐标系中，下列各角的始边与x轴的非负半轴重合，请指出它们是第几象限的角 30； -120； 180；3终边相同的角讨论：对于直角坐标系内任意一条射线OB，以它为终边的角是否唯一？如果不唯一，那么终边相同的角有什么关系呢？（1）终边相同的角的表示：所有与角终边相同的角，连同在内，可构成一个集合S | = + k360 ，kZ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整个周角的和注意： kZ 是任一角； 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同终边相同的角有无限个，它们相差360的整数倍； 角 + k720 与角终边相同，但不能表示与角终边相同的所有角4、例题精讲例1在0到360范围内，找出与95012角终边相等的角，并判断它们是第几象限角例2写出终边在y轴上的角的集合(用0到360的角表示) 例3写出终边在上的角的集合S,并把S中适合不等式360720的元素写出来五、课堂小结与角相关的概念；象限角；终边相同的角的表示方法； 六、课后作业：教材P5练习第1-5题；预习弧度制七、板书设计-可编辑修改-课题2 任意角的三角函数 一、教学目标： 1.掌握任意角的三角函数的定义；2.已知角终边上一点，会求角的各三角函数值；3.树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；二、教学重点：三角函数的定义； 三、教学难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的三角函数表示出来四、教学过程（一）复习引入在初中，我们已经学过锐角三角函数，它是在直角三角形中进行定义的，知道它们都是以锐角为自变量，以直角三角形三边的比值为函数值的函数。 角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义. 如图,设锐角的顶点与原点重合,始边与轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象限.在的终边上任取一点,它与原点的距离.过作轴的垂线,垂足为,则线段的长度为,线段的长度为.则; .思考1：对于确定的角，这三个比值是否会随点在的终边上的位置的改变而改变呢？为什么?根据相似三角形的知识，对于确定的角，三个比值不以点P在的终边上的位置的改变而改变大小.我们就可以得到一个结论，确定的角，它的三角函数值是确定的。思考 2：我们能不能用直角坐标系中的点来表示三角函数？ 我们可以将点P取在使线段的长的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：; ; .思考3：还有那些点可以用它的横纵坐标来表示三角函数值呢?在引进弧度制时，我们用到了半径等于单位长度的圆，在直角坐标系中,我们称以原点为圆心,以单位长度为半径的圆称为单位圆.上述P点就是的终边与单位圆的交点, 锐角的三角函数可以用单位圆上点的坐标表示.（二）新课讲解1.任意角的三角函数的定义结合上述锐角的三角函数值的求法, 显然,我们可以利用单位圆来定义任意角的三角函数.如图,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么:(1)叫做的正弦(sine),记做,即 ；（2）叫做的余弦(cossine),记做,即；（3）叫做的正切(tangent),记做,即.说明:(1)当时，的终边在轴上，终边上任意一点的横坐标都等于，所以无意义。(2)正弦,余弦,正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将这种函数统称为三角函数.2.练习利用定义求角的三角函数值例1例2已知角的终边过点，求角的正弦,余弦和正切值。思考：如果将题目中的坐标改为（-3a，-4a）,题目又应该怎么做？ 得出规律：三角函数的值与点P在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离，即可求出三角函数值。五、课堂小结任意角的三角函数六、布置作业练习1、2、3、4七、板书设计课题3 同角三角函数的基本关系一、教学目标：1、掌握同角三角函数的基本关系式、变式及其推导方法；2、会运用同角三角函数的基本关系式及变式进行化简、求值及恒等式证明；3、培养学生观察发现能力，提高分析问题能力、逻辑推理能力增强数形结合的思想、创新意识 。二、教学重点：同角三角函数的基本关系式推导及其应用三、教学难点：同角三角函数的基本关系式与变式的灵活运用四、教学过程（一）引入1、什么是三角函数？正弦,余弦,正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将这种函数统称为三角函数.问题：数学中很多量之间都具有特定的联系，比如直角三角形的勾股定理。那么三角函数之间是否也具有某种关系呢？ 2、探究活动： =？ ， =？ ， ？=？ ， =？ ， ？3、由上情况初步得出什么结论？（二）新课讲解1. 同角三角函数之间的关系三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,现在我们还是利用直角坐标系中的单位圆来探讨同一个角不同三角函数之间的关系。 如图:以正弦线,余弦线和半径三者的长构成直角三角形,而且.由勾股定理由,因此,即.显然，当的终边与坐标轴重合时，这个公式也成立。根据三角函数的定义,当时,有.OxyPM1A(1,0)通过上面一系列的推证，我们可以得到，同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角的正切，这就是我们同角三角函数的基本关。2. 例题讲评例6.已知,求的值.通过例题，我们可以知道这三者知一求二,我们要熟练掌握. 例7.求证:.通过本例题,总结证明一个三角恒等式的常用方法.我们可以从等式一边证到等式另一边，得等式右边与左边相等，或者等式左边与右边相等。 “两面夹击,中间会师”，即左右归一，将等式两边的“异”化为“同”。5.巩固练习P20页第4,5题五、学习小结（1）同角三角函数的关系式的前提是“同角”，因此，（2）利用平方关系时，往往要开方，我们要注意角的取值范围，要先根据角所在象限确定符号。 六、课后作业布置作业：习题1.2 A组第10,13题.七、板书设计课题4 正弦函数、余弦函数的图像一、教学目标1、了解用正弦线画正弦函数的图象,理解用平移法作余弦函数的图象2、掌握正弦函数、余弦函数的图象及特征3、掌握利用图象变换作图的方法，体会图象间的联系4、掌握“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图5、通过动手作图，合作探究，体会数学知识间的内在联系6、 体会数形结合的思想二、教学重点：正余弦函数图象的做法及其特征三、教学难点：正余弦函数图象的做法，及其相互间的关系四、教学过程（一）复习引入学习函数我们往往要研究它的图像与性质，前面我们已经对正弦函数、余弦函数有了一个初步的了解，那么它们的图像是什么呢？今天我们就来研究正弦函数和余弦函数的图像。我们知道物理中简谐运动的图像就是“正弦曲线”或“余弦曲线”，现在我们来看一个沙摆实验的视频，来看看图像的形状是怎样的。（二）讲授新课1、正弦函数y=sinx的图象下面我们利用正弦线来一起画一个比较精确的正弦函数图象。先建立一个直角坐标系，它的坐标原点为o，再在直角坐标系的x轴上取一点o1，以o1为圆心作单位圆，从圆o1与x轴的交点A起将圆12等分，过各等分点向x轴作垂线，分别得到 等的正弦线。再把x轴从0-2这一段等分成12等分，把这些角的正弦线平移到对应的点上，再把这些正弦线的终点用光滑的曲线连接起来，就得到 的图像。P31（设计意图：通过按步骤自己画图，体会如何画正弦函数的图象，对图像理解更加透彻。）因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数 的图像与 的图像时完全一致的。于是我们只要将 的图像每次左右平移2个单位长度就可以得到正弦函数的图像。图2、余弦函数y=cosx的图象 探究：是否能够根据正弦函数图象，通过适当的图形变换得到余弦函数的图象？根据诱导公式,可以把正弦函数y=sinx的图象向左平移 单位即得余弦函数y=cosx的图象. 图 正弦函数y=sinx的图象和余弦函数y=cosx的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线思考：利用正弦线画正弦函数的图象比较繁琐，那么我们还能够用什么更简单的方法画出图像吗？通过观察，在正弦函数0-2的图像上，起关键作用的点有五个：（0,0) (,1) (p,0) (,-1) (2p,0)。余弦函数0-2的图像上，起关键作用的点也有五个：(0,1) (,0) (p,-1) (,0) (2p,1)。事实上，描出这五个点后，函数的图像就基本确定了。因此在精确度不太高时，常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图3、 例题讲解例1 作下列函数的简图(1)y=1+sinx，x0，2， （2）y=-COSx 【设计意图】通过两道例题检验学生对五点画图法的掌握情况，巩固画法步骤。探究1：如何利用y=sinx，0，的图象，通过图形变换（平移、 翻转等）来得到y1sinx ,0，的图象；小结：函数值加减一个常数，图像上下移动探究2：如何利用y=cos x，0，的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到y-cosx ，0，的图象？ 小结：如果函数值互为相反数，函数的图像就是原函数关于X轴对称的图像。【设计意图】通过四个探究问题，对画图法以及正弦余弦函数及其图象的性质有更深刻的认识。五 、学习小结对本节课所学内容进行小结【设计意图】在梳理本节课所学的知识点归纳的过程中进一步加深对正弦函数、余弦函数图象认知。培养学生归纳总结的能力，自主构建知识体系。六、课后作业课后练习1,2【设计意图】将课堂延伸，使学生将所学知识与方法再认识和升华，进一步促进学生认知结构内化。注重学生的个体发展，是每个层次的学生都有所进步。七、板书设计课题5 正切函数的性质和图像一、教学目标1、探索并掌握正切函数的性质；2、能根据正切线画出正切函数的图象二、教学重点：掌握正切函数的基本性质三、教学难点:利用正切函数的性质画出其图像，特别是对正切函数图像的渐近线的认识。四、教学过程(一)引入问题1：前面我们学习过正切函数，它是怎么样定义的呢？对于任意的一个实数x都有唯一确定的tanx与它对应，按照这个对应关系建立的函数关系y=tanx，就叫做正切函数（x不等于k+1/2）。问题2：作函数图像常用的方法有哪些？ （遇到一个函数，我们自然而然就想到作它的图像）（1）描点法：它是作函数图像最基本的方法（2）利用基本初等函数图像的变换（主要包括平移变换）问题3：正切函数应该选用哪种作图法呢？描点法（因为的图像不能通过我们熟悉的函数图像平移得到）（二）新课讲解画正切函数的图像要通过描点法来画，那么我们应该选那些点来描？点描好了如何连线呢？这些都需要结合函数的性质。所以，我们先来探究一下函数的性质。1、正切函数的性质（1）定义域（我们知道研究函数首先要考虑的就是定义域，定义域是首要因素）（2）周期性（根据周期函数的定义）（3）奇偶性（4）单调性（正切线的变化规律）（5）值域（正切线的大小）2、正切函数的图像想一想，我们是怎么得到正弦函数图像的呢?正切函数可以用同样的方法得到它的图像吗？同学们可以动手画一画在一个周期上正切函数的图像。从前面我们得出的正切函数的性质我们可以知道在内函数是单调递增的，且是函数的一个周期，那样我们就得出了正切函数一个周期的函数图像。根据我们得到到正切函数的周期性，只要把图像左右扩展就可以得到正切函数的图像了。3、例题讲解例六五、学习小结：学生总结，老师补充六、布置作业：P45练习1-6七、板书设计课题6平面向量的实际背景及基本概念一、教学目的：1了解平面向量的实际背景；2掌握向量的几何表示；3理解向量的有关概念；4逐步培养学生观察、分析、综合类比能力、“知识重组”意识和“数形结合”能力。二、教学重点：向量、相等向量和共线向量的概念；向量的几何表示。三、教学难点：向量的概念和共线向量的概念。四、教学过程：（一）引入同学们都知道，数学是一门基础学科，是解决其它一些学科问题的有力工具。实际上，数学的很多理论也是由其它学科的一些知识抽象而来的。比如同学们学习的物理，它与数学就有非常密切的关系。（二）新课讲解1、向量的物理背景与概念提问：请同学们回忆在物理中所学习过哪些既有大小又有方向的量？（力、位移）指导阅读：P74相关内容向量的概念：数学中，我们把既有大小又有方向的量叫向量（物理学中常称为矢量）。而把那些只有大小，没有方向的量如：年龄、身高长度、面积、体积、质量等，称为数量（物理学中常称为标量）。注意：数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。2、向量的几何表示（1）有向线段由于实数与数轴上的点一一对应，所以数量常常用数轴上的一个点表示，而且不同的点表示不同的数量。对于向量，我们常用带箭头的线段来表示，这种带有方向的线段叫有向线段。如图2.1-5，图以A为起点、B为终点的有向线段记作，或简记为a，起点写在终点的前面。已知，线段AB的长度也叫做有向线段的长度，也叫做模，记作【】问题1：:联系物理中力的三要素：大小、方向、作用点，请同学们想一下有向线段有三要素吗？有的话，分别是是什么？有向线段的三要素：起点、方向、长度。知道了有向线段的起点、方向和长度，它的终点就唯一确定。问题2： “向量就是有向线段，有向线段就是向量。”的说法对吗？（不对，向量可以用有向线段来表示，但向量并不是有向线段）向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段）（2）零向量、单位向量概念长度为0的向量叫零向量，记作0。注意0与0的区别（及书写方法）。长度等于1个单位的向量，叫单位向量。说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向。3、平行向量、共线向量与相等向量（1）平行向量定义：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我们规定0与任一向量平行。平行向量可以在同一直线上（2）共线向量定义：平行向量也叫做共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上 注意：平行向量和共线向量就是指同一种概念（只有平行向量才可以平移到同一条直线上，而平行向量有包含共线向量的）（3）相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量。 说明：（1）向量a与b相等，记作a=b（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的方向和模确定。问题3：两个向量是否可以比较大小？（向量不能比较大小，我们知道，长度相等且方向相同的两个向量表示相等向量，但是当长度相等，方向不同的时候我们就无法比较它的大小了，所以两个向量之间只有相等关系，没有大小之分.）4、例题讲解例1例2 五、课堂小结：教师自结，教师总结六、课后作业：P77练习1-4七、板书设计课题7 向量减法运算及其几何意义一、教学目标：1. 了解相反向量的概念；2. 掌握向量的减法，会作两个向量的差向量，并理解其几何意义；3. 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物间可以相互转化的辩证思想.二、教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法三、教学难点：减法运算时方向的确定.四、教学过程（一）复习引入前面我们学习了向量的加法，两个向量和的运算就叫做向量的加法。数与数之间是可以相加减的，那么向量是否具有减法运算呢？是否能和数一样进行相减呢？向量的加减法是不是还是像数的加减法一样是一组逆运算呢？如果是，那么向量的减法是否与数的减法有类似的法则呢？（二）新课讲解1、相反向量（p85）：（我们知道数是有相反数的，与数x的相反数是-x类似）我们把与a长度相同、方向相反的向量就叫做相反向量，记作 -a。相反向量具有以下几种性质：（1）-（-a）=a（2）任一向量与其相反向量的和是零向量（前进5步后退5步）a+（-a）=（-a）+a=0（3）如果a、b互为相反向量，那么 a=-b b=-a a+b=0根据这几条性质，我们可以得到减去一个向量就等于加上这个向量的相反向量。2、 向量减法的定义向量a加上它的相反向量b，叫做a与b的差，求两个向量差的运算叫做向量的减法，向量的减法就是向量加法的逆运算。3、向量减法的几何意义 P85 探究：如果从向量a的终点到b的终点作向量，那么所得向量是什么？（b - a）4、例题讲解例3例4图思考：变式一：当a， b满足什么条件时，a+b与a-b垂直？（|a| = |b|菱形）变式二：当a， b满足什么条件时，|a+b| = |a-b|？（a， b互相垂直）变式三：a+b与a-b可能是相等向量吗？（不可能， 对角线方向不同）五、课堂小结：向量减法的定义、作图法|六、作业：练习1-3七、板书设计课题8平面向量基本定理一、教学目标：掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个向量；或一个向量分解为两个向量二、教学重点：平面向量的基本定理及其应用三、教学难点：平面向量的基本定理四、教学过程：（一）引入在物理学中如何对合力进行分解的？我们知道力在数学中我们可以把它看成是向量，那么，向量也能像力一样进行分解吗？带着这个问题请同学们跟老师一起来探究今天的课题。（二）新课讲解1、平面向量基本定理，是不共线向量，是平面内任一向量由这个过程，我们可以得到平面内任一向量都可以由这个平面内不共线的向量，表示出来。当这两个向量，确定之后，我们就可以通过它们表示出任意的一个向量了。由此，得到平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1 ，2使1+2理解这个定理要注意几个问题：（1）,必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底；（2）1，2是被，唯一确定的数量 2、向量的夹角（直线与直线之间是有夹角的，向量与向量之间肯定也是有夹角的）已知两个非零向量、，作，则AOB（0180），叫做向量与的夹角3、垂直向量当0，与同向；当180时，与反向，如果与的夹角为90，我们说与垂直，记作：4、例题讲解例1 五、课堂小结平面向量基本定理，其实质在于：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合六、课后作业复习本节，预习下节知识 七、板书设计课题9平面向量数量积的物理背景及其含义一、教学目标1、理解平面向量的数量积、投影的定义2、掌握平面向量数量积的性质3、了解用平面向量数量积处理有关长度、角度和垂直的问题二、教学重点：平面向量的数量积的定义、几何意义及其性质.三、教学难点：平面向量数量积性质的探究.四、教学过程(一)复习引入 p103在物理中，我们都学过物体在力f的作用下是怎么做功。我们都知道f、s都是两个向量，那么我们是不是可以把“功”看成是两个向量的一种运算结果呢？ (二)新课讲解 如果把和这两个向量推广到一般的向量，就引出向量数量积的定义1、数量积的定义：已知两个非零向量和，把数量叫做与数量积（或内积），记作（注意：两个向量的运算符号是用“”表示的，且不能省略），即 （ 注：我们规定，零向量与任意向量的数量积都为零，即.2、投影（同学们请回忆一下，物理中是怎样理解力f做功的?是不是把它理解为力f在位移s上的一个分力f1所做的功呢？也就是W= F1 X S ）是由的引出来的，而是所做的功，是在方向上的分力，那么在数量积中叫做什么呢？这是我们今天要学的第二个新概念：cos（cos）叫做向量在方向上(在方向上）的投影.3、数量积的几何意义根据投影的定义，引导学生说出数量积的结构，也就是数量积的几何意义：数量积在方向上的投影的乘积思考：接下来，请同学们思考一个问题：根据定义我们知道数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？我们前面已经提到两个向量的夹角在，根据余弦函数的知识我们可以知道:当时，；当时，4、向量数量积的性质设a、b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量， 是a与e的夹角。有如下性质：（1）e.a=a.e=（2）ab互推a.b=0（3）当a与b同向时，a.b=当a与b反向时，a.b=特别的，a.a=或5、向量数量积的运算律运算律和运算紧密相连，学习了向量数量积的运算之后，引进向量数量积后，自然要看一看它满足怎样的运算律，同学们能推导下列运算律吗？（1）a.b=b.a 交换律 (2) 不满足向量之间的结合律（3）（a+b）.c=a.c+b.c分配律5、例题讲解例1例2例3例4 五、课堂小结1 向量数量积的定义及投影的定义2 向量数量积的几何意义3 向量数量积的性质4向量数量积的运算规律六、课后作业(1)复习今天所讲的知识，预习下节课所讲内容；(2)必做题：教科书P108，习题2.4 A组 2、6题；(3)选做题:教科书P108，习题2.4 B组 5题.七、板书设计平面向量数量积的物理背景及其含义1、数量积的定义 4、向量数量积的运算律 5、课堂小结 2、投影的定义 3、数量积的几何意义 6、课后作业 4、向量数量积的性质课题10两角差的余弦公式一、教学目标掌握两角差的余弦公式及运算；二、教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式，并应用公式解题三、教学难点：探索两角差的余弦公式过程的组织和引导四、教学过程：（一）新课导入我们知道，那么像cos15这种非特殊角我们怎么求呢？ 呢？通过运算可知我们的猜想是错误的！那么两角差的余弦到底是什么呢？这就是我们本节课探究的主要内容。（二）新课讲授：思考1：(前面我们探究同角三角函数的基本关系的时候利用的是三角函数线，那么我们现在也用三角函数线来探究两角差的余弦公式)怎样联系单位圆上的三角函数线来探求公式？(学生自学p125)思考2：（我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题）两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明？（老师引导学生一起探究）（三）例题讲解例1、利用差角余弦公式求的值.总结：把一个具体角构造成两个角的差的形式，有很多种构造方法，要学会灵活运用.例2、已知，是第三象限角，求的值.注意：例2是一个常见的题型，在计算的过程中往往要进行开方运算，开方后就涉及到去争取负的问题，大家要注意角、的象限。五、课堂小结（1）牢记公式（2）注意角、的象限，也就是符号问题. 六、课后作业练习1-4七、板书设计 两角差的余弦公式一、两角差的余弦公式 三、课堂小结二、例题讲解 四、课后作业THANKS !致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习课件等等打造全网一站式需求欢迎您的下载，资料仅供参考
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