数学名师叶中豪整理高中数学竞赛平面几何讲义(完整版).doc

. .高中平面几何叶中豪学习要点几何问题的转化圆幂与根轴Ptolemy定理及应用几何变换及相似理论位似及其应用完全四边形与Miquel点垂足三角形与等角共轭反演与配极，调和四边形射影几何复数法及重心坐标方法例题和习题1四边形ABCD中，AB=BC，DEAB，CDBC，EFBC，且。求证：2EF=DE+DC。（10081902.gsp）2已知相交两圆O和O交于A、B两点，且O恰在圆O上，P为圆O的AOB弧段上任意一点。APB的平分线交圆O于Q点。求证：PQ2=PAPB。（10092401-1. gsp）3设三角形ABC的Fermat点为R，连结AR，BR，CR，三角形ABR，BCR，ACR的九点圆心分别为D，E，F，则三角形DEF为正三角形。（10082602.gsp）4在ABC中，已知A的内角平分线和外角平分线分别交外接圆于D、E，点A关于D、E的对称点分别为F、G，ADG和AEF的外接圆交于A和另一点P。求证：AP/BC。（10092102.gsp）5圆O1和圆O2相交于A、B两点，P是直线AB上一点，过P作两圆作切线，分别切圆O1和圆O2于点C、D，又两圆的一条外公切线分别切圆O1和圆O2于点E，F。求证：AB、CE、DF共点。（10092201.gsp）6四边形ABCD中，M是AB边中点，且MC=MD，过C、D分别作BC、AD的垂线，两条垂线交于P点，再作PQAB于Q。求证：PQC=PQD。（10081601-26.gsp）7已知RTABDRTADC，M是BC中点，AD与BC交于E，自C作AM垂线交AD于F。求证：DE=EF。（10083001.gsp）8在ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，E是ABC外一点，满足CEAB，BE=BD。过线段BE的中点M作直线MFBE，交ABD的外接圆的劣弧AD于点F。求证：EDDF。（2010年女子竞赛）（10081601-4.gsp）9设圆I1是ABC的BC边外的旁切圆，D、E、F分别是切点，若I1D与EF交于P点。求证：AP平分底边BC。（10082001-8.gsp）10如图，O切ABC的边AB于点D，切边AC于点C，M是边BC上一点，AM交CD于点N求证：M是BC中点的充要条件是ONBC。（09031302.gsp）11已知：BC是圆上的定弦，而动点A在圆上运动，M是AC中点，作MPAB于P。求P点的轨迹。（10081601-4.gsp）12ABC外接圆为圆O，P为AB上一点，过P分别作OA、OB的垂线，与AC、BC交于S、T，与AB交于M、N。求证：PM=MS的充要条件是PN=NT。（10081601-3.gsp）13在ABC中ACBC，F是AB的中点，过F作它的外接圆直径DE，使得C、E在AB同一侧，又过C做AB的平行线交DE于L。求证 ：(AC+BC) 24DLEF。 （09011003.gsp）14已知：P是垂直ABC外接圆BC弧上任意一点，PDBC于D，PECA于E，PFAB于F。求证：(BC/PD)(AC/PE)+(AB/PF)。（09012201-7.1.gsp）15已知O是ABC的外心，M是BC边中点，D是OM延长线上一点，满足DO=DB，E、F分别是AB、AC边上的点，满足MEA=MFA=A。求证：ADEF。（10080302.gsp）16已知ABC中，ABAC，线段AB上有一点D，线段AC延长线上有一点E，使得DEAB。线段DE与ABC的外接圆交于点T，P是线段AT延长线上的一点。求证：点P满足PDPEAT的充要条件是P在ADE的外接圆上。（2000年国家集训队）（10082201-1.gsp）17已知ABC中，内心I关于BC边中点M的对称点为I，S是BC弧（不含A点）中点，直线SI交ABC的外接圆于另一点P。求证：P点到ABC较远的顶点距离等于到另两个顶点距离的和。（10082201-5.gsp）18在ABC外作DBCECAFAB，联结AD、BE、CF。求证：AF+FB+BD+DC+CE+EAAD+BE+CF。（10081601-2.gsp）19过ABC内一点O引三边AB、BC、CA的平行线与其它两边的交点分别为E、F、G、H、I、K，过O作ABC的外接圆的弦AL。求证：OEOFOGOHOIOKOAOL。（09042002.gsp）20一小圆内切大圆于点N，BA、BC是大圆的两条弦，且分别切小圆于K、M，劣弧AB和劣弧BC的中点分别为Q、P，又设BQK、BPM外接圆的另一个交点为B1。求证：BPB1Q为平行四边形。（10082001-1.gsp）21圆O与圆O1、圆O2同时相切，切点为S、T，圆O1与圆O2交于A、B两点，且圆O2的圆心恰在圆O1上。设公共弦AB延长交圆O于C、D两点，联结SC、SD分别交圆O1于P和Q。求证：PQ与圆O2相切。（40届IMO）（10082001-12.gsp）22设KL、KN是圆O的切线，M是KN延长线上一点，过K、L、M三点的圆与圆O交于P，作NQLM于Q。求证：MPQ=2NML。（98年伊朗竞赛）（10081601-5、6.gsp）（09022203.gsp）23设ABC内接于圆O，过O作OEBC交圆O于E，交AB于F，交AC延长线于G。过G作圆O的切线GT，T为切点。求证：TFGE。（10092104.gsp）24已知圆O外一点P向圆O作切线PA、PB和一条割线PEF，M是EF上一点，联结BM延长交圆O于C。求证：AC/PEF的充要条件是M为EF中点。（10092401-6.gsp）25过点P任作圆O的两条割线PAB、PCD，直线AD与BC交于Q，弦DE/PQ，BE交PQ延长线于M。求证：OMPQ。（10092103-1.gsp）26如图，设O1与O2交于AB两点。AC是O2的切线，交O1于C点。AD是O1的切线，交O2于D点。过A任作直线，交O1、O2及经过A、C、D三点的圆分别于M、N、P。求证：AM=NP。（10091002-6.gsp）27两圆圆O1和圆O2相交于M、P，过M作圆O2的切线交圆O1于A；又过M作圆O1的切线交圆O2于B，在直线MP上截取PH=MP。求证：四边形MAHB内接于圆。（10091002-1.gsp）28已知两个半径不等的圆O1和圆O2相交于M、N两点，且圆O1和圆O2分别与圆O内切于S、T两点。求证：OMMN的充要条件是S、N、T三点共线。（1997年全国联赛）（10090301-3.gsp）29设以O为圆心的圆经过ABC的两个顶点A和C，且与边AB、BC分别交于K和N，又设ABC和KBN的外接圆交于B和另一点M。求证：OMB=90。 （1985年IMO）（10090301-1.gsp）30已知：在OAB与OCD中，OA=OB，OC=OD，直线AB与CD交于点P，PAC与PBD的外接圆交于P、Q两点。求证：OQPQ。（09022301.gsp）31已知半圆圆心为O，直径为AB，一直线交半圆于C、D，交AB延长线于P，设M是AOC与BOD外接圆除O点外的另一交点。求证：OMMP。（10091001.gsp）32凸四边形ABCD内接于圆O，两组对边所在直线分别交于点E、F，对角线AC、BD交于G，作GHEF于H，圆O的弦MN经过G点。求证：GH与圆O交点恰是HMN的内心。（10092103-2.gsp）33O为ABC的外接圆，P为劣弧AB上一点，E、F分别为AC、AB延长线上的点，BE、CF交于D，PE、PF分别交O于S、R。若AD、BC、RS共点，求证：点D在O上。（10090801.gsp）（10092103-8.gsp）34已知：D、E、F分别在ABC三边上，满足EBED，FCFD，O是ABC外心。求证：A、E、O、F四点共圆。（09033102.gsp）35如图，设N是ABC的BAC弧中点，M是BC边中点，I是ABC的内心。求证：ANI2IMC。（09021701.gsp）36设T为ABC的内切圆与BC边的切点，D为BC上任一点，I1、I2分别为ABD、ACD的内心。求证：T I1T I2。（10081701-9.gsp）37矩形ABCD中，ABAC。P是以为AB直径的半圆上任意一点，PC、PD分别交AB于F、E。求证：AE2BF2AB2。（09013001.gsp）38 AB是圆O的直径，P是过B所作切线上的任一点，过P作圆O的割线PCE，联结直线PO分别交AC、AD于E、F。求证：OE=OF。（10081001-4.gsp）39自圆O外一点P作切线PA、PB及割线PCD，自C作PA的平行线，分别交AB、AD于E、F。求证：CE=EF。（10081001-5.gsp）40A为圆O上一点，B为圆外一点，BC、BD分别相切圆O于C、D，DE垂直AO于E，DE分别交AB、AC于F、G。求证：DFFG。（09042001.gsp）41P为圆外一点，PA、PD为切线，PCE为割线。过D作PA的平行线，分别与AC延长线及线段AE交于B、F。求证：D为BF中点。（09031302.gsp）42已知P、Q是等腰三角形ABC（AB=AC）内两点，满足ABP=QCB，且ACP=QBC。求证：A、P、Q三点共线。（10090101-1.gsp）43已知锐角ABC中，AD是高，O是外心，AO的延长线交过O、B、C三点的圆于P，自P作PEAB于E，PFAC于F。求证：DEPF是平行四边形。（10091701.gsp）44已知E、F是圆内接四边形ABCD对边AB、CD的中点，M是EF的中点，自E分别作BC、AD的垂线，垂足记为P、Q。求证：MP=MQ。（10091701-1.gsp）45AD为ABC内角平分线，I1、I2为ABD、ACD的内心，以I1I2为底向BC边作等腰E I1I2，使得I1EI2BAC。求证：DEBC。（10081701-1.gsp）46已知P是凸四边形内一点，满足PAB=CAD，PCB=ACD。求证：PB=PD的充要条件是ABCD四点共圆。（2004年IMO）（10091701-6.gsp）（09030801.gsp）47已知D是ABC底边BC上任一点，P是形内一点，满足1=2，3=4。求证：(PB/PC)=(AB/AC)。（09030801.gsp）48已知：D是ABC的BC中垂线上一点，I1、I2是ABD、ACD的内心，E是ABC外接圆弧BAC的中点。求证：A、E、I1、I2四点共圆。（08081201.gsp）49如图，ABC中，M为BC的中点，以AM为直径的圆分别与AB、AC交于E、F两点，圆在E、F两点的切线交于点D。求证：DMBC。（09013101.gsp）50已知：O两切线PA、PB和一割线PCD，AD、AP交C处的切线于E、F，BE交DF于K。求证：K在圆O上。（09022201.gsp）51设O1与O2交于C、D。过D的直线交O1与O2于A、B。点P在弧AD上，PD与AC的延长线交于M，Q在弧BD上，QD与BC的延长线交于N，O为ABC外心。求证：MNOD是P、Q、M、N四点共圆的充要条件。（09020401.gsp）52设X是P点的Simson线关于ABC的垂极点。求证：XP被Simson线所平分。（09031903.gsp）53已知：AD是高，O、H是外心和垂心，过D作OD垂线，交AC于E。求证：DHE=C。（09022202.gsp）54ABC中，AD为边BC上的中线，E、F、G分别为AB、AC、AD上的点，且A、E、G、F四点共圆。设BDE外心为O1、半径为r1；CDF外心为O2、半径为r2。求证：GO12GO22r12r22。（09031401.gsp）55已知P是ABC内一点，A1、B1、C1分别是圆弧BPC、CPA、APB的中点。求证：P、A1、B1、C1四点共圆。（09042401.gsp）56给定ABC，D、E、F是边BC、CA、AB上的任意三点，M、N分别是BDF、CDE的外心。P、Q分别是BC、MN上的点，满足(BP/PC)=(MQ/QN)。AP与AEF相交于R点。求证：（1）QR=QD；（2）RQD=2APC。（09042601.gsp）57已知O1与O2交于C、D两点，A、B分别是两圆上的点，满足PAPB，E、F是弧AQ、BQ中点。求证：C、D、E、F四点共圆。（09022001.gsp）58ABC中，D、E、F是边BC、CA、AB的中点，X、Y、Z是各边上高的垂足，EZ与FY交于L，FX与DZ交于M，DY与EX交于N。求证：L、M、N三点共线。（10092101.gsp）59设ABC的内切圆分别与三边切于D、E、F，联结AD交内切圆于另一点P，联PB、PE、PF。求证：PF/BC的充要条件是BPD=EPD。（10091002-7.gsp）60已知ABC和任意直线d，自A、B、C作d的垂线，垂足分别为A、B、C； 再自A、B、C分别作对边BC、CA、AB的垂线，设这三条垂线共点于H。在d上任取一个动点M，自M作d的垂线，分别交AB、AC所在直线于K、L。在线段BK、CL及HA延长线上分别取分点P、Q、X，满足(BP/PK)=(CQ/QL)=(HA/AX)。求证：XMPQ。（09031602.gsp）61已知ABCD是等腰梯形，P是其底边BC上任意一点，E、F两点分别位于AB、AC上，满足EBEP，FPFC。联接EF，并作P点关于EF的轴对称点Q。求证：DQPQ。（09041401.gsp）62设D、E分别为ABC的边AB、BC上的点，P是ABC内一点，且PEPC，DEPPCA。求证：BP是PAD的外接圆的切线。（09040601.gsp）63在凸四边形ABCD中，DCA与CDB的外角平分线分别是边CB与DA，E、F分别为AC、BD的延长线上的点，且C、E、F、D四点共圆。平面上的一点P使得DA是PDE的外角平分线，CB是PCF的外角平分线。边AD与BC所在直线交于点Q。求证：点P在边AB上的充分必要条件是点Q在线段EF上。（09033001.gsp）64平面上有四个点A1、A2、A3、A4，其中任意三个点都不在一条直线上。并且它们满足：A1A2A3A4A1A3A2A4A1A4A2A3。对于任意i，j，k，l1，2，3，4，我们设Oi为AjAkAl的外心。若对于1i4均有AiOi，证明：四条直线AiOi平行或共点。（09030602.gsp）65圆O1和圆O2相交于P、Q两点，AB是两圆的外公切线，BP、AP分别交另一圆于C、D，直线AC、BD交于X点，过X、A、B三点的圆与过X、C、D三点的圆交于另一点M。求证：MBX=MQP。（10082901-1.gsp）66在任意ABC的BC边下方取D点，满足ABDACD120，并作正三角形EBC。求证：ABC的Euler线平行于DE。（10073102.gsp）67已知M、N是四边形ABCD对边AD、BC上任意两点，E、F是对边AB、CD上两点，满足(AE/EB)=(CF/FD)=(AM/MD)*(CN/NB)，AN、BM交于P，CM、DN交于Q。求证：PQ/EF。（10082601-3.gsp）欢迎您的光临，Word文档下载后可修改编辑.双击可删除页眉页脚.谢谢！希望您提出您宝贵的意见，你的意见是我进步的动力。赠语； 1、如果我们做与不做都会有人笑，如果做不好与做得好还会有人笑，那么我们索性就做得更好，来给人笑吧！ 2、现在你不玩命的学，以后命玩你。3、我不知道年少轻狂，我只知道胜者为王。4、不要做金钱、权利的奴隶；应学会做“金钱、权利”的主人。5、什么时候离光明最近？那就是你觉得黑暗太黑的时候。6、最值得欣赏的风景，是自己奋斗的足迹。7、压力不是有人比你努力，而是那些比你牛几倍的人依然比你努力。 word版本