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指数函数(一)指数与指数幂的运算1根式的概念:一般地,如果,那么叫做的次方根,其中1,且*负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作。当是奇数时,当是偶数时,2分数指数幂正数的分数指数幂的意义,规定:0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义3实数指数幂的运算性质(1) ;(2) ; (3)(二)指数函数及其性质1、指数函数的概念:一般地,函数叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域为R注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和12、指数函数的图象和性质a10a1定义域 R定义域 R值域y0值域y0在R上单调递增在R上单调递减非奇非偶函数非奇非偶函数函数图象都过定点(0,1)函数图象都过定点(0,1)注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1)在a,b上,值域是或(2)若,则;取遍所有正数当且仅当;(3)对于指数函数,总有;指数函数例题解析【例1】求下列函数的定义域与值域:解 (1)定义域为xR且x2值域y0且y1(2)由2x+210,得定义域x|x2,值域为y0(3)由33x-10,得定义域是x|x2,033x13,练习:(1); (2); (3);【例2】指数函数yax,ybx,ycx,ydx的图像如图262所示,则a、b、c、d、1之间的大小关系是 Aab1cd Bab1dcC ba1dc Dcd1ab解 选(c),在x轴上任取一点(x,0),则得ba1dc练习:指数函数 满足不等式 ,则它们的图象是 ( ). 【例3】比较大小:(3)4.54.1_3.73.6解 (3)借助数4.53.6打桥,利用指数函数的单调性,4.54.14.53.6,作函数y14.5x,y23.7x的图像如图263,取x3.6,得4.53.63.73.6 4.54.13.73.6说明 如何比较两个幂的大小:若不同底先化为同底的幂,再利用指数函数的单调性进行比较,如例2中的(1)若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时,有两个技巧,其一借助1作桥梁,如例2中的(2)其二构造一个新的幂作桥梁,这个新的幂具有与4.54.1同底与3.73.6同指数的特点,即为4.53.6(或3.74.1),如例2中的(3)练习: (1)1.72.5 与 1.73( 2 )与( 3 ) 1.70.3 与 0.93.1()和【例5】作出下列函数的图像:(3) y2|x-1| (4)y|13x|解 (2)y2x2的图像(如图265)是把函数y2x的图像向下平移2个单位得到的解 (3)利用翻折变换,先作y2|x|的图像,再把y2|x|的图像向右平移1个单位,就得y2|x-1|的图像(如图266)解 (4)作函数y3x的图像关于x轴的对称图像得y3x的图像,再把y3x的图像向上平移1个单位,保留其在x轴及x轴上方部分不变,把x轴下方的图像以x轴为对称轴翻折到x轴上方而得到(如图267) (1)判断f(x)的奇偶性; (2)求f(x)的值域;(3)证明f(x)在区间(,)上是增函数解 (1)定义域是R函数f(x)为奇函数即f(x)的值域为(1,1)(3)设任意取两个值x1、x2(,)且x1x2f(x1)f(x2)单元测试题一、选择题:(本题共12小题,每小题5分,共60分)1、化简,结果是( )A、 B、 C、 D、2、等于( )A、 B、 C、 D、 3、若,且,则的值等于( )A、 B、 C、 D、24、函数在R上是减函数,则的取值范围是( )A、 B、 C、 D、5、下列函数式中,满足的是( )A、 B、 C、 D、6、下列是( )A、奇函数 B、偶函数 C、非奇非偶函数 D、既奇且偶函数7、已知,下列不等式(1);(2);(3);(4);(5)中恒成立的有( )A、1个 B、2个 C、3个 D、4个8、函数是( )A、奇函数 B、偶函数 C、既奇又偶函数 D、非奇非偶函数9、函数的值域是( )A、 B、 C、 D、10、已知,则函数的图像必定不经过( )A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限11、是偶函数,且不恒等于零,则( )A、是奇函数 B、可能是奇函数,也可能是偶函数C、是偶函数 D、不是奇函数,也不是偶函数12、一批设备价值万元,由于使用磨损,每年比上一年价值降低,则年后这批设备的价值为( )A、 B、 C、 D、二、填空题:(本题共4小题,每小题4分,共16分,请把答案填写在答题纸上)13、若,则 。14、函数的值域是 。15、函数的单调递减区间是 。16、若,则 。三、解答题:(本题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)17、设,解关于的不等式。18、已知,求的最小值与最大值。19、设,试确定的值,使为奇函数。20、已知函数,求其单调区间及值域。21、若函数的值域为,试确定的取值范围。22、已知函数 (1)判断函数的奇偶性; (2)求该函数的值域;(3)证明是上的增函数。指数与指数函数同步练习参考答案一、题号123456789101112答案ACCDDBCADAAD二、13、 14、,令, ,又为减函数,。15、,令, 为增函数,的单调递减区间为。16、 0,三、17、, 在上为减函数, , 18、, , .则当,即时,有最小值;当,即时,有最大值57。19、要使为奇函数, ,需, ,由,得,。20、令,,则是关于的减函数,而是上的减函数,上的增函数,在上是增函数,而在上是减函数,又, 的值域为。21、,依题意有即, 由函数的单调性可得。22、(1)定义域为,且是奇函数;(2)即的值域为;(3)设,且,(分母大于零,且) 是上的增函数。
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